1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Из этого определения и из свойств вещественных чисел мы без труда выводим следующие теоремы: (НП) а. а=~ а(') О, если только а~ О (Н111) а Ь=Ь а (1Х) а . (Ь + с) = а . Ь + а - с (Х) а(а Ь)=(аа. Ь), где а — вещественное число. ф 3, Линейные векторные пространства. Размерность пространства Сформулируем теперь определение линейной зависимости совокупности векторов аь аг, ..., а„, которое обнаружит свою важную связь с понятием размерности пространства. Л и н е й н а я з а в и с и м о ст ь, Совокупность векторов аь ам ..., а„называется линейно зависимой, если существуют числа аь ам ..., а, не все равные нулю, но такие, что а,а, +а,а,+ ...

+а„а„=О. Если таких чисел не существует, то векторы называются ли- нейно независимыми. Риа 4. Рассмотрим два вектора а и Ь, направления которых либо совпадают, либо противоположны (рис. 4). В таком случае существует число Й ч'=- О, для которого Ь=йа. (ЗЛ) Если положить Й = — аф, то это уравнение можно будет представить в виде а+~Ь=О, откуда легко заключить, что два коллинеарных (или параллельных) вектора должны быть линейно зависимыми, поскольку ни а, ни р не равны нулю.

В таком случае мы скажем, что полная совокупность векторов Аа при произвольном веществен- ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ ном Ь н а Ф О образует одномерное вещественное линейное векторное пространство. Основанием для такой терминологии является то, что каждая точка этого пространства может быть представлена некоторым радиусом-вектором Ьа. Если а и Ь вЂ” два неколлинеарных вектора, представленных двумя направленными прямолинейными отрезками, имеющими общее начало О (рис. 5), то любой вектор с, лежащий в плоско- пЬ сти а и Ь, может быть представлен выражением с = та + пЬ. (3.2) Формула (3.2) следует из й правила сложения векторов и одновременно из определения ум- Рис, 5, ножения векторов на скаляры. Уравнение (3.2) можно будет при этом переписать в симметричной форме аа+ ОЬ+ ус = О, выражщощей условие линейной зависимости совокупности трех векторов, если не все константы в этой формуле обращаются в нуль.

Формула та + пЬ, где а и Ь вЂ” два линейно независимых вектора, а т и и — произвольные действительные числа, определяет двумерное линейное векторное пространство. Ьгы видим, что в двумерном линейном векторном пространстве совокупность трех векторов всегда линейно зависима, Если в качестве системы отсчета принять три некомпланарных вектора а, Ь, с, берущих общее начало в точке О (рис. 6), то любой вектор а можно будет представить в форме ев й=та+пЬ+рс, (3.3) откуда следует, что между четырьмя Ь векторами а, Ь, с, с( всегда существует нетривиальная зависимость в виде аа + ОЬ + ус + Ьй = О. Т> Формула (3.3) при произвольном выборе вещественных чисел Тп, и опреде- Рис. 6. ляет трехмерное ве>иественное линейное векторное пространство, Конечные точки радиусов-векторов й охватывают трехмерное пространство точек, когда т, и и р пробегают по всей совокупности значений вещественных чисел.

В трехмерном линейном векторном пространстве любая совокупность четырех векторов линейно зависима. Восполь- 20 ЛИНЕИНЫС ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ. МАТРИ!!Ы !Рл. ! зуемся связью между числом линейно независимых векторов и размерностью пространства для того, чтобы определить понятие размерности для линейного векторного пространства и измерений. Векторы а, Ь и с в (3.3) называются базисными или координатными векторами, а числа т, и и р — измеряющими числами или компонентами вектора д. Как только мы выберем совокупность базисных векторов, любой другой вектор будет определяться единственным образом тройкой компонентов.

Совокупность трех взаимно ортогональных векторов в трехмерном пространстве, очевидно, линейно независима, и если мы выберем в качестве координатных векторов три взаимно ортогональных вектора а„ам а„каждый длиной в единицу, то получающаяся таким путем совокупность базисных векторов называется ортонормальной. Ыы можем представить себе наглядно совокупность ортонормальных векторов, направленных по осям соответствующей прямоугольной декартовой системы координат; в этом случае каждый вектор х может быть выражен в виде х = х!а! + х!аз + хзам где (х!, хм хз) называются физическими компонентами х, конечные же точки базисных векторов а! (! = 1, 2, 3) получают координаты а,; (1, О, О), а,: (0,1,0), а,,: (0, 0, 1), Закончим этот параграф перечнем правил сложения и умножения векторов, когда последние отнесены к ортонормальной системе базисных векторов а! (! = 1, 2, 3).

Если у нас имеются два вектора х н у с компонентами (х!, хм х!) и соответственно (уь ум у,), то вектор х+ у определится компонентами (х, +' + у» хе+ уь х, + у,). Если я — вещественное число, то компонентами вектора ах будут (ах!, ихм ахт). Из дистрибутивного закона скалярного умножения векторов следует непосредственно, что произведение векторов х = х,а, + х,а, + хааа У = У!а! + У!а! + Узаз равно х У = х!У! + хауз+ хЗуз, поскольку а! а; = беь где бм = 1, если ! = 1, и бм = О, если ! ~1, Это следует из установленной нами ортонормальной природы базисных векторов аь Только что полученная нами формула приводит непосредственно к знакомому выражению для н-меРные пРострлнствк длины 1х~ вектора х, отнесенного к прямоугольной декартовой системе отсчета. В самом деле х . х = х'+ х' + х' = ) х 12 1 2 3 отк да У ~ *1= РР23 те пРи этом 1х(> О, если только хь ха, ха не обРащаютса в нУль одновременно.

$ 4. Ж-мерные пространства В прикладной математике нередко приходится устанавливать соответствия между совокупностью каких-либо объектов и упорядоченной совокупностью чисел, когда количество таких независимых объектов больше трех. Например, если речь идет о состояниях газа, определяемых давлением (р), объемом (и), температурой (Т) и временем (1), то эти параметры можно поставить в соответствие с упорядоченной последовательностью четырех вещественных чисел (хь х,, ха, ха).

Представить закон состояний газа диаграммой в точках трехмерного физического пространства здесь, очевидно, невозможно. Существенным в идее координатной системы является, однако, не визуальное графическое представление, а взаимно однозначное соответствие между совокупностями объектов н чисел. Понятие расстояния между двумя произвольно взятыми точками также утрачивает здесь смысл и оказывается неприменимым. В самом деле, понятие расстояния оказывается лишенным геометрического смысла даже и в знакомом нам представлении состояний газа (давление (р) и объем (о)) точками декартовой плоскости рп. Совершенно абсурдно было бы говорить о расстоянии между двумя состояниями, охарактеризованными упорядоченными парами чисел (р, и).

Эффективность аналитического подхода к решению проблем физики столь велика, что мы, естественно, приходим к идее пространства с более высокими числами измерений и к использованию принципа взаимно однозначного соответствия между множествами чисел и множествами объектов. <Объекты» могут быть здесь весьма различными. В некоторых случаях это будут: давления, объемы, температуры; в иных — электрические заряды н комплексные потенциалы, возбуждаемые движением таких зарядов, и т. и. Определим ') И-мерное пространство или многообразие как некоторое множество объектов, которое может быта поставлено ') Сравните: Чеь!еп О., !птаг1ап12 о1 Чиаагаис й11егепиа! 1оппз, стр.

13. »з ЛШ!ЕПНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ !ГЛ. 1 во взаил!но однозначное соответствие с множеством всех упорядоченных совокупностей й! (вещественных или ко.иплексных) чисел: х!, хы ..., хн, удовлетворяющих условию ! х; — А, !< Ф! (!'= 1, 2, ..., Ф), где А!, ..., Ан — постоянные величины, а я!, Ьм ..,, Ьн — вещественные числа. Неравенства в этом определении устанавлива<от диапазон изменения чисел х!.

Если числа х, вещественны, !т'-мерное пространство также вещественно, и мы сможем тогда записать неравенства в такой форме: а, ~(х,~(а„Ь, ч хэ~<ЬН ..., !!(хн(ты Знак равенства здесь можно в некоторых случаях опустить, и тогда для диапазона переменных хь мы будем иметь, например, 0 (х» ( оо.

Обозначим пространство й! измерений символом )ть и заменим термином «точки» термин «объекты». Всякое частное взаимно однозначное соответствие множества точек с упорядоченными совокупностями чисел (х!, хь ... ..., хн) низывается координатной системой, а числа хь хм ..., хн — координатами точек в этой координатной системе. Эти определения не дают повода к заключению, что понятие расстояния между двумя точками приобретает при этом какой-либо смысл.

Лишь введение правил измерения позволяет назвать пространство )тн метрическим. Пока же мы еще не утверждаем, что наши пространства метризованы. Система уравнений, имеющих вид х;=х!(у!, ум ..., ун) (!=1, 2, ..., ЬГ), (4.!) где функции х! однозначны и в рассматриваемой области дают У однозначных решений у,=у,(хн х,„,, хн), определяет некоторое преобразование координат.

Освещение вопроса об общем функциональном преобразовании координат (4.!) мы откладываем пока до главы 11. Здесь в пределах главы 1 мы остановимся на детальном изучении важного случая линейных (или аффинных) преобразований координат у, = ~ а!!х! (!' = 1,, й!), ! ! и на значении этих преобразований для линейных векторных пространств. э г] линяиныв вяктогныв пгостгкнствх ь измвгвнип зз $ б. Линейные векторные пространства и измерений Краткий очерк начал векторного анализа в $2, основанный на понятии направленного перемещения, сводится к !О теоремам, выраженным формулами, отмеченными римскими цифрами. Эти теоремы можно положить в основу обобщенного понятия вектора в и-мерном пространсгве, поскольку понятие направленного перемещения и длины теряют обычный смысл, коль скоро и превышает число 3.

В соответствии с этим мы постулируем, что в п-мерном пространстве существуют точки и что А. Каждые две точки вещественного и-мерного пространства определяют геометрический объект, который мы называем вектором. Этот объект мы обозначаем символом а. Б. Каждые два вектора а и Ь дают сумму а + Ь, следующую законам 1, П, П!, сформулированным в Э 2. Третий из этих законов приводит к выводу, что операция вычитания векторов однозначна и что существует гектор О, наделенный тем свойством, что а + О = а для каждого вектора а. В. Для каждого вещественного числа а и вектора а существует вектор иа = аа, следующий законам 1Ч, Ч, Ч! ($2).

Характеристики

Список файлов книги