1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 2
Текст из файла (страница 2)
С. Сокольникова является хорошей базой для дальнейшего углубленного изучения этих теорий, подлинное понимание которых немыслимо без овладения методами тензорного анализа. Читателю, желающему подробнее ознакомиться с приложениями тензорного анализа, можно рекомендовать обратиться к другим источникам. Например, к книгам Н. Е. Кочина «Векторное исчисление и начала тензорного исчисления», «Наука» (1965) н П.
К. Рашевского «Рнманова геометрия и тензорный анализ», «Наука» (1967). В частности, полезно дополнительно ознакомиться с недавно Развитой теорией дифференцирования тензоров различных пгвднсловна »вдлкто»х пвнвводл рангов по параметру (времени) в разных смыслах и их применением к физике. Эти вопросы имеют особенно существенное значение при построении физических моделей сплошных сред с учетом различного рода нелинейных эффектов. Кроме этого, важное значение в различных приложениях имеет теория симметрии, в которой симметрия полностью задается с помощью простых систем тензоров.
Сюда примыкает теория симметрии кристаллов и текстур, теория свойств систем коэффициентов в линейных соотношениях термодинамической теории Онзагера; из этой теории автоматически выводится принцип симметрии П, Кюри и т. п. С методами описания симметрии с помощью тензоров тесно связана теория структуры нелинейных тензорных функций для тензоров любого ранга, зависящих от нескольких тензорных аргументов различных рангов. С этими теориями можно ознакомиться в книгах Л. И.
Седова «Введение а механику сплошных сред», Физматгиз (1962) и «Механика сплошной среды», т. 1, «Наука» (1970). В. В, Долин ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ При подготовке второго издания этой книги я принял во внимание пожелания, любезно высказанные мне читателями, знакомыми с ее первым изданием. При этом выяснилось, что никаких сколько-нибудь значительных изменений ни в первой (вступительной) главе, посвященной линейным преобразованиям и матрицам, ни во второй главе, излагающей основы тензорной алгебры и тензорного анализа, не потребовалось. В главе П! были расширены отдельные параграфы, освещающие применения вариационного исчисления в геометрии, был введен новый иллюстративный материал, а также два новых параграфа: о параллельных поверхностях и о теореме Гаусса — Бонне. Главы П и П1 настоящего издания содержат материал, отвечающий требованиям вводного курса по метрической дифференциальной геометрии, проходимого прн подготовке на степень кандидата наук или в аспирантуре.
Подробнее — в сравнении с первым изданием — излагается аналитическая механика (глава 1Ъ ). В чистом виде она дает существенные основы классической аналитической механики и теории потенциала, чго вместе с главой Ъ' (Релятивистская механика) должно было бы составлять — хотя на деле часто и не составляет — важный раздел в экипировке каждого математика — студента и научного работника. Сюда вводится ряд иллюстративных примеров, поясняющих теорию, приводятся сведения о неголономных динамических системах, о канонических уравнениях Гамильтона, детальнее развивается теория потенциала. Заключительная глава, посвященная механике сплошных сред, полностью переработана. Она построена по единому обобщающему плану и, надо надеяться, передает достаточно ясно предисловия к пьрвомн изданию существенное в нелинейной теории механики деформируемых сред.
Эта глава подводит единый общий фундамент под совместную разработку математических теорий упругости, пластичности, гидродинамики и газовой динамики. и. С. Сокольников Пзснфнк Палнсад, Калнфорння Январь, 1964 г, ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Эта книга сформировалась в итоге многолетнего опыта чтения мною курса лекций в Висконсинском, Браунском и Калифорнийском университетах.
Моя аудитория состояла главным образом из студентов, закончивших общий курс и интересовавшихся приложениями математики, и это обстоятельство отразилось как на выборе содержания курса, так и на характере его изложения. В связи с тем значением, каторге приобрела теория линейных преобразований в развитии тензорного исчисления, первая глава курса излагает прежде всего именно эту теорию совместно с теорией матриц, иллюстрируя применение этих теорий в геометрии и физике. Хотя значительная часть материала, приводимого в этой главе, освещается обычно в курсах матричной алгебры, лишь немногим из моих слушателей представился случай заранее познакомиться с матричными преобразованиями, столь необходимыми для специалиста по прикладной математике.
Вторая глава посвящена тензорной алгебре и тензорному анализу. Предлагаемое здесь изложение тензорного анализа не нуждается в опоре на какую-либо область математики, специально привлекаемую для его обоснования. В этом отношении здесь — отступление от обычной практики развивать тензорный анализ на конкретном материале геометрии или теории относительности. Хотя в пользу такого пути и можно указать значительные преимушества, поскольку, с одной стороны, он непосредственно наглядно раскрывает мотивы, по которым тензорное пввднсловиа к пвгвомг изданию исчисление следует изучать, с другой стороны, он часто при этом внушает ошибочное представление о том, что построение формального аппарата тензорного анализа находится будто бы в какой-то зависимости от содержания геометрии или теории относительности.
Остальные разделы этого курса знакомят с применениями тензорного анализа к геометрии, аналитической механике, релятивистской механике и механике деформируемых сред. Так, глава 1П содержит подбор геометрических задач, представляющих большое значение в изучении аналитической динамики и в тех разделах теории упругости и теории пластичности, в которых исследуются деформации пластинок и оболочек.
В этой главе дается также содержательное введение в метрическую дифференциальную геометрию. В главе 1Ч кратко изложены основные идеи аналитической механики. Введению в релятивистскую механику посвящена глава Ч. Изложение темы дано здесь весьма кратким по тем соображениям, что теория относительности обогатилась за последнее время рядом превосходных книг, едва лн нуждающихся в дублировании их содержания, Последняя глава нашего труда формулирует важнейшие положения нелинейной механики сплошных сред в наиболее общей тензорной форме. Классические линеаризованные уравнения теории упругости и гидромеханики входят сюда как частные случаи общих формулировок.
Может быть самым лучшим доказательством замечательной эффективности тензорного аппарата в изучении законов природы сможет послужить тот факт, что в скромные рамки настоящего тома удалось вместить огромный объем материала, представляющего интерес одновременно и для математиков, и для физиков, и для инженеров. Столь широкий охват области прикладной механики неизбежно должен был отразить вклад весьма многочисленного круга ученых. И именно в силу этого здесь было бы тщетно пытаться отмечать выдвинутые тем или иным из них в отдельности оригинальные идеи или методы решения частных задач.
При всем том, однако, два автора сыграли особо значительную роль в моей многолетней практике преподавания геометрии: Т. ЛевиЧивнта и Э. Дж, Мак-Коннел, в особенности последний, автор !2 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗД!НПЮ книги «Приложения абсолютного дифференциального исчисления». Выражения признательности только что названным и другим авторам приводятся в надлежащих местах текста. Но самый большой мой долг — перед слушателями, сделавшими работу над этой книгой радостной и не напрасной. Особенно приятно отметить одного из моих слушателей— Уилльяма Сейглинга (Ъ'!!!!аш Я.
Яенй!!Пд), научного ассистента Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, не щадившего времени и трудов для продвижения этой книги в процессе печатания. Н. С. Сокольников Лос-Анджелес Ноябрь !95! г. ГЛАВА 1 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЪ| 5 1. Координатные системы Для того чтобы указать положение в пространстве какой- либо геометрической фигуры, необходимо предварительно выбрать систему отсчета. Из числа наиболее простых систем такого рода в математике чаще всего пользуются декартовыми системами координат. Хотя построение таких координатных систем и знакомо нашему читателю из курсов аналитической геометрии, мы все же остановимся здесь на их рассмотрении, с тем чтобы выявить то общее, что составляет основу всех систем координат в пространстве нашей физической интуиции.
Это рассмотрение проложит путь к некоторым далеко идущим обобщениям понятия физического пространства, которые мы сформулируем в $4. Центральная идея, приведшая Декарта к открытию возможности построения координатных систем, заключалась в возможности отождествления множества точек, составляющих прямую линию, с множеством вещественных чисел. Это отождествление основано на допущении, согласно которому каждому вещественному числу соответствует одна-единственная точка на прямой и обратно 1). ') Хотя идея взаимно однозначного соответствия между множеством точек, составляющих линию, и множеством вещественных чисел имеет свои корни в теории несоизмеримых Евдокса, восходящей к 1Ч столетию до нашей эры, открытие координатных систем совершилось лишь в первой половине Х"ч11 века. Следует также отметить, что строгий анализ отношения между множеством точек на линии н множеством вещественных чисел был выполнен лишь в самом конце Х1Х века, главным образом в трудах Р.
Дедекинда и Г. Кантора. Понятие строгости зависит всецело от условностей, диктуемых господствующим вкусом, которому и дано на определенный хронологический период утверждать меру требовательности в определении степени математической строгости. Плодотворные интуитивные концепции преобразуются обычно в строгие формы либо путем четко выраженного соглашения о том, какие понятия следует относить в категорию концепций, допускающих опре.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
