1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Введем и ортонормальных векторов а1'1: (1, О, О,..., 0), ап1:(О, 1,0,...,0), Таким образом, (!ОА) приводит к тому результату, что квадрат детерминанта )ан! в (9.2) принимает значение 1, если длина вектора остается без изменения при преобразовании. Отсюда заключаем, что )А(= .+1.
Случай, когда (А! = +1,соответствует преобразованию вращения пространства относительно неподвижных осей. Условие ~А(= — ! передает преобразование отражения (например, х',= — хп х',= — х,, х'= — х,) нли отражения с последующим вращением. Линейное преобразование (10.5) где аоаиа = биь называется ортогональным преобразованием. Оно называется преобразованием вращения, когда )а;;(= + !.
Если через А' обозначить транспознцию А в (10.5), то мы сможем записать условия ортогональности (10.3) в виде А'А =!. Умножая это уравнение справа на А ', получаем А'= А (10.6) так что в ортогональном преобразовании обратная матрица А-' равна транспозиции А' матрицы А, когда базиснь1е векто. ры ортонормальны. Отсюда следует, что если уравнения (10.5) записать в форме 42 ЛИИСПНЫВ ВВКТОРНЫВ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ !Гл ! и представим любой вектор х: (хь хь ..., х ) в виде (см. (9.1)1 х = х;ац> (1 = 1...., и).
(11.1) Линейное преобразование компонентов, соответствующее уравнению (9.2), принимает вид х',=ацх, (1,1=1,..., п). В матричных обозначениях его можно записать так: х'= Ах (11.3) где А=(ац). Положим, что 1А( чь О и разрешим (11,3) относительно х: х=А 'х', где (А;) л! (А! Здесь Ао обозначают алгебраические дополнения элементов оц в !А). Точно так же, как это было сделано в трехмерном случае, мы можем показать, что произведение преобразований х' = Ах и х" = Вх' эквивалентно преобразованию х" = ВАх Мы вправе и здесь также пользоваться наглядным языком геометрии, понимая систему уравнений (11.3) как описание деформации пространства Е„и понимать преобразование вида х' = САС 'х (! 1А) как описание того же самого деформирования пространства, которое описывалось матрицей А в (1!.3).
Матрицы А и САС-' также называются подобнь4ми. По аналогии с трехмерным случаем вещественное линейное преобразование, сохраняющее длину любого вещественного вектора х: (хь ..., х ) ииварнантной, называется ортогональным, Из выкладок й !О явствует, что коэффициенты оц в ортогональном преобразовании (11,2) удовлетворяют соотношениям (11.5) ацам А~А, а матрица А = (ац) ортогонального преобразования связана с обратной матрицей формулой А' = А-'. Условие (11.5) является одновременно и необходимым и достаточным для того чтобы преобразование было ортогональным.
Поскольку транс. понироваииая матрица ортогонального преобразования равна обратной матрице, мы заключаем, что аиаги = б,». 2 12! ПРИВВЛГИИВ МАТР<И! Я ЛИАГО<ЫЛЫ<ОЙ ФОРА<Р 43 Всякая матрица, удовлетворяющая условиям ортогональности (11.5), называется ортогональной. Квадрат детерминанта такой матрицы равен единице. Как и в трехмерном случае, вводим матрицу В = (ЬО), определяющую преобразование базисных векторов аш в новую совокупность базисных векторов ни< по формуле а<!<=Ь„а<п (1,1=1,..., а); (1 1.6) тогда С = (В')-'.
Если векторы ни< ортонормальны, а матрица В ортогональна, то новый комплект векторов и<о будет, очевидно, ортонормальным. В тех случаях, когда (Ь<;( = 1, мы будем говорить, что формула (11.5) представляет вращение базисных векторов в Е„. Поставим теперь вопрос: можно ли найти такую матрицу С, для которой матрица САС-' была бы диагональной: Л, О...О О Л2...0 О О ...Л„ (11.7) В 12. Приведение матриц к диагональной форме Вернемся теперь к задаче, поставленной в з 11 и касающейся возможности отыскания неособенной матрицы С такой, что произвольная матрица А может быть приведена к диагональной форме Л посредством преобразования подобия САС-'. Это значит, что в соответствующей системе координат деформирование пространства, характеризуемого условиями (11.2), принимает вид ~1 1~1' ~2 2~2' ' ' ' ~ ~а ЛР~ где $! — компоненты х', а $< — компоненты х в новой координатной системе.
На языке преобразований в Е, уравнения (11.7) констатируют, что для надлежащим образом выбранной координатной системы линейное деформирование пространства эквивалентно простым удлинениям или сокращениям координатных осей. Ясно, что возможность такой редукции зависит от природы коэффициентов ап в (11.2). Детальное обсуждение задачи приведения матриц к различным каноническим формам здесь было бы слишком громоздким. В нижеследующих параграфах мы остановимся лишь на тех случаях, которые чаще всего встречаются в применениях, отсылая читателя за исчерпывающей трактовкой к специальным трудам по высшей алгебре. 44 ЛИНЕЯНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
МАТРИЦЫ <ГЛ. ! С точки зрения линейного преобразования пространства эта задача эквивалентна определению базисной системы а<п (! = 1, ..., ~), в которой преобразование к< = апк< приобретает вид <см. (11.7)! й(=хдп й,=л,й„..., й„=л„й„. Записываем С ' — = 5 и ищем решение матричного уравнения 5 'А5=Л, А5 5Л, Х,О...О О А,...О О О...А„ (12.1) (12.2) или где А* (ац) и Матричное уравнение (12.2) эквивалентно системе линейных уравнений а<!а д = з<д)д (не суммируется по й) (<, 1, й = 1, 2, ..., п), (12.3) где з<д зы 5 — 22! ' ' ' з22 з2л Зл! ' ' Злд Злл и замечаем, что (12.3) эквивалентно уравнению (а,< — Ь«АА)з<А=О (по й ие суммируется).
(12.3) Если в (12.3) положить ! = 1,2, ..., п и фиксировать й, то мы получим систему и уравнений, содержащих элементы (з<м зы, ...,з,д), входящие в столбец й матрицы 5. Элементы (з<ю зы, ..., з„<,) можно рассматривать как компоненты вектора з<д<, так что определение матрицы 5 приводится к отысканию совокупности и векторов з<ю (й = 1, ..., П), компоненты которых удовлетворяют уравнениям (12.3).
В соответствии с этим записываем уравнение (12.3) в таком виде: Аз<А<=а<А>ЛА (не суммируется по а) (12А) з 1е! приввдвннз млтвиц к дикгонлльнон оовмв 45 Если эта система линейных однородных уравнений должна иметь нетривиальное решение для ярв то кк в таком случае должно быть корнем уравнения ! ан — Ьпх )- О или записанного в развернутой форме пп й пм а„а„— Х ... а1в (12.6) а„, а„, ...
а„„ - к ') Овв называются также собственными значениями, соответствующие вы векторы а~к> — каракгерисгинескиаш векторами влв собственными векторами. Это алгебраическое относительно )с уравнение и-й степени имеет л корней, которые называются характеристическими значениями') матрицы А. Если эти и корней различны, то легко показать, что система уравнений (!2А) дает совокупность и линейно независимых векторов я<н> н что, следовательно, неособенная матрица 5, как это требовалось условием (12.1), существует. Если корни не различны, определить искомую матрицу 5 невозможно.
Рассмотрим случай, в котором корни различны, и обозначим их через кь ке, ..., Х . Подставив Хс вместо кк в (12.5), мы получим систему и однородных уравнений. Она даст иам нетриви. альное решение яп, яеь ..., я„ь Положив в (12.5) 1сн = ло, при. ходим к системе, дающей решение япи яее, ..., я„е. Таким путем получаем второй столбец 5. Г!оступая аналогично, определяем остальные столбцы, а отсюда и всю матрицу, удовлетворяющую уравнению (12.2). Для установления возможности преобразования (12.1) мы должны доказать, что вычисленные вышеописанным путем векторы зск! линейно независимы, так что 5 имеет обратную матрицу 5 '. Докажем это, сделав предположение, что матрица 5 особенная, придя при этом к противоречию.
Если !5) = О, векторы а'а!, входящие в столбцы 5, линейно зависимы, и отсюда следует, что существует совокупность констант сь не всех обращающихся в нуль, ио позволяющих составить полипом, равный нулю: с,зш + с,зпл + ... + с змо = О. В этом выражении некоторые се могут оказаться нулями. Без утраты общности вывода мы можем допустить, что г первых коэффициентов с не обращаются в нуль, и на этом основании вправе утверждать справедливость того, что с,зи'+ севка+ ... +с,зю=О, г(н, (12,7) 46 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
МАТРИЦЕ! !гл. ! где ни один из коэффициентов с! (или ви!) не обращается в нуль. Из (12.4) выводим соотношения Ав!А! = в!А)ЛА, А (Авив) = АвнвЛ = вга!Лв Е А~ А(А(Авг~~))=в!~!Л ., (А)' ' 1м=в'А)ЛА '. Если (12.7) умножить на А последовательно г — 1 раз и учесть цепь только что написанных соотношений, то мы придем к системе уравнений с!в!и+ савгг!+ ... + с,в!'! = О, с, в!'!Л, + с,в!ВЛа + ...
+ сгв!г!Лг = О, с!в Л! +сев Ла + . ° . +с в!!Л =О. Поскольку, как уже установлено, и с и вга) не обращаются в нуль, эта система может быть удовлетворена лишь прн условии 1 1 ... 1 Л,ЛТ...Л, г-! г — ! .!†! Но детерминант гЛ представляет собой детерминант Вандермонда '), н его значение, как известно, приводится к Л=(Л,-Л!)(Ла-Л!) ... (Л,-Л!) Х )4 (Ла- Л,) ... (Лг — Л,) )4 Х (Л„- Л,,) = И (Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
