1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 3
Текст из файла (страница 3)
деление, и какие остаются неопределимыми, либо путем введения в математические теории новых форм логических процессов, по возможности свободных от противоречий, г4 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ ггл. ! Построим прямую Х и выберем на ней точку О (рис. !). Эта точка О, которую мы назовем началом, делит прямую на две полупрямые — на два луча. Назовем один из них гголожительным лучом, другой — отрицательным. На положительном луче л р к Рна.
!. выберем точку А и назовем длину отрезка ОА единицей длинь!. Теперь сопоставим точки на Х с множеством вещественных чисел следуюгцим образом. Если Р— произвольная точка на положительном луче, определим число х, связанное с Р формулой гг х==, ол' где ОР и ОА — длины отрезков ОР и ОА. Число х является координатой Р. Координата х точки (;г на отрицательном луче определяется отношением гг!4 х= — =. ОА Мы принимаем„таким образом, что каждое вещественное число х соответствует одной и только одной точке на Х.
Это соответствие множества точек на Х множеству вещественных чисел н составляет координатную систему однолгерного пространства, образуемого точками, лежащими на Х. гче — — — -----"---РР Соответствие множе- / ства точек, лежащих на в l I плоскости, множеству ве- / щественных чисел выпол/ ияется, если мы проведем две прямые линии Х, и гг г'1г А; Хв пеРесекающиесЯ в од- ной точке О (рис.
2). На Рис, 2. хаждой из этих прямых координатная система строится, как указано выше, хотя единицы длины на каждой из них не обязательно должны быть равными. Пара таких прямых с отмеченными на них точками А и 8 образует координатные оси Хн Хг. С каждой точкой Р, лежащей в плоскости координатных осей, мы связываем упорядоченную пару вещественных З г! коогдинлтные системы гз (1.!) Это — знакомая формула Пифагора. Если координатная система косоугольная, формула для расстояния й получается несколько более сложной.
В Э 9 мы узнаем, что от ортогональной системы координат можно перейти к косоугольной, выполнив линейное преобразование координат. Из этого обстоятельства и из структуры формулы (1,1) следует заключить, что длина линейного сегмента, соединяющего точки с заданными координатами (хг, хь хз) и (уь уь у,) в косоугольной системе равна а = ~/ ~ дгг (у, — х,) (уг — хт), (!.2) где через дц обозначены константы, зависящие от коэффипиентов в вышеупомянутом линейном преобразовании координат, чисел (хь хг), определяемых нижеследующим образом: прямая, проведенная через Р параллельно оси Хь пересекает ось Хг в точке Мг с координатой хг, прямая же, проходящая через Р параллельно оси Хь пересекает Хг в точке Мг с координатой хг.
Упорядоченная пара чисел (хь хг) представляет собой координаты точки Р в плоскости, а взаимно однозначное соответствие упорядоченных пар чисел с множеством точек в плоскости ХгХг является координатной системой двумерного пространства, состоящего из точек плоскости. Расширение этого представления на точки трехмерного пространства очевидно. Выберем три, не лежащих в одной плоскости прямых Хг, Хм Хм пересекающихся в одной общей точке О, На каждой из этих прямых строим координатную систему и с каждой точкой Р свяжем упорядоченную тройку чисел (хг, хг, хз), определяемых пересечением с осями трех плоскостей, проведенных через Р пара.члельно координатным плоскостям ХгХЫ ХгХЕ и ХгХз. Описанные здесь координатные системы называются косоугольными декартовыми системами.
Построение их использует понятия длины и параллельности обычной евклидовой геометрии и существенной их характеристикой является наличие взаимно однозначного соответствия точек с упорядоченными множествами чисел. Если координатные оси Хг, Хм Хг пересекаются под прямыми углами, координатная система называется ортогональной декартовой или ггрямоугольной декартовой. В практических применениях обычно используются именно прямоугольные системы, так как выражение для длины й отрезкз АВ, соединяющего пару точек с координатами А(аь ам аг) и В(Ьь Ьг, Ьг), принимает здесь простую форму й = 'у'(Ь, — а,)'+ (Ь, — аг)'+ (Ьг — а,)'.
!6 ЛННЕЯНЫГ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРЛНСТВЛ. МЛТР1ШЫ 1ГЛ. ! В дальнейшем мы займемся детальным изучением квадратичных форм, входящих под знак радикала в формулу (1.2), и установим их влияние на метрические свойства пространства. 2 2. Геометрическое понятие вектора В предыдущем параграфе мы напомнили о процессе пастрое. ния координатных систем в обычном трехмерном пространстве, где для измерения расстояний между двумя точками используется теорема Пифагора, Пространства, в которых представляется возможным построить такую координатную систему, где длина отрезка пря- В С мой определяется формулой Пифагора, называются евклидовыми пространствами.
Зля таких а пространств понятие перемещения принимается в качестве основного. Так, например, если точка А перемещается в но- 4 вое положение В, то это Рис. 3. перемещение из А в В может быть наглядно представлено направленным линейны.и сегментом (прямолинейным отрезком) АВ (рис. 3). Если В перемещается в новое положение С, то результирующее перемещение может быть получено движением точки А в положение С. Эти операции можно обозначить символически уравнением АВ+ ВС = АС. В элементарном изложении векторного анализа направлен. ные прямолинейные отрезки называются векторами и обозначаются обычно одной буквой жирного шрифта.
Предыдущую формулу можно поэтому представить так: а+Ь=с, (2.! ) где АВ = а, ВС = Ь, АС = с. Правило сложения векторов, представленное наглядно на рис. 3, было сформулировано впервые в 1586 г. С. Стевином в связи с экспериментальным изучением законов, управляющих сложением сил. Этот закон известен как закон параллелограмма сложения снл. В силу того, что разнообразные величины, изучаемые физикой, могут быть представлены направленными прямолинейными отрезками, закон сложения которых ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ ВЕКТОРЛ передается символически формулой (2.!), векторный анализ приобретает большую ценность в своих применениях. Мы усматриваем здесь пример геометризации физики, оказавшей на развитие этой науки не меньшее влияние, чем в свое время арифметизация геометрии на развитие математического анализа.
Из представления о векторе как о перемещении, определяемом парой точек, мы приходим к выводу, что два вектора следует признать равными, если изображающие их отрезки имеют одинаковую длину, а их направления параллельны. Обозначим длину вектора а символом ~а~. Допустим, что понятие длины не зависит от избранной системы отсчета, так что длина ~а~ может быть вычислена по формуле Пифагора по координатам начальной и конечной точек вектора а. Под отрицательным значением вектора а (обозначается — а) мы понимаем вектор, длина которого равна длине вектора а, но направление которого противоположно направлению а. Определим вектор-нуль (обозначается О), отвечающий нулевому перемещению, формулой а+( — а) =О.
Из геометрических свойств направленных прямолинейных отрезков выводим, что; (1)а+Ь=Ь+а. (П) (а + Ь) + с = а + (Ь + с). (111) если а и Ь вЂ” векторы, то существует единственный вектор х, удовлетворяющий условию а = Ь+х. Определим теперь операцию умножения векторов на вещественные числа. Если а — вещественное число, символ аа — аа обозначает вектор, длина которого равна (а))а), направление же совпадает с а, если а ) О, и противоположно а, если а < О. Если а = О, то аа = О. Из этого определения и из свойств вещественных чисел заключаем, что: (1'тг) (а, + а,) а = а,а + а.а (Ч) а(а+ Ь) = па+ иЬ (Тг!) а,(а,а)=(а,ае)а, 1 а=а для любых вещественных чисел а~ и ав Введем теперь определение скалярного произведения двух векторов, которое позволит нам ввести новое обозначение для длины вектора. О и р е д е л е н и е.
Скалярное произведение двух векторов а Н Ь, обозначаемое а Ь, представляет собой Веи(ественное число 13 линеииые вектогныв пгостгкпствх, млтеицы !гл. > (а))Ь)соз(а, Ь), где соз(а, Ь) — косинус угла между направлениями а и Ь. Если выразить это на языке геометрии, а Ь равно произведени>о проекции а на Ь, умноженной на длину Ь. Таким образом, длина вектора а выразится положительным значением квадратного корня из а а. Заметим также, что а и Ь ортогональны лишь в том единственном случае, если а Ь = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
