1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Уравнение !См. (13.11)) А,з аЛ (! 3.14) для Л = Л, имеет решение з<о: (1, О, О, ..., 0), поскольку мы выбрали его в качестве единичного вектора, а з<н — один из базисных векторов новой системы отсчета. Если мы введем это решение и (13.14), то получим тождество 1 Л, 0 0 А, ° 0 из которого следует, что матрица А< имеет следу>ощие элементы: аи» = ЛР а<',> аи<> = ... а<>» = О. (13.13) Первоначальная матрица А симметрична, а поскольку ортогональные преобразования не нарушают симметрии, матрица А< также симметрична'). Таким образом, А<=А>, и мы можем теперь вместо (13.15) написать а<'>= Л„а«<а>=аз<><>=а<и =а«>а>= ...
= а«>>= а<»=0, так, что Л, О ... О А,= ') Так как А> (Я, ~к!5<)'=8<А (8< >) 3< 'А5<, поскольку 8-' =3' лля ортогокальиык матриц. 62 линвиныв ввктог()ыв пгостглнствл. млтенцы (гл. ) Квадратичная форма (13.2), будучи отнесенной к пашей новой системе, получает структуру ()=Л,Ц+а())))йД (),1=2, 3,..., и). Нам удалось, выделив один квадрат, привести задачу к исследованию формы а!)))йД в (и — 1) переменных.
Мы можем применить аналогичное рассуждение к (и — 1) Х (и — 1)-матрице А2=(а())))) и рассмотреть форму а()()ВД (), 1=2, 3, ., и) в (и — 1)-мерном подпространстве Е„) пространства Е„, определенного базнсными векторами, отличными от з()). В Е„) мы можем вычислить единичный вектор з('), удовлетворяющий уравнению Азз = 8Л, соответствующему Л = Ль и построить новую базисную систему ортогональным преобразованием, в котором базисным вектором является з(2). Это приводит к матрице Л,О ...0 А О п22 ° ° ° аз„ (2) (2) О п(2) ц(2) ИЗ ' ' ' 2а н к квадратичной форме Я Л $2+Л З22+а)2)$Д ((,1=3,..., и), Продолжение этого процесса приведет первоначальну(о квадратичную форму (13.2) к виду д Л 222 ! Л 222 1,! Л 222 Поскольку каждое последовательное приведение совершается ортогональным преобразованием, произведение ортогональных преобразований эквивалентно единственному ортогональному преобразованию 5.
Получающаяся в результате диагональная матрица Л 0 ... 0 О Л,, О 5 'А5=Л= 0 0 ...Л„ содержит число одинаковых корней Л, равное количеству корней в !А — Л(( = О. Так как матрица 5-'А5 подобна А, то характеристические корни Л), Ль Л уравнения )Л вЂ” Л1) = 0 тождественны с корнями )А — М) = О. й !4! примеры привецеггия квлдРАтичных ФОРМ йз Направления, определяемые характеристическими векторами в!"г, ассоциируемые с матрицей А, называются главными направлениями матрицы А.
Задачи Если х: (хь х,, ..., х„) — единичный вектор, а Сг = сох,х, — веществен. нан квадратнчнав форма с неособенной матридей А, то наибольшее и наи. меньшее значении Сг будут характеристическими значенивмн А Требуется это доказать. Указание. Искать экстремум Сг прн ограничивающем условии хгх! 1 и вывести систему уравнений (лы — бг,х)хг = О, где )г — множитель Лагранжа. й !4.
Примеры приведения квадратичных форм Интерпретируем результаты, полученные в $13, на языке аналитической геометрии и дадим два примера конкретных иллюстраций приведения квадратичных форм к каноническому виду посредством ортогональных преобразований. Если принять, что число измерений пространства равно л = 3, и приравнять квадратичную форму ацхгх, постоянной величине с, то уравнение (14.1) можно представить аих,ху= с (г, 1=1, 2, 3) (14.1) как уравнение поверхности второго порядка Я, отнесенной к системе отсчета с базисными векторами а'. Ортогональное преобразование 5-гАЯ = Л, приводящее к квадратичной форме !ь! + 2ь2 + Зьз (14.2) может быть истолковано как преобразование координатных осей к системе с базисными векторами, направленными по главным осям поверхности второго порядка. Рассмотрим какую-либо конкретную форму уравнения (14.1), например Я вЂ” 2х', +2хт — 15хт+ 8х,х,— 12х,х, — 12х,т = с, и, для того чтобы определить коэффициенты )г! в (14.2) для данного частного случая, приладим ей симметричный внд (;) =-и 2х', + 4х х — 6х х, + 4х х, + 2х, '— бх х, — бх х, — бх х — 15хз, из которого непосредственно получаем характеристическое ура- внение !А — ).г'! = О в р азвернутой форме 2 — )ь 4 -6 4 2 — )г -6 (А — )ь( ! = -6 -6 — 15 — д 54 линейные ВгктоРные ЙРостРАнствА.
мАтРицы 1гл. 1 Вычисление детерминанта приводит к кубическому уравнеНИю 2, +1!Л - !44Л вЂ” 324 О с корнями — й,= — 18, )1,=9. Таким образом, в новой системе отсчета Я принимает вид — 2зг1 — 18йг+ аз = с, или (аы — 6112. )вг =О. Записывая их в развернутой форме, получаем (2 — ЛА) вы + 4вгз — 6взз = О, 4в,з + (2 — ХА) вгз — бвзз = О, бвм бви (16+Аз)взА=О (14.3) Подстановка Хз = — 2 дает три уравнения, два из которых тождественны. Линейно независимыми уравнениями остаются 4вн+ 4вг1 — 6вз, = О, — бвп — 6вг1 — ! Звз1 = О.
Решение их дает нам компоненты вп1: вн=с вг1= с вз1=0 где с произвольно. Определим постоянную с так, чтобы длина в1О равнялась единице, т. е. вг +вг + в' = ! М З1 тогда с = 1/~ 2 и нормализованные значения компонентов анны 1 в 1" 2 Р ! в н ) в =О Они определяют первый столбец матрицы 5. Подстановка 4 = — 18 в (14.3) приводит к трем однородным уравнениям: 20вм + 4вгг бвзг = О, 4 в1г + 20вгг 6взг = О, — бвн — 6вгг + Звм = О, т. е. соответствующая поверхность второго порядка представляет собой гиперболоид.
Для определения новых базисных векторов вн1 имеем систему уравнений (13.9) а,1в1А — — в1ААА (без суммирования по й) зз ПРИМЕРЫ ПРИВЕДЕНИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ % и! решение которых быстро находится: ! ! 82~ — С, 822= — С, 4 ' 4 Нормализованное решение: ! ! 812 ~ 822 ЗР2 3 2 удовлетворяющимся при значениях ! 813= С, 823= С, 833 — — — С. 2 Нормализуя к единице, получаем для Ф! 2 2 ! 13= 31 23= 3 833= 3 ° Ортогональное преобразование, приводящее к канонической форме, принимает вид ! ! В! ==х — =х,+О х„ г'2 ' г'Г ! ! 4 32 = х!+ — 82+ — хЗ~ 3У2 ЗУ 2 31~2 2 2 ! 53= — х + — х,— — х,. 3 ' 3 3 Для того чтобы проиллюстрировать приведение в случае, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, при- нимаем Я = — Зх"; + 2х.;'+ Зх";+ 2х,х, с.
Здесь характеристическое уравнение матрицы Я имеет внд 3-Л О ! О 2 — Л О ! О 3 — Л, = Лз — ЗЛЗ+ 2ОЛ вЂ” !6 = О и корни Л, = Л, = 2, Л, = 4. Поверхность второго порядка конкретизируется здесь как зллипсоид вращения, описываемый уравнением 2($ +~с,;')+4Ц=с, 4 31 Элементы, входящие в третий столбец матрицы 5, определяются из системы (!4.3) путем подстановки ЛЗ = 9. Таким образом, приходим к уравнениям 7813+ 4823 6833 = О, 4813 78со — 6833 = О, — 6813 6823 — 24833 = О, ва ЛИНЕИНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, МАТРИЦЫ !ГЛ. 1 Уравнения для определения новых базисных векторов принимают вид (3 — А) 8,2 + 0822+ ззз = О 08,2 -1- (2 — !!) 822 + 0832 = О, 8,2 + 08,2 + (3 — Л) 8зз — О. Положив Х1 — — 2, получаем лишь одно уравнение 8 +831 =О для определения 8!'1, так что в качестве нормализованного решения получаем ! ! 8Н = 821 О 831 1'2 У2 Второй характеристический корень )2 2 дает уравнение 8„+ 832 — — О, (14.4) а так как 8!'1 должен быть нормальным к 8!'1, то получаем условие ортогональности 811812 + 82!ам + 8з18зз = О или ! ! = 821 — 832 )22 (14.5) Уравнения (14.4) и (14.5) устанавливают, что 8м = О, 822 = 1, 8зг = О.
Наконец, для определения третьего базисного вектора мы располагаем системой уравнений 3'!з + 8зз = О, — 282з = О, 81з 8зз = О получаемой из условия Х = 4. Нормализованное решение втой системы исчерпывается тремя равенствами 8„= 1фу'2 82з О, аз, = 1~У 2. Матрица 5 получает таким образом вид ! О )2е ! О ! О 2' 2 откуда уравнения связи между переменными хз и ~! выписы- ваются непосредственно, классификация квлдглтичных фоэм $15. Классификация и свойства вещественных квадратичных форм В этом параграфе мы напомним некоторые свойства вещественных квадратичных форм Я =аих х! (1, 1= 1, ..., и), особенно важные в приложениях. Мы показали, что вещественная квадратичная форма Я может быть приведена ортогональным преобразованием Ь, = зих~ (15.2) к канонической форме Я ),$2+), $2 ! !.1 ььз (15.3) Задача приведения квадратичной формы (15.1) к виду (!5.3) эквивалентна отысканию ортогональной матрицы 3 = (зо), удовлетворяющей матричному уравнению 5 'АЯ=Л (или 5'АЯ=Л), (15,4) где элементы, расположенные по диагонали в матрице Л, яв.
лаются корнями уравнения в детерминанте )А — И !=0, (15.5) причем А — вещественная симметричная матрица. Поскольку детерминант 5 не обращается в нуль, из (!5.4) явствует, что ранг матрицы А равен рангу Л. Если характеристическое уравнение (15.5) имеет и не обращающихся в нуль корней, то число членов, фактически входящих в уравнение (15.3), равно н. Если, однако, уравнение (!5.5) имеет г < и неисчезающих корней, то приведенная форма (15.3) примет внд Ц 1, ~2 ! ! ~2 ! + 1 ьь2 (15.6) и мы скажем тогда, что ранг квадратичной формы (15.!) равен г. Число положительных Х, появляющихся в (15.6), называется индексом Я. Если в нашей форме (15.6) насчитывается р положительных и г — р отрицательных Х, мы можем ввести вещественное преобразование $, = (1/)?Х,) Ц для членов с положительными Х и $,=11! ~/ — Х,) Ц вЂ” для членов с отрицательными Х, так что зта форма примет вид Я=5; +Ц + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
