1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Якобиан произведения преобразований равен произведению якобианов, входящих в произведение преобразо- ваний. Эти две теоремы позволяют нам сформулировать и тре- тью теорему. Т е о р е м а Ш, Совокупность всех допустимых преобразова- ний координат образует группу. Справедливость теоремы становится очевидной, если заме- тим, что (а) фундаментальное свойство группы, именно то, что про- изведение двух допустимых преобразованиИ является преобра- зованием, принадлежащим к той же совокупности допустимых преобразований, удовлетворяется с полной очевидностью, это свойство известно как свойство замкнутости группы; (б) произведение преобразований обладает обратным пре- образованием, так как входящие в произведение преобразова- ния обратимы; (в) тождественное преобразование (х' = уз), очевидно, су- ществует; (г) ассоциативный закон Т,(Т,Т,) = (Т,Т2) Ть очевидно, вы- полняется.
Именно эти свойства входят в определение абстрактной группы. Как отмечено в начале настоящего параграфа, тот факт, что допустимые преобразования образуют группу, оправдывает нас в выборе в качестве точки отправления любой координатной системы, если только она принадлежит к числу допустимых, ВХОДЯЩИХ В ГРУППУ. $21. Преобразования, иидуцироваиные инварнантностью Пусть Р(Р) — функция точки Р в п-мерном множестве Предположим, что Р(Р) — непрерывная функция в некоторой области Я многообразия У„и что в У'„введена какая-либо координатная система Х, Значения Р(Р) зависят от точки Р, но ие от координатной системы, использованной для того, чтобы теОРия тензоРОВ [Гл.
и представить Р, Мы называем Р(Р) скалярной точвчной функцией или просто скалярам. В системе отсчета Х функция Р(Р) моакет принять форму ) (х', ..., х"), и если мы введем новую систему отсчета У преобразованием Т: х'= х" (у', ..., у"), (21.1) то функциональная форма Р(Р) в координатах У примет вид [[х'(у', "., у'),, х" (у', ", у")]=у(уч, -, у"), (212) поскольку значение г(х', ..., х") для Р(х', ..., х") будет то же '), что н д(у',...
у") для Р(у' ... у"). Мы можем говорить о )(х) как о компоненте скалярной функции Р(Р) в координатной системе Х, в то время как д(у) является компонентом той же самой скалярной функции в координатной системе У. С другой стороны, мы можем рассматривать скалярную функцию Р(Р) как определенную набором компонентов )(х), й(у), Ь(г) и т. д., связанных друг с другом подстановками вида (21.2). Иными словами, коль скоро представление скаляра Р(Р) известно в одной координатной системе, то форма Р(Р) в любой другой координатной системе У определится формулой (21.2).
Мы называем зто подстановочное преобразование 6~: 1[х(у)] = д(у) преобразованием, индуцированным инвариантностою. Заметим, что если даны три преобразования; Т„Т, и Т„где Т,: х х(у), Т, '. у у(г) с Т, Т,Т„так что Та '. х = х [у (г)], н скаляр Р(Р), компонент которого в системе отсчета Х выражается как )(х), то можно вычислить и преобразованные фор. мы 1(х). В самом деле, компонент д(у), входящий в состав Р(Р), определяется законом 6Н д (у) ) [х (у)], между тем как компонент Ь(г) той же функции Г(Р) в координатной системе Х задается как Ф Ь(г) =у[у(г)) С другой стороны, применяя произведение преобразований ~) В частиом случае Р(Р) может представлять температуру какой-либо области простраиства и 1(х) — форма, которую фуикики температуры прииимает в системе отсчета Х; я(р) — представление Г(Р) в системе отсчета у, з м1 ковхгилнтныв и контгхвхвнхнтные пивоввхзовлния вв То = ТоТь находим 6': й(х) =Их(у(хН), откуда ясно, что 6о = 6обь о о о Мы можем представить эти преобразования координат и соответствующее преобразование компонентов Р(Р) в виде диаграммы (рис.
7). Если координаты подвергаются группе Т допустимых преобразований, то компоненты скаляра подвергаются Йуг' 47г/ ре,е,е г е г ту =Тгг~ Рао. 7. $22. Ковариантные и контравариантиые преобразования В предыдущем параграфе мы рассмотрели преобразование компонентов скаляра Г(Р), когда преобразованию подвергаются координаты точки Р. Здесь мы займемся законом преобразования объектов, определяемых системами частных производных скаляра. Комплекты частных производных компонента 7(х', ..., х") скаляра Г(Р) представля1от интерес в физике в связи с понятием градиента потенциальной функции. Рассмотрим непрерывно днфференцируемую функцию 1(х', ..., х ), представляющую скаляр ((Р), и преобразование координат Т: х' х'(у', ..., у').
(22. 1) Если составить комплект из и частных производных — — — или ();) (22.2) некоторым преобразованиям 6о, Связь между последовательными преобразованиями Т и 6о такова, что произведению двух преобразований Т,Т, отвечает произведение двух однозначно соо о ответствующих преобразований 6,6ь Когда такое соответствие достигается между двумя какими-либо группами преобразований Т и 6, то такие группы называются гомоморфны.аи. Если же между группами имеется взаимно однозначное соответствие, го тогда такие группы называются изоморфными.
Изоморфизм между преобразованиями координат и преобразованиями функций, индуцируемых преобразованиями координат,— важная характеристика класса инвариантов, называемых тензорами. ТЕОРИЯ ТВНЗОРОВ 1гл. и С другой стороны, если воспользоваться понятием градиента )(Р), то надо иметь в виду, что комплектом функций, соответствующих (22.2), будет не (22.3), а комплект и частных произ- водных д) д( д) Дф~ дул~ ' дул» (22.4) вычисленных по правилу дифференцирования сложных составных функций, а именно 6': —, — „° —, (1, а=1, 2, ..., и). (22.5) д) д( дх« ду' дх«ду' Если у нас имеются функция 1(х', ..., х") и преобразование Т ~ хг(21, ..., Ял), то комплект функций, соответствующих (22.2) и определяемых законом 6' [уравнение (22.5)), будет д( д( дка д»~ дх«дг~ Мы можем представить себе комплекты функций (дг/дх'), [д11ду~), [дг/де) и т.
д. как один и тот же математический объект, взятый в различных системах отсчета. В каждой отдельной точке Ра(х«1, ..., к,") комплект (22.2) определяет и чисел, которые можно рассматривать как компоненты градиента вектора; комплект же (22.4) представляет тот же вектор в координатной системе У, то возникнет вопрос что произойдет с этим комплектом ([„,) когда координаты х' будут подвергнуты преобразованию (22.1)? Этот вопрос совершенно не имел бы смысла, если бы не было в точности указано, что надлежит сделать с комплектом (22.2). Эти производные вовсе не «преобразуются» каклибо автоматически до тех пор, пока не будет указано, какой закон следует использовать в вычислении «соответствующих функций» в системе 1'.
Иными словами, здесь необходимо договориться относительно того, чтб должен обозначать термин «соответствующая функция» в данной ситуации. Мы можем, например, вычислить соответствующие функции индуцированной инвариантностью б' ($21); т. е. мы можем ввести в каждую функцию ~„~(х', ..., х") значения х из (22.1). Это составит комплект и функций й,(у', "., у"), аэ(у', ..., р"), ..., дл(у', ..., у"). (22.3) $ м1 кОВАРиАнтные и контРАВАРилнтные преОБРлзовлния 71 Если у нас имеется комплект л функций А!(х), ..., А„(х), ассоциированных с координатной системой Х, и если мы усло.
нимся вычислять соответствующие величины В,(у)„..., В„(у) в системе У по ковариантному закону 6', а именно по закону В, (у) =, А, (х), (22.6) ду то мы будем говорить, что комплект (Ат(к)) представляет ком. поненты ковариангного вектора в координатной системе Х. Комплект (Вг(у)) представляет тот же самый ковариантный вектор в системе У. Ковариантный вектор сам по себе есть совокупность комплектов этих компонентов, каждый из которых связан с другим комплектом ковариантным законом 6'. В качестве иллюстрации закона преобразования векторов, совершенно отличного от закона 6', рассмотрим комплект л дифференциалов х(х!, йхт, ..., ах", (22.7) где хт связаны с переменными у! формулой (22,1).
Если у нас имеются две точки Р!(х', ..., х") и Р,(х' + йх!,..., х + йхи), то комплект п чисел (22.7) определит вектор перемещения от точки Р! к точке Рз. Этот же самый вектор перемещения, будучи отнесен к ко. ординатной системе У, будет иметь своими компонентами йу1 т(уз,(ул (22.8) где 6з: с(у! —,г(х' (!', и=1, 2, ..., л). д„! дх Заметим, что закон 6' для определения величин (22.8) отличается от закона 6'. Если у нас имеется комплект величии А!(х), Аз(х), ..., А„(х), то закон 6з„определяющий соответственные величины В,(у), Вз(у)...,, В„(у), имеет вид В, = —,А,. ду! (22.9) Закон 6з называется контравариантным законом и комплекты величин, преобразуемых нами в соответствии с этим законом, мы называем компонентами конгравариангного вектора.
Законы 6о, 6' и 6' играют фундаментальную роль в построении тензорного анализа. Задачи !. Показать, что если преобразоваиие Т! у о х ортогоиальио, то раз. ! ! личие между ковариаитиым и коитравариаитиым законами исчезает. 2. Тсоказать теорему: если )(х! хз ... к") — одиородиая функция сте. дг' 1 иеии л!, то - ! к' гпй ох теория тензОРОВ )гл. И 3. Даны /(х', х', ..., х") и комплект уравнений преобразования = х»(у', у', ..., у"), где каждый у» у»(»). Показать, что если преобразование, индуиировапное инвариантностью /, имеет вид у(у», у», ..., у"), то »///»// »/у/и». указание. (д//»/ха) (»/хо/Й) = П//»»» н»/хп/а»» = (уха/ду») (Пу»/»/»), 4. Выписать законы преобразования компонентов новариантного и ковтраварианпюго векторов, если Т вЂ” преобразование прямоугольных декартовых координат в сферичесние полярные (см. $ )9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
