1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Из произведения А~4' мы видим, что А(1, /, й, а)=А~А. Подобным же образом, если А(1, 1, й, а)$„= А>чь, то А(1, 1, й, а) = — Ан~$'= Ан" . $а С другой стороны, если А(а, 1, й) $" = Аь~, то л' А(а, /> й) = — =АД»= Ах~». ь ~" / В правиле частного контравариантные величины, появляющиеся под чертой деления, должны рассматриваться как коварнантные, будучи помещенными поверх черты. Теорем а П.
Пусть (А((ь ..., 1„)) — комплект п" функций, Определенных в координатной системе Х, а (В(Г„..., 1„)) соответственные величины в системе У. Если для каясдога комплекта векторов с компонентами $„, отнесенными к координатам Х, д п,е отнесенными к координатам У,мы получаем равенство В(Р„...> Ц~ф> . т1~п = А(а„..., аг)~а (т. е. внутреннее произведение как скаляр), то комплект функций А((ь....
1„) представляет контравариантный тензор ранга г в системе координат Х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку $,, являются компонентами ковариантного вектора а мл =,)и1 ду 1 »,. с то отсюда следует, что 4, Но ~))о, ..., т1)п произвольны; на зтом основании член в квадратных скобках обращается в нуль, откуда следует, что ду ' ду > а В(рь ..., (),)= ... А(аь ..„„,) дх ' дх > А (аь ..., а,) = А"' "' Это следствие правила частного принимается некоторыми авторами как определение контравариантного тензора ранга г.
1ГЛ. М ТЕОРИЯ ТЕИЗОРОВ Так, например, если полилинейная форма А(аи ..., О„) ф~... $<'~ — инвариант, то А(аь ..., а,)- А"~ "' ", если только $„, являются компонентами произвольных векторов. С другой стороны, если А (аи ... а,) $,',( ... а"„; — инвариант для произвольного выбора $', то А(аь ..., а,) = А, .„„, Из доказательств теорем ! и 11 очевидно, что можно установить и много других законов «деления». Например, если внутреннее произведение А (й а)$„~ комплекта л' функций А (1, 1) с произвольным тензором представляет собой ковариантный тензор второго ранга, то А(й 1) представляет собой смешанный тензор типа А';. Читатель сможет доказать зто, следуя образцу, использованному в доказательстве теоремы 1. Тензорные свойства комплвкта А (й 1) можно обнаружить в алгоритме «делеиия».
Так, например, если А(1, и) С„, =,~КО, то А(~', а) = = Ф;Д„ь Если мы теперь запишем символическую обратную по отношению к ~„~ дробь как э~~, то получим А(1, а) Ф, /$„= =.4 ~'=А".. 1/ 5 27, Симметричные и кососимметричиые теизоры В тех случаях, когда обмен местами двух ковариантиых (или контравариантных) индексов в компонентах А ~ "' »(х) й" ~» тензора не меняет значения компонентов, говорят, что такой тензор А симметричен относительно этих индексов. Например, ковариантный тснзор АО(х) симметричен, если Ап(х) =Ая(х). Определение симметрии тензоров не было бы, очевидно, удовлетворительным, если бы симметрия их компонентов не сохранялась при преобразованиях координат. Для того.
чтобы убедиться, что это действительно так, предположим, что А;;, (х)= = АЧ~ ...; (х), Тогда А с, .. с, — А;,Ч ... ~, = О. Но разность двух тепзоров есть тензор, и если тензор обращается в нуль в одной координатной системе, то он обращается в нуль и во всех допустимых системах. Поэтому В~ ~ ... ~ (У) = Вк,й ...
г, (У) Мы говорим, что тензор кососимметричен (или аитисимметричен) по отношению к некоторым индексам всякий раз, когда обмен местами между парой ковариантных (или контра- вариантных) индексов в компонентах меняет только знак в этих компонентах. Антисимметрия тензоров точно так же является ОТНОСИТЕЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ 85 инвариантиым свойством. Доказательство инвариантности свойства антисимметрии сходно с предложенным выше для симметрии.
В качестве упражнения читателю рекомендуется по. строить зто доказательство на основе закона преобразования компонентов А ~ "' ю ... с /, " !~' Понятия симметрии и антисимметрии будут расширены в $ 40. $28. Относительные тензоры Вспомним, что функция )(х', ..., х') представляет скаляр в системе отсчета Х во всех тех случаях, когда в системе от- счета У, определяемой преобразованием х' = х'(у',, у ), скаляр задается формулой у(у', ..., у") = 1(х'(у), ..., х" (у)], В дальнейшем мы встретимся с функциями )(х), которые пре- образуются по более общему закону, а именно д(у', ..., у")=)(х'(у), ..., х" (у)]! — !, (28.1) дут дхз где ! †! обозначает якобиан преобразования, а % — постояндут ную величину.
Заметим, что если функция 1(х) преобразуется в соответствии с законом (28.1), то ""="'! — '."'! =")! —."! ! — '".'! ="")!".! где мы использовали теорему 11 из 5 20. Таким образом, фор- мула (28.!) определяет класс инвариантных функций, называе- мых относительными скалярами веса Ю, Относительный скаляр нулевого веса определен в $ 21. Ино- гда скаляр нулевого веса называется абсолютным скалярам. Относительный скаляр единичного веса называется скаляр- ной плотностью. Обоснованием такой терминологии может слу- жить выражение для полной массы распределения материи плотности р(х', х', х') в прямоугольных декартовых координа- тах х'. Масса, содержащаяся в объеме т, выражается интегра- лом М = ~ ] ]' р(х', хз, хз)ах'йхзйхз. Если координаты х' изме- няются с помощью уравнений преобразования х' = х'(у', у', у') (1 = 1, 2, 3), то масса М выразится интегралом дх' М= ] ~ ~ р(х(у)]] дх ] у1 узнуз= ] ] ] р(уз уз уз),(уз лузлуз Очевидно, что плотность распределения, будучи отнесенной к координатам У, выразится формулой р(у) =р(х)] — !, 1 дхг дут ' ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОН Мы можем таким образом обобщить закон преобразования компонентов смешанного тензора, введя комплекты величин А!' "' ~а (х), выполняющих преобразования по формуле ! т в В,' "','(у) = ! — ! —, ...
—, —, ... —,. А ' "' '(х). (28.2) ) дх' !ш ду ' ду ' дх ' дх ' а ...в дУ дх ' дх ' ду ' ду ' Комплекты величин А„'1"'"з(х), следующих этому закону преобразования, называются компонентами относительного тензора веса ))7. Из выкладок 5 24 и транзитивного свойства якобианов, а именно следует, что преобразование (28.2) транзитивно. Кроме того, из линейного н однородного характера этого преобразования следует, что если все компоненты относительного тензора обращаются в нуль в одной координатной системе, то они обращаются в нуль и в любой другой координатной системе. Непосредственное следствие из этого свойства заключается в том, что тензорное уравнение в относительных тензорах, справедливое в одной координатной системе, верно и во всех других координатных системах.
В этом случае относительные тензоры в обеих частях уравнений должны быть одинакового веса. Читатель может легко убедиться также в том, что: (а) относительные тензоры одного и того же типа и веса допускают операцию сложения, причем относительный тензор, получающийся в результате суммирования, принадлежит к тому же типу и имеет тот же вес, что и слагаемые; (б) относительные тензоры могут быть взаимно умножены и вес результата определяется как сумма весов тензоров, входящих в произведение; (в) операция свертки относительного тензора дает относи.
тельный тензор того же веса, что и начальный. для того чтобы отличить рассмотренные в предыдущих параграфах смешанные тензоры от относительных тензоров, для первых часто применяется также термин абсолютньзй гензор, В применениях теории тензоров нам в дальнейшем придется встретиться с некоторыми относительными тензорами, Задачи ь дано соотношение А(й ), й) В' С', где Взь -произвольный снмметрнчный тензор. доказать, что А(й ), й) +А(й й,)) — тензор. Затем вывестн, что если А(ю,уй) снмметрнчен относительно ) н й, то А(ййй) — тензор, метРическии теизоР зт 3. Дано соотношение А(31,/г)Взь = С', где В'ь — произвольный кососимметричный тензор.
Доказать, что А(1,),й) — А(йй,)) — теиэор, и, исходя из Этого, доказать, что если А(1,1, й) — тензор, кососимметричный относительно ( и й, то А(ййй) — тензор. 3. Показать, что если а(1,1)дхЧхз — инвариант для произвольного вектора Нх' и а(С1) симметричен, то а(1, 1) — тензор ац.
4. Показать, что если ац — тензор, то Ац — алгебраическое дополнение ац в )ац), разделенном на )ац) чь О, есть тензор. 3. Показать, что если ~р(х~, ..., ь") — скаляр, то (денар/дх'дхз) есть тензор относительно комплекта линейных преобразований координат. 6. Показать, что если )ац — хйц( = О для Х = Х~ в одном комплекте переменных, то )ац — ХЬ,?) = О для Л ?и в новом комплекте переменных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
