1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим теперь несколько подробнее следующий вопрос. Какое ограничение должно быть наложено на симметричный тензор йи(х), для того чтобы стало возможным введение коор- динатной системы У, определенной через Т: у'=у'(х', ...„х") (1=1, ..., и), если у'(х) принадлежат классу сз, в Р„, где тензор до(х) имеет постоянные компоненты йи в Р ? Это один из основных вопросов дифференциальной геомет- рии, возникающий также в ином аспекте в динамике, теории упругости, теории относительности и в других разделах при- кладной математики. Заметим сначала, что компоненты йи(х), будучи отнесен- ными к координатной системе У, принимают внд дх дха йи = ° Ыа (39.2) ду' дут Если величины йи являются постоянными, то символы КристофГч 1 феля ~ .
~ тождественно обращаются в нуль. И наоборот, если И ,. ~ тождественно обращаются в нуль, йи,~ — — дйи/ду', а поч1 у Н скольку йил = О в силу теоремы Риччи, получаем дйп/ду~ = О в Р,. Отсюда следует, что йи постоянны для всего Р . Это по- зволяет нам сформулировать теорему.
Т е о р е м а 1. Необходимым и достаточным условием для гого, чтобы метрические коэффициенты дп(х) приводились к по- стоянным величинам Ьи в некоторой системе отсчета У, являет- ся тождественное обращение символов Кристоффеля ~ .. 1 в Гч 1 ь1! 1 нуль. Из этой теорелгы мы можем вывести непосредственно си- стему дифференциальных уравнений, которые должны удовле- творяться функциями у'(х', ..., х"), если при этом существует некоторая координатная система У, в которой величины йц яв- ляются постоянными. Закон преобразования (32.6) требует, чтобы а поскольку 1 1- О, мы приходим к системе уравнений е! ар> (39.3) ТЕОРИЯ ТВНЗОРОВ ыо »гл. и где символы 1~, ) формируются из у»»(х). Система днфферен- »»3» циальных уравнений в частных производных второго порядка (39.3) может быть переписана в эквивалентной форме как система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка ду — с И» дх» (»=1, 2, ..., и), (у=1, 2, ...„и).
(39.4) — оо <1 < оо. Положим, что функции Р» принадлежат классу С' в»х'. Так как область 1~' открыта, допустим, что дР»»д)~ заключены в Й'. Ограничения, налагаемые на выбор функций Р», удовлетворяются, очевидно, функциями, входящими в правые части уравнений (39.4) . Поскольку г"» принадлежит классу С' в )»', 1а принадлежит классу О, на основании чего дэ)а дз)а (39.6) дх» дхт дхх дх Этой формулой выражено необходимое условие ммтегрируемосги системы (39.5).
Дифференцируя уравнения (39.5) по х», по- лучим д~(а дл» др~» д)Э др~» дла» дх' дх» дх» д(а дх» дх» д)В + '+ ' реп Система эта вообще несовместна, и мы теперь возвращаемся к определению необходимых и достаточных условий существования решения системы (39,4), Для того чтобы записать эти условия в симметричной форме, рассмотрим систему д)а ра ((» (э (»а» э а) дх» ' ' ' (39 5) (а= 1, 2, ..., и»), (» = 1, 2, ..., п), где Р» — известные функции переменных 1 и х. Уравнения (39.5) приводятся к частному виду (39.4), если положить 1» = у, 1'= и„..., 1»а = и„. Функцииг» определены в и-мерной области )1 и для произвольных значений функций 1», т.
е. для — оа <(» < оа. Обратимся к области определения функций р~». Эта область )г' состоит из области Й переменных х' и совокупности интервалов 4 зи простглпствл гимлнл н евклида где последней операцией является подстановка выражения для производной д?а/дх) из (39.5). Если теперь вернуться к (39.6), то мы получим в качестве необходимого условия интегрируемости уравнений дрог др«дрв! дрв! — + — Р! = — + — Рг (а, р = 1,..., т), (г', ? = 1, ..., п).
е дк! д?Р дхг д?Р (39.7) Здесь мы убеждаемся, что если система (39.5) имеет решение, то либо (39.7) будут тождественны для ?о и х', либо между ? и х должны существовать какие-то функциональные связи. Если (39.7) — тождсства, то система уравнений (39.5) называется вполне интегрируемой, В таком случае представляется возможным доказать, что условия интегрируемости уравнений (39.7) не только необходимы, но также и достаточны для того, чтобы гарантировать существование решений системы (39.5).
Имеется несколько доказательств существования решений для таких систем дифференциальных уравнений в частных производных; простейшее, может быть, из них было предложено Т. Томасом в 1934 г. в работе, носящей заглавие «Система полных дифференциальных уравнений, определенных в односвязных областях» '). Более раннее доказательство, предполагающее аналитичность функций Рг, представил в 1872 г, Буке' ). Существование таких решений доказано также Ж. Дарбу') и Э. Картаном 4). Мы не будем входить в обсуждение достаточности условий (39.7), а установим лишь теорему существования. Теорема существова ния, !?усть ?? — открытая п-мерная односвяэная облисть, отнесенная к системе координат Х, а ??' — область„состоягцая иэ ?? и границ — оо(?г( оо, Если функции Р' (х, ?) входят в класс С' в ??', имеют ограниченные проиэводньге дР'/д!! в ??' и если, далее, условия (39.7) интегрируемости тождественно удовлетворяются, то система (39.5) имеет одно и только одно решение ? (х, ..., х") (а=1, ..., гп), которое для произвольного набора значений (х', ..., х") принимает произвольно заданные эначения С'=? (хг, „х„").
') Т Ь о гп а в Т. У,, зув1егпв о1 1о1а! гнпегеппа! еяоа1гопв беипеб очес вопр!у соппес1об богпа!пв, Аппа!ев о1 гпа1Ьегпа1!св, 33, 730 — 734 (1934), ') В о о Ч о е1 Л. С., Вон. вс!. гпаиь е! ав(гопопг. 3, 203, (!372) ') 0 а гьо ох сг., (,ееопв вот !ев вувгегпев огщояопаох (лекпии об ортогоиалькых системах), !910, стр 326 — 333. ') С а г( а п Е., сгеогпе1г!е дев еврасев Йе и!ептапп (Геометрия римаооаых пространств), 1923, стр, 34 — 37, Доказательство Томаса весьма близко по замыслу к представленному Э. Картаиом.
ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 112 [Гл. н Применим теперь эти результаты к частному случаю системы (39.4), отождествив ее с (39.5). Зависимыми переменными в (39.4) являются у, иь ..., и„, в уравнениях же (39.5) они обозначены через 11, 12, ..., 1"". Положим поэтому 1 2 ле1 1=у) и„...,1 =и„; тогда система (39.4) примет вид д(1 — =с1=и (1=1, 2 ... и) л 1 х — 1 = г" 1 = ~, ~ ит (а = 2, 3... „и + 1), (1, у = 1, 2, ..., и). р1' в условия интегрируемости Подстановка выражений для (39.7) дает (39.8) )стии =О.
Первая из этих систем уравнений удовлетворяется тождественно в силу симметрии символов Кристоффеля. Вторая констатирует, что система уравнений (39.4) получает решение при тождественном обращении тензора Римана — Кристоффеля )с121 в нуль. Поскольку этот тензор обращается в нуль в том случае, когда метрические коэффициенты принимают постоянные значения, мы сможем сформулировать следующий критерий. Теорема П. 12еобходимым'и достаточным условием того, чтобы симметричный тензор дц при 1й11) ФО приводился при надлезко1Чем преобразовании координат к тснэору йп, где й11— константы, является условие, чтобы тензор Римана — Кристоффеля, образованный иэ дн, был нулевым. Отметим далее, что если квадратичная форма Я = йну1у1 по ложительно определена, существует неособенное линейное преобразование, приводящее Якканоническойформе1ч= (у1)'+...
... + (у')', Так, если д1,(х) являются коэффициентами в положительно определенной квадратичной дифференциальной форме йз2 = уи йх йх~, 139.1) характеризующей метрические свойства Й, то существует вещественное функциональное преобразование Т: у1 = у1(х), при. водящее его к виду 122 (йу1)2 1 + (Дул)2 (39,9) если только 12121 обРащаетсЯ тождественно в нУль в )сл.
1 4 «а! «системы и ововщвниые дильты кноивкигл ))3 Напомним, что метрическое многообразие )сн, в котором воз. можно приведение формы (39.!) к (39.9), называется евклидовым и-мерным пространством Е и что )ся может быть названо евклидовым лишь в том случае, если риманов тензор многообразия является нулевым тензором. Задачи !. Выполнить подстановки в условиях интегрируемости (39.7), приводя. щие к уравнениям (39.8).
2. Йсходя из системы (39.5), показать, что она полностью эквивалентна системе полных дифференциальных уравнений г))е Ра~ ьх'. 3. Сформулировать услония интегрируемости для уравнения Р (х, у, г) «(х+ !7 (х, у, г) ау+ )! (х, у, г) лг = Ч Рассмотреть также систему дР дР дР— Р, — «), дх ' ду ' йг 4. Доказать теорему: если Р ох+ ьг ау+ й ох = О интегрируемо, то )«Р ох+ Х«) лу Ь ЛЯ ог = О также ннтегрируемо для всякого л(х, у, г), входящего в класс С'. 6 Вывести условия интегрируемости для уравнения Рг(х', ..., х") Ех' О (; ! , и) 9 40.
е-системы и обобщенные дельты Кронекера Понятие симметрии и кососимметрии') относительно пар индексов (см. % 27) можно распространить на множество величин, являющихся симметричными или кососимметричными, и относительно числа индексов, превыщакицих два индекса. Рассмотрим в этом параграфе совокупности величин А '"''4 или А,, „; зависящих от я индексов — нижних пли верхних — хотя величины А, могут и не представлять собой тепзоров. Определение ! Система величин Л" " 'ь (или Аг, „~„), зависящая от и индексов, назьгвается полностью симметричной, если значение символа А остается неизменным при любых перестановках индексов. Определение 2.
Система А'1'" гь (или А~,, ч ), зависяь и(ая от )г индексов, называется полностью кососимметричной, если значение символа Л остается неизменным при произвольной перестановке индексов, причем А лгеняет знак лишь после нечетного числа перестановок индексов. Напомним, что всякая перестановка п различных объектов, например перестановка и различных пелых чисел, может быть ') В литературе используется также термин «антнсииметрняж ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 1гл 11 выполнена конечным числом парных обменов этих объектов и что число обменов, требующихся для выполнения заданной перестановки в данной совокупности объектов всегда бывает либо четным, либо нечетным. Из определения 2 следует непосредственно, что во всякой кососимметричиой системе член, сопровождаемый двумя одинаковыми индексами, обращается обязательно в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
