1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 22
Текст из файла (страница 22)
С другой стороны, разложив его по столбцам, мы получим ком- пактную запись ~ а'~ = ессса,'а"а'. Рассмотрим теперь сумму ец,а,'аса„' (с, /, Й, а, й, у = 1, 2, 3). Прежде всего мы хотим показать, что эта система полностью ко- сосимметрична относительно сс()у. Поскольку индексы с/й яв- ляются индексами суммирования, мы вправе заменить их про- извольно другими и получить таким путем равенства ец а,ааа„= есна,айа = е,а ааа„. ссс ссс Так кзк й н с подвергнуты в еьн перестановке, то е-символ ме- няет знак, н мы получаем с!с с с» ец а,а а„— ец„а'а а»г Убеждаясь в том, что перестановка и и у приводит к перемене знака, констатируем, что рассматриваемая нами система косо- симметрична относительно а и у.
Сходные результаты имеют место, очевидно, н для других индексов. Частным случаем такой системы является детерминант ~а'~ =ес а,'аз!асс, а потому из вы. шесказанного следует, что %— есс„а„ааа = ~ а' ~ е,а». Подобным же образом можно показать, что есс"а,"аза» = ', а' ~ е'а», ! с ь=!! Из этих выражений следует непосредственно, что перестановка двух столбцов (или двух строк) детерминанта ~а' ~ изменяет его знак, и если два его столбца тождественны, то значение его об- ращается в нуль, Эти результаты можно немедленно обобщить на детерми- нанты и-го порядка, так что для любой перестановки строк мы вправе установить е'Ф "»(а, '! = е'с " 'а",.аз ...
а», / и для любой перестановки столбцов ец,!а'~=е,а ас'аз ... а». (4 !.4) Воспользуемся формулой (41.4) в вычислении произведения двух детерминантов. Поразительная эффективность и компакт- ность этого приема демонстрируется в нижеследующем выводе: Пользуясь выражением (Ьсс1=ец ...
сйсЬ»|... Ь~, мы можем, опираясь на формулу (41.4), установить соотнопсенне ~ ас ! ~ Ьс ! = ~ ас ! ец „. сйсЬ! ... Ь„' = (е,а ... »а!аз ... ас)(ЬсЬс... Ь'„) теогия тензОРОВ [гл с! и получить из него [[ас~ с[Ь[~ е,в„. „(а;'Ь!)(асВЬ!)... (ахтЬ)) *~асс~, где а ! ! ! 2 с!=а„Ь! =асЬ;+ааЬс+ ... +а„Ь!. Дифференцирование этого выражения приводит нас с формулы типа (41.5) к производным: ( с! да (да! ! ! ! да! — е ~ а! ах+а ! ал+ дх! ~! х"' х дх[ " ' дх! ! ! да„[ да,, да ...
+а 'а,,' ...— ".! = — Ас + —.А! + ... дх' дх! ' дх! да а + а Ау дх! помощью в = — Аа. дх! Формулы (41.3) и (41.4) позволят нам установить, что символы перестановок е ' " и е! „, с являются относительными !''' а тенэорами, которым должен быть приписан вес +1 и соответственно — !. Рассмотрим допустимое преобразование Т: у'=у'(х', ..., х") и его якобиан с' =- ~ —" ~. Если в формуле (41 3) положить ду дх а'= — и вспомнить, что — =~ — ~~ то получим непосредду' дх! ! ду ственно ) дх ~ а а ду ! ду ду дх ' дх" (41.6) Разложение детерминанта по элементам первого столбца запишется выражением (41.5) ! с в котором А,= е,, а,'а,' ...
а„— алгебраическое дополнение элемента а",. Выведем теперь формулу для частных производных детерминанта, элементы а' которого являются функциями переменных х', хс, ..., х". Из формулы (41.2) получаем с! а а=с,, а,а,, а„. !'! "' л ПРИМЕНЕНИЕ е СИСТЕМ К ДЕТЕРМИНАНТАМ 121 ьси т. е. уравнение, выражающее закон преобразования относительных контравариантных тензоров веса + 1. Точно таким же путем выводим, что ду ' дез ду" Задачи что Ьиаоб= а!! — а!!.
что ье!' аорт=а'!А — агь!+а!Аà — аг!" + аьг1- аа!' арт что если а, удовлетворяет уравнению Ьа !+ са! =О, 1. Доказать, 2. Доказать, 3. Доказать, то возникают две возможности: либо Ь = — с и ао симметрично, либо Ь = с и тогда аг! кососимметрично, Указание. Так как ! и ! могут приннмать знаеення ! ... и, то заданному уравнению можно придать вид Ьа! +са! О. Сложив его с первым, получим (Ь + с) (ао + аи) = О. 4.
Показать, что (а) е ее! Ь'! (Ь) ег!Ае!" Ь'Ь~ь — Ь'Ь). Указание Левый член в (б) обращается в нуль, за исключением случая, когда ! и й различны, а /, й — перестановка г, а Если ! = г и й з, то левый член получает значение +1, если ! з и й г, то его значение — 1. Определить затем значение правого члена при том же наборе индексов. Е. Определить значения Ь!. Ь!г, Ь!ЬАЬ!, если индексы располагаются в г г! ! ! порядке от ! до л. откуда находим, что ег,г,...ㄠ— относительный тензор веса — 1. Из формулы (40.5) е~"' ' +1"' "е =(и — г)!Ь~" ...
! ! !1 "' !ггг+1 "' 1о 1, ". 1, обнаруживаем, что дельта Кронекера Ь;, „, ! получается путем перемножения двух е-символов, одним нз которых является относительный тензор веса + 1, другим — относительный тензор веса — 1 и их свертки в соответствии с числом индексов.
В результате получается тензор нулевого веса, т. е. обычный тензор. Таким образом, мы доказали, что обобщенные дельть! Кронекера являются абсолгогными тензорами. Из того, что в случае декартовой координатной системы Х дб г," ! 1," 1, г1 " !е выражение Ь,.',е, приводится к ь, О, заключаем, что ковариантные производные обобщенных дельт Кронекери обращаются тождественно в нуль. Таким образом, дельты Кронекера ведут себя как константы в ковариантном дифференцировании.
ГЛАВА Н! ГЕОМЕТРИЯ 2 42. Неевклидовы геометрии Традиционная евклидова геометрия, основанная на системе «самоочевидных истин» н созданная в значительной мере Александрийской школой математиков (около 300 лет до нашей эры), господствовала над мыслью и формировала развитие физики и астрономии на протяжении более двух тысячелетий. Немного нашлось за это время смельчаков среди математиков. для которых «самоочевидные истины», содержавшиеся в евклидовых аксиомах, показались неубедительными: престиж логической структуры «Начал» Евклида был столь высок, а рука авторитета столь весомой, что онн на века затормозили развитие математики.
В 1621 г. Г. Сэвиль поднял, наконец, ряд вопросов, направленных на те два, по его выражению, «позорных пятна» геометрии, которые усматривались им в теории пропорций и в теории параллельных линий. Аксиома Евклида о параллельных (У постулат в книге 1 «Элементов») была призвана утверждать, что любая пара проведенных на плоскости прямых при достаточном их продолжении, взаимно пересекается, если сумма двух внутренних углов, образованных линией, пересекающей упомя нутую пару, оказывалась меньшей, чем два прямых угла. Действительно, тот факт, что некоторые предложения Евклида, относящиеся главным образом к обращению вышеназванного постулата, оказалось возможным доказать без привлечения Ч постулата, внушила надежду на то, что и самый постулат можно вывести из других аксиом, Однако все попытки доказать Ч постулат оказались безуспешными.
В 1826 г, русский математик Н. И. Лобачевский представил математическому факультету Казанского университета исследование, исходившее из допущения, согласно которому через каждую точку на плоскости можно провести две прямые, параллельные заданной. При этом обнаружилось, что построенная длшы дзги Г23 Лобачевским геометрия не содержала в себе никаких внутренних противоречий, как и евклидова. Больше того: геометрия Лобачевского содержала в себе геометрию Евклида как специальный случай и вскрыла произвольность понятия длины, принятого в геометрии Евклида. В 1831 г. венгерский математик И. Бойаи опубликовал результаты своих самостоятельных исследований, по замыслу мало отличавшихся от результатов Лобачевского, но проникших, может быть, более глубоко в метрические свойства про. странства, Бойаи отметил, как и Лобачевский, что геометрию в малом можно приближенно признать евклидовой и что только физический эксперимент может решить, принять ли евклидову Или неевклидову геометрию в качестве инструмента физического измерения.
Таким образом, выяснилось, что никаких априорных критериев для предпочтения одной геометрии другой не сушествует. И тем не менее лишь после появления в печати (посмертно опубликованной в 1867 г.) глубокой диссертации Б. Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» математический мир полностью признал ~у роль, которую играют в геометрии метрические понятия. Риман, по-виднмому, не был знаком с работами Лобачевского и Бойни, хотя они хорошо были известны К.
Гауссу. Позднее Э. Бельтрами опубликовал свой классический труд по интерпретации неевклидовых геометрий (1868), где он исследовал результаты Лобачевского, Бойаи и Римана, и доказал, что метрические свойства пространства являются только определениями. Из этих исследований выяснилось, что все три типа геометрий возможны для поверхностей постоянной кривизны: геомет. рия Лоба 1евского — на поверхности постоянной отрицательной кривизны, риманова — на поверхности постоянной положительной кривизны и евклидова — на поверхности нулевой кривизны. Эти геометрии называются также соответственно: гиперболическая, эллиптическая и параболическая. Рассмотрим их вкратце в нижеследующем параграфе.
3 43. Длина дуги Введем в и-мерное пространство й систему координат Х и рассмотрим одномерное подпространство в !г', определенное уравнениями С: х'=х'(1) (1=1,..., и), (43.1) где 1 — вещественный параметр, изменяющийся непрерывно в интервале 1~ (1(Гь Одномерное многообразие С называется отрезком дуги кривой. В этой книге мы будем иметь делолишь С такими кривыми, для которых х'(1) и х'(!) г(х*'/й являются (гл.
гн гномитрия )24 непрерывными функциями в интервале 1ь.41(1а. Предлагаемое здесь определение дуги кривой является непосредственным обобщением параметрического представления кривых в элементарной аналитической геометрии. Пусть функция Р(х', ..., х",х', ..., х"), рассматриваемая как функция 1, является непрерывной в интериале 1! < 1( 1з.
Положим '), что Р(х, х) ) О, за исключением случая, когда х' = О и для каждого положительного числа А Р(х',..., х", Ах',..., [гхп) йР(х', ..., х", х',..., хп). Интеграл г = ) Р (х, х) с[1 (43.2) ') Функция Р(х,х), удовлетворяюшая условию г" (х, йх) ЙР(х, х) для каждого й > О, называется положительно однородной степени ! по х'. Это условие одновременно н необходимо, и достаточно для того, чтобы гараити. ровать независимость значения интеграла (43.2) от той или иной частной зависимости параметра С. Например, если Г в (43.!) заменить наной.либо функцией 1 = ф[з), а х'[ьр(зц обозначить через 5'(з), получив х'(!) $е(з), то мы придем к равенству с, е где $н(з)= е(х'lь)з, а й = ф(з,) и га = ф(зз).
Лля того чтобы доказать зту теорему, положим, что й — произвольное положительное число. ь г —. Ьс что Г~ — — йзь а (з —— йзз. Тогда (43.!) принимает значение С: х! (йз) - Кг (з) и $' (з) = йхг(йз). бх' [йз) бз Если яти значения ввести в (43.2), получим з ~ р[я(йз), х(йз)[йе(з. е! приравняв же результат интегралу еь з- ~ Р[$(з).%'(з)) и' е( мы должны будем получить соотношение Р ($, й') = г (х, йй) = йР (х, х). И наоборот, если зтн формулы окажутся справедливыми для каждого злемента кривой С и каждого й > О, то равенство интегралов будет обеспечено для любого вида параметра ! = ф(з), ф'(з)>О, з,~~ее зт при й ф(з,) и !' ф (зз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
