1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если, например, у нас имеется кососимметричная система величин Ам», где 1, 1, й принимают значения 1, 2, 3, то А1м = О, Апв = — А„,, Лвм = А1ж и т. д. Вообще компоненты АО» кососимметричной системы удовлетворяют соотношениям Аи» = — Аои = — А1г» = = Авы = А»п = — 4»11 Рассмотрим теперь кососимметричную системувеличин Л1, „. 1„ (или Л' "' ' ), в которой индексы 11, ..., 1„принимают значения 1,2, ..., п. Определим е-систему следующим образом; Определение 3.
Если значение величины А1 „,1 (или Л'1"' 'и) равно + 1, когда 111» ... 1, представляет собой четную перестановку ряда 1 2 ... п, равно — 1, когда 11, 1», ... 1„ представляет собой нечетную перестановку ряда / 2 ... и и равно нулю во всех иных случаях, то система А1 „.1 (или А" "' '") называется е-системой (системой е), Эти системы мы будем в дальнейше»1 записывать последовательностями либо е1, „,1, либо е ~ "' ", В $41 будет показано, 1 ... 1 по е-системы являются относительными тензорами. В качестве иллюстрации отметим, что компонентамн системы еп являются еи — — О, е1» = 1, ем = — 1, еж = О. Если е-система зависит от трех индексов 11й, то еи» = О в случае, если два любых индекса одинаковы, между тем как еи» = ем1 = 1, если 1)я — четная перестановка 123, и еи» = — е,в, = — 1, если 11я— нечетная перестановка 123.
Близкое отношение к е-системам имеют обобщенные дельты Кронекера, к определению которых мы теперь непосредственно и перейдем. 1, ° .. 11, Оп редел ение 4. Символ бг' „'1, зависящий от й верхних и я нижних индексов, каждый из которых пробегает последовательность значении от 1 до п, называется обобщенной дельтой Кронекера при условиях: (а) если он полносгью кососимметричен в верхних и нижних индексах; (б) если все верхние индексы различны, а нижние составляют тот же комплект чисел, что и верхние, причем названный символ принимает значения +1 или — 1 в зависимости от того, требуется ли четное или нечетное число перестановок для того, е.СИСТЕМЫ и ОБОЫЦЕННЫЕ ДЕЛЬТЫ КРОНЕКЕРА !!5 А еь! чтобы расположить верхние индексы в том же порядке, что и нижние; (в) во всех остальных случаях значение указанного символа должно быть равно нулю.
В качестве примера рассмотрим символ бм. Из определения 1! 4 следует, что если с ! или й = 1 или если сочетание ц нетождественно сочетанию й1, то бсссс= О. Во всех иных случаях 4 равен + ! Или — 1 в зависимости от того, является лн й! четной илн нечетной перестановкой ц. На этом основании !1 22 12 а 12 м 1=ба=ба=ба= ° ° 12 12 21 — 1 = бл = бл = бс2 = В 5 41 мы докажем, что обобщенные дельты Кронекера — тензоры. Из определения 3 следует, что непосредственное произведе- 1 С "' сл ние ес'"' "ес,с,„,с„двух систем е "' " н ес,„,с„представляет собой обобщенную дельту Кронекера.
Например, елауессь принимает следующие значения: (а) нуль, если два нли большее число верхних или нижних индексов одинаковы; (б) + 1, если разность в числе перестановок сну и цй из 123 представляет собой четное число; (в) — 1, если разность в числе перестановок ару и цй из 123 представляет собой нечетное число, Легко сформулировать положения (б) и (в) несколько иначе: (б') е'атець = +1, если для расположения нижних индексов в том же порядке, что и верхних, требуется четное число перестановок; (в') е'Втессь — — — 1, если длЯ РасположениЯ нижних индексов в том же порядке, что и верхних, требуется нечетное число перестановок. В силу этого представляется возможным установить равенство е ець = бцл.
лат еау Из определений 3 и 4 поэтому следует, что е-символы допускают выражение в зависимости от дельт Кронекера: 1,12 ... С„ С,С, ... С„ 12 ...л е ' '" "=бс'2',.:л" и бс с,. с =ес, „, с 12-' л 12'" л' так как е = + 1 илн — 1, где совокупность различных целых чисел 1112 ... с„ получается из совокупности 1 2 ... и в результате четного нли нечетного числа перестановок, причем во всех иных случаях е = О, е-системы и обобщенные дельты Кронекера обнаруживают свою полезность в вычислениях, связанных с альтернируемыми совокупностями величин.
ТГОРИЯ ТЕНЗОРОВ !гл. н 116 Отсюда можно, таким образом, сделать вывод, что д1,12" ', (а — а!! д12'2 "1«1«+~" 'а д1,12." 1, (~ «)1 д1,12" 1«!«2. и (40.2) 3~2 " 1« а! д!,'!',„. !'=п(п — 1)(п — 2) ... (и — «+!)= ( 1,, (403) В качестве частного случая (40.3) находим формулу Е ' 2"' "Е1,1, „, 1„=я!, (40.4) Рассмотрим несколько примеров, позволяющих нам вывести несколько соотношений, связанных с операциями над этими символами. 1М Произведем операцию свертки в д,ат по индексам й и у. Результат для и = 3 принимает вид д.2(, = дя(, + д„', + д. „= =д.м 2М 1П 112 112 11 Это выражение обращается в нуль при наличии равенства либо между 1 н !', либо между а н й. Положив 1' = 1, ! = 2, получаем д„'а2=д,а, откуда д,а=0, если аД не является перестановкой 12.
В последнем случае д,а=1, если 22(! — четная перестановка12, !2 а д,аз= — 1для нечетнойперестановки. Подобные же результаты !2 имеют силу для всех значений 22 и й, выбранных из совокупности чисел 1, 2, 3. Таким образом, находим, что д,а равна: 11 (а) нулю, если два из нижних или верхних индексов одинаковы или когда оии состоят из одних и тех же чисел; (б) +1, если !! — четная перестановка сгр; (в) — 1, если 1!' — нечетная перестановка ай.
Если мы произведем свертку д,'а и разделим результат на 2, то получим систему, зависящую от двух индексов: да = ~ да! = ~ (да! + да2+ двз) ! 11 1 1! 12 22 ! «12 !22 Положив 1=1 в д„, получим д,= — (да2+дР2).,Зто выражение обращается вообще в нуль, за исключением того случая, когда 22 = 1 и д! — — !. Аналогичные результаты можно получить, поло! жнв ! = 2 или 1 = 3; тогда д, принимает значения: (а) О, если 1чьа (б) 1, если 1' =а.
(а, 2=1, 2, 3); Путем подсчета числа слагаемых, входящих в суммы, нетрудно убелиться, что вообще ° (40.1) 5 101 «СИСТЕМЫ И ОБОБЩЕННЫЕ ДЕЛЬТЫ КРОНЕКЕРЯ б,',2"' «А "2'"'«= О, 1 2' «1112'' У! если Л.. симметричен по двум или большему числу ниж- 11 ° ° с,! них индексов. Точно так же и ссс2 "с, у, "у с ... с если А ' Р также симметричен по двум ил и по большему 1"' « числу'индексов.
Положим, что А,' у' симметричен по у, и ут; тогда 1 « ЬУ112" У«Л'1 "'Р буссе" '«Л'! "''Р бусус " '«Л'1 "'Р с,с, ... с у,у, ... у с,с, ... с у,у, ... у с,с, ... с у,у, ... у . 1 2 " ! 2 !'" Но у, н уз — индексы суммирования, поэтому 14'1"' Р,) 1 2 "' У«Л'1"' 'Р . ° . с с,у . " У« с ! ... с У,у ... у 2 12 ! 12 « и следовательно, б'' «А' Р =О.
1 2 "' ! 1112 "' У« Задачи 1. (а) показать, что б! а 31, если 1, У, Уе 1, 2, 3. Це ба бо ба б„' б,' бр бт у бае бте и ба бр (б) Показат~, что баб - и боат —— ба 2. Раскрыть для а 3 выражения: (а) буба. (б) б!2яурс. (в) асс!уксус. (г) бааз!ус (д) 3. Раскрыть для п 2 выражения: (а) есуассаус (б) есуптасс (в) еоаасаб с= е У ~ а у. 4. Показать. что если совокупность величин Ас 1 в нижних индексах (числом б), тогда бу "' у А! с У!1 Ау бсу П кососимметричиа е а из (40.2) выводим соотношение с ... ! с с ...
! е ' ' '+' "е ... ! „, =(л — г)! Ь ' „, .'. (40.5) 11 ' ' Уг ! + 1 ''' « 11 ''' с! Рассмотрим теперь ряд п«+«величин Л ' Р (где ! и у' про- 11 " У« бегают ряд значений от 1 до л), симметричных по двум или по большему числу индексов (верхних или нижних). Мы можем показать, что (гл. и ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОИ 3. Показать, что если выражение А!,ь полностью симметрично и индексы пробегают рид значений от ! до л, то число различных членов в совокупности (А !ь) должно быть равно л (и — 1) (л — 2) (у - л+ л (л — !) + 31 Указание. Рассмотреть случаи, в которых все нижние индексы бФ одинаковы, за исключеииел! двух, и когда все они различны. 6.
Показать, что число различных неисчезающих А!!ь в задаче б равно л (л — 1) (л — 2) если выражение А(зь полностью кососимметрично. й 4!. Применение е-систем к детерминантам. Тензорный характер обобщенных дельт Кронекера а аз . ° . а„ ! ! ! а' ат ... аа ! 2 ''' л (а(() = (41.1) ал ал ал ! 2 '' л можно будет записать в компактной форме (( ...( л ( ( а=е''"' ла.а ... а е., а!аз ... ал (2 (л '((2 ''' (л ! 2 ' ' ' л (41.2) Рассмотрим в качестве п римера а, а, а, ! ! ! а2 а2 а2 ! 2 3 ат аз аз ! 2 3 ! '~1= Если этот детерминант разложить по столбцам, то мы получим а-~ч.",-~ а!аа(аз, где (!й — перестановка 123.
Введение знака + ( ь или — в произведение а(ахах совершается в зависимости от того, Напомним, что детерминант ~а'~ и-го порядка из элементов а'. вычисляется как сумма произведений, в каждое из которых ! входят один, н только один, элемент из каждой строки и из каждого столбца детерминанта. Знак каждого члена в сумме определяется способом перестановки индексов. Так, например. если верхние индексы в произведении а' а' ...
ае располагаются в (! (2''' ал нормальном порядке !2 ...л, то произведение получит знак + если число перестановок, необходимых для того, чтобы расположить нижние индексы в нормальном порядке, окажется четным. Знак получится отрицательным, если требуемое число перестановок будет нечетным. Поскольку е'! "' " = б,! а "„' л и б,",'"", = е..., детерминант (!'2"'(Л ! 2". (Л' пгимнсвние».систем к дете ссисслсстзм !!9 $ сп четной илн нечетной получается перестановка. Приведенный де- теРминапт можно бУдет поэтомУ записать в виде ~ а' ~ = е, аса~ас.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
