1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 19
Текст из файла (страница 19)
" ! 1, !ь ... ! + ! ... ! ! ! ! ... ! , ! + ! ... ! , ! следует непосредственно из (33.5) . Для того чтобы доказать, что производные внешнего и внутреннего произведений задаютс я знакомыми и ра вила м и (!!" !А ~!г+ " ! ''! ~!!" !ь ~!з+ " !е А!! "!ь ~!ь.>," 1, (, 'Г+1" и! ! !! "' г г+! '" !и ! !"'!и' ГГ+!" (: " ),= А ' „* ' .Ф '+';., ) Ь,...1, с,,...г,о!,= = А ... ' ' Ф' ..! а+А!'...1,сгхг+'" ,а+ А1, ... 1,,сгг, нам нужно лишь ввести в формулу (33.5) произведение А.4 вместо А. Проиллюстрируем зту процедуру, рассмотрев !Гл.
и ТЕОРИЯ ТЕИЗОРОВ 102 Подобное же вычисление мы можем провести и для тензора д», ио более поучительным, пожалуй, было бы продифференцировать внутреннее проузведение д'"д„, = 6'. Мы получаем при этом в>ай + выв д а> ах ! ьн а поскольку Ь,'.,=О н д„,,=О, приходим к выводу й йы= О. а> Поскольку, однако, ~д„;~ ФО, единственным решением системы однородных уравнении будет д",'= О. В качестве непосредственного следствия теоремы Риччи ука>кем нз то, что фундаментальные тензоры могут быть вынесены за знак ковариантного дифференцирования, в связи с чем операции опускания и поднятия индексов приобретают свойство перестановочности с ковариантным дифференцированием.
Иллюстрируем это соответствующей формулой: $36. Тензор Римана — Кристоффеля Напомним, что достаточным условием для равенства смед>н деи шанных частных производных и — функции и(х, у) дк ду ду дх является принадлежность функции и(х, у) к классу Сз. Допустим поэтому для дальнейшего, что рассматриваемые нами компоненты тензора принадлежат к классу С', хотя такое ограничение, как мы увидим, само по себе недостаточно,чтобы обеспечить равенство смешанных ковариантных производных. И действительно, в дальнейшем будет показано, что хотя порядок ковариантного дифференцирования и не имеет существенного значения, все же наши тензоры должны быть определены в конкретном частного типа метрическом многообразии Х, для которого некоторый тензор четвертого ранга, состоящий полностью из воз обращается в нуль.
Этот тензор, известный как гензор Римана— Кристоффеля, играет существенную роль в дифференциальной геометрии, динамике твердого и деформируемого тела, электро- динамике и теории относительности, Ковариантная производная тензора есть тсизор, и потому ее можно продифференцнровать ковариантно повторно и получить новый тензор. Такой тензор называется вгорои коварипнтной производной данного тензора. тл.
и ТЕОРИЯ ТВНЗОРОВ !04 Поскольку А, — произвольный ковариантный тензор первого ранга, а разность двух тензоров А,;» — Аь»; — ковариантный тензор третьего ранга, то заключаем, согласно правилу частного (9 26), что выражение в квадратных скобках (36.6) представляет собой смешанный тензор четвертого ранга, т.е. д~. ~ д~ ..~ Далее, если левая часть уравнения (36.6) должна обратиться в нуль, т. е, если порядок ковариантного дифференцирования не имеет значения, то » а!» — — О, поскольку А„— величина произвольная.
Вообще же )ф» че О, так что порядок коварнаитного дифференцирования нельзя считать несущественным. Из (36.6) ясно, что необходимым и достаточным условием возможности обращения порядка ковариантного дифференцирования является тот факт, что тензор )ф» тождественно обрагцается в нулю Тензор д д дх» дх~ (36.7) ЯЯ называется смешанным тензором Римана — Кристоффеля или тензором Римана — Кристоффеля второго рода, Ассоциированный тензор » тсни йы)7(м (36.8) дх» дх + ~(»~ ~/1~ [)'й, г'] [)7, 1] [й, а] [й, а] (36.9) хтп»с = которая окажется нам полезной в перечне свойств этого тензора в $ 37.
Заметим в заключение, что формула (36.6) представляет собой частную форму тождества, установленного Риччи и приводимого здесь нами без доказательства, хотя характер доказв- известен как ковариантньш" тензор Римана — Кристоффеля или как тснзор Римана — Кристоффеля первого рода. Нетрудно убедиться в том, что определяющая формула (36.8) для Ими может быть написана в обычной форме детерминантов: СВОНСТВА ТЕНЗОРОВ РИМАНА-КРИСТОФФЕЛЯ !Об тельства совершенно ясен из доказательства разобранного ранее случая. Это тождество имеет внд л с! "' сю сь сэ '" слэ'Ас ~л~ ~!" са-!А!о+! "' спРсосе' о-! В частном случае тензора второго ранга оно принимает вид а в Асв и — Ац, сь = Асоэют се! + АесРсе!. Задачи. 1.
Показать, что й [!1 с! [)й 1)+~ ~[11, а! — ! . 1[12,а!. дхе дхс (!А) (11) 2. Показать, что деус! д'усь 2 ~ дхс дх' дх' дх' дэяэь дэясс дхс дхс дхс дх" ) +У~([сй Р! [11, а! — [11, Р! [1Я, а!). 3. Воспользовавшись формулой задачи 2. показать. что йсмс ~!се! 1'ссм 1!в!и йссвс+ С'се!с + Йсссь О' 4. Показать, что если Чэ — скаляр, то уссф — также скаляр и равен , сс й 37.
Свойства тензоров Римана — Кристоффелля Из определения формулы (36.7) для смешанного тензора )тсы мы убеждаемся непосредственно в том, что совокупность функций )ссэс кососимметрична относительно двух последних коварнаитных индексое.
Это снойство с()эс = — )Тссэ б. Опираясь на данные задачи А, показать, что усэф,ц О приводится к соотношению дэйэ/дхсдхс = О, если дц — метрические козффициенты пространства Еэ, отнесенного к декартовой системе отсчета. Это указывает на то, что уравнение Лапласа в обобщенных кривочинейных координатах принилсает вид уцэр,ц = О, если считать его теизорным уравнениел!. 6. Исходя нз задачи 5, показать, что уравнение Лапласа в полярных координатах принимает вид дэф ! дэйэ ! дэф 2 дэр ! дэр + + —,—, + — + — с!2У— (ду')э (у')э (дуэ)э (у' зэп уэ)э (дуэ)э уэ дус (уэ)э дуэ (гл. и ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 1ОБ приводит к следствию )(с (а) (а> О. Мы определили ковариантный тензор с((ссвс формулой ЛР Яцм=д, К и если мы умножим это уравнение на д(В и просуммируем, то получим )7(ах(=а'Г цхв (37.2) т, е.
убедимся, что тензор Римана — Кристоффеля второго рода возникает в результате поднятия первого ковариантного индекса в тензора )(сссьс. Для того чтобы установить свойства совокупности функций, определяющих тензор Римана — Кристоффеля первого рода, разложим детерминанты в (36.9) и введем в качестве символов Кристоффеля в первый детерминант определения (3!.1). Несложные выкладки приводят нас к формуле ! ~ д'ясс д(КС( дсясх дскб(ь '1 2 ~ дхсдх~ дхс дхх дхгдхс дх( дх( ) +йс"(((()А, Щ((Е, а) — (11, Я(сй, а)), (37.3) из которой очевидно, что (а) с(ссхс = — )сссхс, (б) )гссс, —— — сгссхс, (в) Рхс с = с('ссхс (г) )(ссхс + (С(хсс+ Рсссь = О.
Последнее тождество может быть подтверждено непосредственной подстановкой; путем поднятия индексов получаем тождество, аналогичное (г), для смешанного тензора )ссхс. с с с (д) )гсхс+ йьсс+ ас( = О. (е) компоненты тснзора Римана — Кристоффеля с более чем двумя одинаковыми символами обращаются необходимо в нуль, Тождества (а) и (б) констатируют, что тензор с(ссхс кососимметричен по двум первым и двум последним индексам, а тождество (в) означает, что тензор с((ссхс симметричен по группам двух первых и двух последних индексов. Из этих тождеств следует, что различные, не обращающиеся в нуль компоненты ссссьс рас пределяются на три типа: !.
Символы с двумя разлнчпьы(п индексами, т. е. символы типа Вс(,. 1О8 ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ сгл 1! Поскольку коварнантная производная фундаментального тензора усу обращается в нуль, тождество Бьянки можно записать в виде Йссьс, + Оссст,а+ 1зссть,1= 9.
(38.2) Если мы умножнм уравненне (38.2) на псснс" н используем косо- симметричные свойства тензора Римана сгцас, то получим Ы Стга, м Ы СХСм, а й СХСвс, 1 = 1) са га и Этот результат может быть представлен в виде гг, — 2сг", а = О, где сг==дссйгсп нлн иначе: (38.3) где В„ = 91 /хс . Тензор 1 с с Вс - — б )~ == ~с, 2 входящий в скобки уравнения (38.3), известен как тензор Эйнштейна. Задачи 1.
Показать, что ко1ь ~ О. 2. Если стсс = рйц, то р = Вл, где и = касс. 1уравнение Йц рйсс известно как гравнтакионное уравнение Эйнштейна для точек пространства, в которых присутствует материя. Оно соответствует уравнению Пуассона т'ау ~ р в теории тяготения Ньютона.) Доказать зто. 3. Показать, что если и = 2, то йсс/Ысс йзг/йм = йсз/Ысг = — 1тст/к.
4. Если и = 3, тензор и сц имеет шесть различных компонентов и дает шесть уравнений для 131х дссмссьс. Доказать, что решения зтих уравнений для йссхс даны выражением пгсас ЙСРСа+3СРН-ЙСаЛС1 к1РП+ 2 (лгал/С- 31131,), где й йсгйсс. 3. Подтвердить правильность тождества Бьянки (38.21. 5 39. Пространства Римана н Евклида. Теорема существования Отнесем и-мерное пространство )г к координатной системе Х. Произведем метрнзацньо 1/и, определив элемент дуги ссз таким образом, чтобы форма 12зз = й сс асх' 12х1 (39.1) была положительно определенной квадратичной формой в днфференцналак ахс. Прн этом предполагается, что функции йсц(х) юо пгостглнствл гимлнл и гвклидл э зи принадлежат классу С' в У„. Метрнзованпое таким образом пространство называется римановым и-мерным пространст- вом Р„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
