1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 23
Текст из файла (страница 23)
ллинл луГи !25 называется длиной С; при этом о пространстве ГГ говорится, что оно мегризовано формулой (43.2). Тот нлн иной выбор функций Р(х,х) приводит к тому или иному типу метрической геометрии. Если мы определим длину дуги кривой по формуле з= ~ д, (х) — „— „Г Ю (а, ~=1,..., и), (43.3) аха нхв где д, х'хг — положительно определенная квадратичная форма в переменных х', то получающаяся в этих условиях геометрия будет римановой геометрией, пространство же, метризованное таким путем, называется римановым п-мерным пространством Е„. Вспомним из $39, что если существует допустимое преобразование координат Т: у' = у'(х',, х"), обладающее тем свойством, что квадрат элемента дуги Нэ дзз=д, йхайха ав может быть при этом приведен к виду йэ2 йф йу.
(43.5) то говорят, что риманово многообразие )г приводится к евклидову многообразию Ею Система отсчета У, в которой элемент дуги С в Е„задается выражением (43.5), называется декартовой ортогональной координатной системой. Очевидно, Е следует понимать как обобщение так называемой евклидовой плоскости, определяемой полной совокупностью пар вещественных значений (у', ух). Если эти значения (у', у') ассоциируются с точками плоскости, отнесенной к паре прямоутольных декартовых осей, то квадрат элемента дуги йз примет знакомый вид йэз — (йу~)г+ (дуг)х Как мы убедимся в дальнейшем, бывает иногда удобно изображать пары вегцественных чисел (у', у') точками в декартовой плоскости даже и в тех случаях, когда метрика многообразия у' не является евклидовой.
Чтобы пояснить это положение, рассмотрим сферу 5 радиуса а, расположенную в трехмерном евклидовом многообразии Е, с центром в начале координат (0,0,0), которое отнесено к системе прямоугольных декартовых координат ОХ'Х'Х'. Пусть Т будет плоскостью, касательной к сфере 5 в точке (0,0,— а). Отнесем точки этой плоскости к прямоугольной декартовой системе осей О'у'у', как это показано на рис. 8. Если мы проведем из центра О(0,0,0) радиальную прямую ОР, пересекающую сферу 5 в точке Р(х', кт,хз), и плоскость Т в Гг(у',у', — а), тогда точки Р нижней половины (26 ГЕОМЕТРИЯ (ГЛ и1 и .а прямой ОР, то симметричные уравнения этой прямой дадут нам отношения х' -О х2 — О х' — О у' — О у' — Π— а — О или х'=ду1, х'=дух х' = — ).а.
(43.6) Поскольку наша задача требует выявления образов О для то чек Р, расположенных на 5, переменные х2 удовлетворяют уравнению о': (Х!)2 + (Х2)2 + (ХЗ)2 = а2 или ах((у1)2+ (у')2+ а') = а2. Определяя отсюда ). и подставляя значение в (43.6), находим )х (у1)'+ (у')'+ а' ' У (у')'+ (у')2+ а' ' — а2 ХЗ (у!)2 .1 (у2)2 .1. а2 (43.7) сферы 3 будут находиться во взаимно однозначном соответствии с точками (у', ух) касательной плоскости Т. Чтобы получить аналитическую форму этого соответствия, заметим, что если Р(х', хх, хх) — какая-либо точка на радиальной ДЛИНА ДЕТИ !27 Эти ураинения решают поставленную задачу, давая аналитическое взаимно однозначное соответствие точек 1,! на Т и точек Р рассматриваемой области Я. Пусть Р2(х2, х2, хх) и Р,(х'+ 2(х', хх+ 2(х2, х'+ 2(хз) — две близко расположенные точки на кривой С, лежащей на сфере 5.
Евклидово расстояние Р2Р2 вдоль С дается формулой 2(з2 Ых22(х! (2=1, 2, 3), (43.8) а так как переменные х' связаны с у' формулами (43.7), 2(х = — 2(уа (а=1, 2), дх! дуа то (43.8) приводит к решению 2(з~ 2!уа 2!уа,а у (у) 2~уа 2(уа (и р = 1 2) д' д' дуа дуа где у,а(у) суть функции у, вычисленные из (43.7) с помощью дх! дх! определения уа = — , "а дуа дав Если образ К кривой С на Т дается уравнениями у =у (г) у2 = у2 (1), 1, (1- 12, то длину С можно вычислить из интеграла з=) )/д, уауааЧ. Непосредственное интегрирование дает (~У)2+ (д„а)2 + (у1 дуа аа д„~)2 2(З2 (43.9) з~ а' (у~ ! Ж.
1(у1)2+ (у2)21 Мы видим, что полученные формулы выражают двумерное многообразие, определяемое переменными (у', у') в декартовой гвомвтгня !гл гп )88 плоскости Т, и что геометрия поверхности сферы, расположен. ной в трехмерном евклидовом многообразии, может быть изображена на двумерном многообразии )22 с метрикой, определенной в (43.9). Если радиус 5 очень большой, то членом, содержащим 1/а2, как в этом нас убеждает формула (43.9), можно пренебречь, н тогда геометрия поверхности сферы определится приближенно евклидовой метрикой Д22 (с(у1)2 ! (Дуз)2 Отсюда заключаем, что прн больших значениях а метрические свойства сферы 5 неотличимы от метрики евклидовой плоскости. Сумма углов криволинейного треугольника, построенного на Я, будет близка к !80', в то время как сумма углов соответствующего треугольника на Т равна !80' в соответствии с метрикой евклидовой геометрии.
По причине ограничений точности измерительных инструментов нс исключено, что априорное решение вопроса о выборе базиса физических измерений — на основе ли евклидовой метрики (43.10) или более сложной римановой формулы (43.9) — окажется невозможным. Главной пелью в приведенных здесь рассуждениях является указание на то, что геометрия сферы, расположенной в евклидовом трехмерном пространстве, определяющем элемент дуги этой сферы по формуле (43.8), неотличима от геометрии Римана для двумерного многообразия )«2 с метрикой (43.9), которое хотя и отнесено к декартовой системе координат У, не может быть признано евклидовым, поскольку его метрика (43.9) не приводится к (43,!О) ни одним из допустимых преобразований. Аналогично геометрию Лобачевского можно реализовать на поверхности «пссваосферыгь т.
е. на поверхности постоянной отрицательнои кривизны, образованной вращением трактрисы относительно своей асимптоты ~+ )а~84 у= аз!яд Поскольку в нашей программе изучение гиперболической геометрии Лобачевского не предусмотрено, мы вынуждены ограничиться указаниями лишь на главные идеи, приводящие к аналитическому выражению для квадрата элемента дуги (лу')2+ (Ф')' — — йр "у — у« лу1)2 1 2 2 а2 12 ! — —, Ни')'+ Ь')'1 ( с которого собственно и начинается изучение этой геометрии.
длинА дкгн Построим на плоскости окружность К радиуса 1, Пространство геометрии Лобачевского состоит из точек, ограниченных окружностью К (т. е. расположенных внутри нее). Хорды РЯ этой окружности являются и этой геометрии прямыми линиями (рис. 9). Длина сегмента АВ на РО— это число, заданное формулой и(ОА ' <~В)' величина же угла АВС определяется 4 следующим образом. Построим сферу 5 единичного радиуса, которая касается К в центре. Проектируем АВ и ВС на 5 и определяем евклидов угол, образуемый дугами В'А' и В'С' н пересечением плоскостей, проходящих че- С рез ВС и ВА перпендикулярно к плоскости К (рис.
1О). Евклидова мера Рис. 9. А'В'С' по определению — мера угла АВС в плоскости Лобачевского. Две линии в плоскости Лобачевского принимаются параллельными, если их отображения Рис. Ю. Рис. 1!. (проекцни) на сфере не пересекаются. Можно показать, что точ. ки и линии этой геометрии удовчетворяют всем постулатам евклидовой геометрии, за исключением постулата параллельных линий. Параллельно к любой данной прямой РЯ через точку М можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих РЯ. Это — прямые, лежащие в заштрихованной области (рис.
11) и проходящие через М. Нетрудно показать, что сумма углов треугольника в этой геометрии меньше !80'. Логическая 5 И. С. Сокольви«ов ГЕОМеТРИЯ !Гл. и! )ЗО правильность геометрии Лобачевского была подтверждена А. Кали, Ф. Клейном н А. Пуанкаре!). Содержание этой главы ограничивается в основном евклидовой геометрией и теми разделами римановой геометрии, которые используются в применениях. $44. Криволинейные координаты в Ез Аппарат тензорного анализа развивался первоначально как инструмент для изучения различных типов геометрий. Но в силу характерной для него способности выявлять пнвариантные свойства изучаемых объектов он был признан особенно удобным н в применениях к другим разде.
уз дд лам прикладной математики, По- скольку динамика, механика „г сплошных сред и теория относительности широко опираются на геометрические свойства треху мерного пространства нашего физического опыта, мы посвящаем г~ ббльшую часть этой главы ис- следованию свойств кривых н к! поверхностей, находящихся в пространстве Ез. Рнс. !2. Отнесем точку Р(у) в евкли- довом пространстве Ез к системе прямоугольных декартовых координат У (рис. 12).
Рассмотрим преобразование общего вида Т: х! =х'(у', уз, уз) (г'= 1, 2, 3), дх! в котором х' принадлежат к классу С', а У =1 — ~ ~ О в некото- эр! рой области гс пространства Ез, Обратное преобразование Т '. у' = у (х', х, х ) (г =- 1, 2, 3) будет поэтому однозначным, а преобразования Т и Т вЂ” ' установят взаимно однозначное соответствие между тройками значений (х!, х', хз) н (у', уз, у'), Мы назовем тройки этих чисел (х', хх, х') криаолинейньиии координатами точек Р в Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
