1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Эта терминология принимается здесь по следующим соображениям: если мы положим х' = сопз1 в Т, то х'(у' у' уз) = сопи( (44.!) ') Более подробное изложение гиперболической геометрии читатель мо. жег найти в спепнальных работах по этому вопросу, в частностк в книге: К1е! и Р., Х!сп1-Еп)с!!б!зсйе беогпе!г)е. (нмеется русскнн перевод: Клейн Ф„ Неевклидова геометрия, ОНТИ, Москва, !936.) кРиВОлинейные кООРдиниты В 51 Зз! определяет поверхность. Если же этой постоянной позволить принимать различные значения, мы получим семейство поверхностей с одним параметром. И подобным же образом х2(у' у2 дз) сопз! и хз(у' у' уз)=сопз! определят два семейства поверхностей.
Условие, требующее, чтобы якобнан з ФО в рассматриваемой области, выражает тот факт, что поверхности Х~ =СИ Х2=С2, ХЗ=СЗ пересекаются в одной и только в одной точке. Поверхности, определяемые уравнениями (44,2), мы называем координатными поверхностями, а их попарные пересечения — координатными линиями; так, например, линией пересечения поверхностей х' = с~ и хЗ = с2 является коорднкт г натная линия хЗ = с„по- х скольку именно по этой ли- г 2 нии переменная хЗ остается единственной изменяющейся переменной.
В качестве примера рассмотрим коор- / )~ дннатную систему, определяемую преобразованием О Р х 5!пХ СОЗХЗ ,г' у2= хз 5(пх25(пхи, уз = х' соз х'. кl Поверхности х' = сопз! Рис. 13. представляют собой сферы, х' = сопз! — круговые конусы, х' = сопз! — плоскости, проходящие через ось Уз (рис. !3). Обратное преобразование в этом случае дается уравнениями х' = )/(у')2+ (у2)2+ (рз)2, х' = агс(д з, х'= агс(н —,, г'"(я')'+ (и')' Вз если х' ) О, О < х' < н, О < х' < 2н. Это — обычная сферическая координатная система. Д,ругим примером может служить преобразование у'-х'созх2, уЗ=Х'5(пх2, рз=хз, определяющее систему цилиндрических координат (рис. (4).
Пусть точки Р(ЧЗ у2 уз) и (з(у'+ ду' уз+ с(у2 рз+ с(уз) рас- положены в непосредственной близости одна от другой в ГЕОМЕТРИЯ 1ГЛ. 11! области тт. Евклидово расстояние между парой таких точек определяется квадратичной формой (дэ)а (ду1)х 1 (дус)а 1 (с(уз)1 = ду1 ду1 поскольку же ду = —, Нх, мы можем выразить его сжато: ду1 дх~ ГЬ' = ди дх1 Ых~, где ум = —.— (а= 1, 2, 3). вд" ас" в»' аху Очевидно, символ дм симметричен.
Кроме того, это тензор, поскольку (Нэ)1 — инвариант, вектор же дх1 произволен. Обозначим через д детерминант )д1,); в области (х ему сле- У дует приписать положительное значение, поскольку к =сспзс д11д»1д»1 — положительно определенная форма. Мы можем поэтому ввести сопряКг=аспас женный симметричный тензор д11, определенный в 5 30 формулой до= 61~/а, где 6м — алгебраическое дополнение элемента дм в д.
У Рассмотрим теперь конКЕ=ССПС1 травариантный вектор А1(х) и образуем инвариант А = (ум А'Аг) ь. (44.4) ,1 Так как в прямоугольной декартовой системе координат инвариант (44.4) принимает вид 1(А1)х + (А')э + (Аз)')ь, то мы убеждаемся, что А представляет собой длину вектора А'. Аналогично длина кова. риантного вектора определяется формулой А =(днА1Аг)'. (44.5) В прямоугольной декартовой системе ум = 6М н мы получаем А = (А1А1)'ь. Вектор, длина которого равна !, называется единичны»1 вектором. Из формулы (44.3) мы убеждаемся, что ~х! 1= У11 —,х так что с(»1!дэ == Л1 является единичным вектором.
Если хг у' так, что координатная система является декартовой, то с(»1/Нз = кгиволинвиныв кооедннлты в и, 133 = Лг, с/х'/сЬ = Лс, г/х'/сЬ = Лс являются направляющими косинусами углов вектора перемещения (ох', с/хз, с(х'). В соответствии с этим вектор Л' будет для нас определять направление в пространстве относительно криволинейной координатной системы Х (рис.16). Рассмотрим два направления, определенных единичными векторами Л' н н' в некоторой точке Р (рис.
16). Поскольку рассматриваемое нами многообразие евклидово, теорема косину- а сов, вытекающая из формулы Пифагора, дает Яз= РЯ'+ Рис. 15. + Рй' — 2РЯ РК соз О, а поскольку Л' и р,' — единичные векторы, РЯ вЂ” Ртт = 1, то Я' = 2(1 — соз О). (44.6) Компоненты вектора, соединяющего точки /г и С/, выразятся разностью Л' — н'. Используя формулу (44.4) для длины вектора, находим (И а 1(Л гг~) (Л1 Р1) = дцЛ'Лг+ дцр'111-2дцЛ'р! = 1+ 1 — 28цЛ'нг = гс = 2 (1 — 8цЛ'гг~). (44.7) Из (44.6) н (44.7) следует, что инвариант дцЛ'П1 равен созО, наоснованнн чего мы вправе записать Рис.
16. соз О дцЛ'Иг. (44.8) Формулу (44.8) мы можем использовать для определения угла О между двумя направлениями Л' н 11', если положим в основу точное определение для з)пО. Имея два произвольных вектора А' и В' и зная определение длины вектора, находим дцл'вз ГеОметРия 1гл, Ри 134 Это приводит к формуле АВ сов О = д;1А1В1, определяющей инвариант, который совпадает со «скалярным произведением» А В элементарного векторного анализа. Из выражения сЬ2 = и11 с(хз з)хl для квадрата элемента дуги сЬ между Р,(х', хз, х') и Р,(х'+ йхз, хз+ с(х', х'+ с(хз) следует, что длины элементов дуги, измеренные вдоль координатных линий нашей криволинейной системы Х, измеряются произведениями 1ЬИ1 )7д11 Ых', с(в 121 = 3/дзз с(х', ГЬГи = )/йм с(хз.
(44.9) Таким образом, длина вектора смещения (дхз, О, 0) определяется значением )/иззс(хз, вектора (О, дх', О) — значением )/д~ Нхз, вектор же (О, О, с(хз) измеряется длиной )Гйзздхз (рис. 17). Х зтэтгг= тзюи~ аетг7 = з'еггзт~ г РзхУ Рис. 17. Из (44.8) выводим вдобавок, что косинусы углов Ом, О, Озз между координатными линиями могут быть вычислены из формул соз Ои — ~", сов йзз= .Г з сов йзз .Г о, (44 10) ГЕЕ11222 'т'Ызздзз т 211222 ' ибо если Хзо: (з(хЧзЬоз, О, 0) и р,'„. '(О, Нх212Ь12н 0) — два единичных вектооа, направленных соответственно по координатным линиям Х и Хз, то 11 1н еэ 211взз Поскольку ди, дзз, и„никогда не обращаются в нуль (см.
(44.9)), то уравнение (44.!0) позволяет сформулировать теорему. Теорем а. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы заданная нриуолинейная координатная система Х была взАимные БАзисные системы !Зз ортогонпльна, заключается в том, чтобы йц = 0 для (чь 1' в любой области Р. Из определения объемного элемента йР в криволинейных координатах (ду' ~ як = ч- ( — ~ йхз йхзйхз ! дкз ! ! и! где -~- ~ — ~ — абсолютное значение якобиана У преобразовадкт ния, связ!яваюпгего декартовы переменные д' с криволинейными х', мы можем вывести непосредственно Н' = йд' йд'йдз = 'у'д йх' йх' йхз, (44.11) ибо Р= —.. — = — —" =!йи!=й, ду' ду ду ду дк! дк! дк' дкк где мы используем определение ды [см.
уравнение (44.3)) и правило умножения детерминантов. Детерминант д представляет собой относительный скаляр веса 2 (см, $ 28), поскольку ~Я— скалярная плотность. Из выкладок этого параграфа мы устанавливаем, что метрические характеристики пространства Ез, отнесенного к криволинейной координатной системе Х, полностью определяются тензором дн. Иа этом основании тензор пн называется метрическим, а квадратичнзя форма йзз = днйхзйх! получила наиме. нова ние фдндаментальной квадратичной формы, $45.
Вза:мные базисные системы. Ковариантные и контравариаитиые векторы В настоящем параграфе мы интерпретируем важнейшие выводы $44 на языке и в обозначениях элементарного векторного анализа, введенного в главе 1. Положим, что мы определили декартову систему осей (рис. 18) пучком ортонормальных базисных векторов Ьь Ьь Ьз. В таком случае радиус-вектор т точки Р(д', дз, д') можно будет представить выражением =Ь;д' (1=1, 2, 3), (45.!) так как базисные векторы Ьз не зависят от положения точки Р(д', д', д'), выводим из,'(45.1), что й.=Ь,йд', (45,2) По определению квадрат элемента дуги между точками (дз дз дз) з! (дз ! йдз дз + йдз дз ! йдз) дается фор!цучой йзз = йт йт. (45.3) Ггл. И1 ГЕОМЕТРИЯ Подстановка из (45.2) в (45.3) дает ГГзх=Ь, Ь|йу ГГуэ=бнНу ГГу'=Ну'Ну, — —.
1(х х(х1 = дг дг дхх дху ! = ДМ Ых ГГу, их где дн = — . —.. (45.5) дг дг дхг дхх Геометрический смысл векРис. 18. тора дгГдх' прост; он представляет собой базисный вектор, направленный касательно к координатной кривой Х'. Положим дг — =а, дх~ (45.6) и перепишем формулы (45,4) и (45.5): й а1 ГГх' и (45.7) д» -— а, а;. Заметим, что базисные векторы а; здесь уже не являются независимыми от координат (х', хх, х').
Применение ковариантных обозначений для базисных векторов а; и Ь; может быть оправдано, если сопоставить на основе формул (45.2) и (45.7), что а1 ГГх~ = Ь< Ыу = Ь, —. ГГх~. ду' дхз 54ы видим здесь, что базисные векторы а1 преобразуются по т. е. знакомое выражение для квадрата элемента дуги в прямоугольных декартовых координатах. Пусть система уравнений преобразования х'=х'(у', ух, у') (1=1, 2, 3) определяет криволинейную координатную систему Х, Радиус- вектор г мы можем теперь рассматривать как функцию коор- динат х'. Записываем это Х формулами ГГГ = —.
ГГх' (45. 4) дх' взлиыныс влзисные систпмы закону преобразования компонентов ковариантных векторов дрз а~ — бо дхз поскольку с[хз произвольны. Компоненты базисных векторов аь будучи отнесенными к ко. ординатной системе Х, принимают вид а,:(аь О, О), аз:(О, а„О), а,:(О, О, а,), на том основании, что дзг а, аь дзз = ав аз, сззз = а, ° а,, Введем теперь трн некомпланарных вектора а'= — ', а= аз Х а, з аз Х аз а, Х аз аз [азазаз[ ' [азазаз[ ' [а,азат[ ' (45.8) где аз Х аз и т.
д. обозначает векторное произведение ') а, и аз, а [азазаз) — тройное скалярное произведение: а, аз Х аз. Из определений (45.8) очевидно, что а ау=бп что, как, в этом легко убедиться, [а,а,аз[= )lд, где и = [дг;[, н что ') Ннпоиним, что а, Ха, гз([едставляет собой вектор длиной а,аз[ил(аь аз)), ориентированный таким образом, что аь аз и аз Х аз образуют правую систему. Тройное скалярное произведение [азазаз], с другой стороны, численно равно объему параллелепипеда, построенного ив векторах аз. аз, аз. Если (а,) — совокупность базисных векторов пространства Ечь то взнимный базис (аз] определяется произведением а аз = б~.
откуда мы замечаем, что они не обязательно получаются единичными векторами, поскольку вообще [см. уравнение (45.5)) 8зг = аз аз Ф (, азз = аз ' аг Ф [ йзз = аз аз Ф [. Если криволинейная координатгтав система Х ортогональна, то пм а, . а~ = [аз [[а~ [соз Огг — - О, если ( чь [. Этот вывод констатируется в теореме 8 44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
