1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Уравнения (52.4) можно рассматривать как уравненил преобразования координат на поверхности точно так же, как мы рассматривали уравнения х' = =х'(х', х~, х' ) (1 = 1,2,3,) как определяющие преобразование координат в Ем которое является кривой, лежащей на поверхности 5, определенной уравнениями (52.2). Мы будем называть эту кривую их-кривой. Аналогично, положив и' = сопз1 в (52.2), мы определяем и'-кривую, вдоль которой изменяется лишь и'.
Придавая и' и иа последовательность фиксированных значений, получаем сетку кривых на поверхности, называемых координатными кривыми. Пересечение пары координатных кривых при фиксированных значениях и' = и,', и'= и' определяет точку Рм Переменные и', и', определяющие точку Р на 5, называют. ся криволинейными или гауссовыми координатами на поверхности. Параметрическое представление поверхности уравнениями (52.2) не является, очевидно, единственно Ряс 22.
возможным: существует бесконечно много криволинейных координатных систем, которыми можно пользоваться для определения точек на заданной поверхности 5. Так, например, если ввести преобразование 1гл. Гн ГЕОМЕТРИЯ 156 3 53. Внутренняя геометрия. Первая фундаментальная квадратичная форма. Метрический теизор В предыдущем параграфе мы отметили, что свойства поверхностей, которые могут быть описаны без обращения к пространству, в котором помещается эта поверхность, называются знугреннилш свойствами.
Изучение внутренних свойств поставлено там в зависимость от определенной квадратичной дифференциальной формы, описывающей метрические свойства поверхности, Перейдем к выводу этой квадратичной формы. Примем прежде всего некоторые соглашения о значениях индексов, которыми мы будем пользоваться в настоящем и в последующих параграфах этой главы. Нам предстоит иметь дело с двумя различными совокупностями переменных: 1) с теми, которые имеют отношение к 'пространству Ем в которое помещена изучаемая нами поверхность (такнх переменных имеется трн) и 2) с двумя криволинейными координатами и' и и', относящимися к двумерному многообразию 5.
Для того чтобы не путать эти совокупности переменных, мы будем пользоваться латинскими индексами для переменных, относящихся к пространству, и греческими — для переменных, относящихся к поверхности. Латинские индексы будут поэтому принимать значения 1, 2, 3, греческие 1, 2. Преобразование Т координат пространства из одной системы Х в другую систему Х мы будем записывать выражением Т: х'=х'(х', х', х'), преобразование же гауссовых координат поверхности, описанных уравнениями (52.4), выразится формулой иа и (й', й'). Повторение греческого индекса в каком-либо члене обозначает суммирование от 1 до 2. Повторение латинского индекса обозначает суммирование в интервале ! — 3. Если не оговорено обратное, мы будем предполагать, что в дальнейшем изложении этой главы все участвующие в наших выкладках функции входят в класс СЯ в области их определения Рассмотрим поверхность 5, определенную уравнением у'= у'(и', и'), (53.1) где у' — ортогональные декартовы координаты пространства Ем в котором расположена поверхность 5, и на этой поверхности кривую С, заданную уравнениями и = и" (1), 1~ ~(1(1м ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ !57 где и" — гауссовы координаты поверхности О'.
Рассматриваемая из окружающего пространства кривая, определенная уравневием (53.2), представляет собой кривую в трехмерном евклидовом пространстве, а элемент ее дуги дан формулой йз2 йу2 йу2 (53.3) Из (53.!) выводим йу2 = — с(иа Ду Дца (53.4) где, как это ясно из (53.2), йиа = — йГ Дц' ДГ Подставляя (53.4) в (53.3), получаем йв2 — йиа йиа а йиа йиа Ду2 Ду' Дц Дц~ а где Ду2 Ду2 аа — = — —, дца дца (53,5) где й" йиа/йг.
Поскольку в нетривиальном случае два>0, то, положив сначала и' = сопз(, а затем и' = сопз(, мы найдем непосредственно из (53.6)„что йэтп=ап(йи')2 и йэ»„,=а (йи2)2. На этом основании заключаем, что аи и а22 — положительные функции от иГ и их. Рассмотрим преобразование координат поверхности а а (й2 й2) (53.7) с не обращающимся в нуль якобином У= — . Из (53.7) Дца дйа следует, что Дца йи = — йй», Дц» Выражение для йэ2, а именно два=а, с(иайиа, (53.6) представляет собой квадрат линейного элемента кривой С, лежаи!ей на поверхности 5, и правая часть формулы (53.6) называется первой фундаментальной квадратичной формой поверхности.
Длина дуги кривой, определяемой из (53.2), выражается формулой ц э = ) )/а „й'иа Ж, и [гл. Еп Геоые»Р11я 1зв а (53.6) дает Р В Ыз = а — — йй»а1й ди ди " ди» диЬ Если положить дич д' а ь=ач— ~В ди» дйЬ а= >О, н мы можем определить обратный тензор а В (см. й 30) формулой а ав»=б». В результате получаем 'В аи 11 а11 а»1 11 а" = — "' в Контравариантный тензор а«а называется контравариантным метрическим тензором. Мы можем повторить почти дословно содержание $ 44, атно сяшееся к метрическим свойствам нашего двумерного пространства о. Так, например, направление линейного элемента на поверхности может быть указано либо направляющими косинусами ауЯз (1 = 1,2,3), либо направляющими чараметрами (53.8) Так, например, ду1 ду' д и де да де и г(ии/с(з определяются однозначно, если указаны направляющие косинусы 1(у1/с(з, и наоборот то мы увидим, что совокупность величин а В представляет собой симметричный коварнантный тензор второго ранга относительно допустимых преобразований (53.7) координат поверхности.
То обстоятельство, что а„а являются компонентами тензора, явствует также из (53.6), так как г(зх — инвариант, а величины а а симметричны. Тензор а„а называется ковариантным метрическим тензором поверхности. Поскольку форма (53.6) является положительно определенной, то детерминант угол между двумя пересекающимися кривыми 1бв Мы определяем длину вектора поверхности А", т. е. вектора, определенного через А'(и', ие) и А'(и', и') формулой ') А = т'аа А"Аа.
Из (53.6) следует, что да" Впу а р 1=а — — =а Л Л, аа В да = аа так что параметры направлений Л" являются компонентами единичного нектора. Ковариантный вектор Лр — = аарл (53.9) называется иногда моментом направления. Из (53.9) ясно, что а Лр=а а,рЛ =ЬаЛ Л та та а т а и что Л"Ла = аа,Л'Л'. й 54. Угол между двумя пересекающимися кривыми на поверхности. Элемент площади поверхности Уравнения кривой С, лежащей на поверхности Я, могут быть написаны в таком виде: С: ив=ив(1), 1,(1(цз. И так как при этом предполагается, что иа(1) принадлежит классу Св, то кривая С должна иметь непрерывно вращающуюся касательную. Пусть С, и С,— две такие кривые, пересекающиеся в точке Р кривой Я (рис.
23). Воспользуемся уравнениями кривой о, отнесенными к прямоугольным декартовым осям у, имеющими вид у'=у'(и', и'), (54.1) и обозначим косинусы направлений касательных линий к С, н С, в Р соответственно через в' и т)'. Косинус угла О между Сз и Сз, вычисляемый геометрически в объемлющем пространстве Ез, равен соз Е = й'и'. (54.2) ') Компоненты А' вектора А", рассматриваемые с точки зрения системы ду' отсчета объемлющего простра тва Ез, задаются выражениями А'- — а Аа, дма н отсюда ясно, что А'А — — АаЛ аарЛ АР— ду' ду' „р да" дя" ГЕОМЕТРИЯ 1ГЛ. и! С другой стороны, дУ! д!й д!У! д а ! ду' «аи д!у' диа да! где индексы 1 и 2 относятся к элементам кривых С, и соответственно С,.
Пользуясь определением (53.8), мы сможем ф Рис. 23. записать единичные векторы по направлениям касательных к С! и Сз выражениями а Ы!и а даи а а л = —, ая! да! а= —,Л, !1= — н. дУ~ а ! дУ! диа див Вводя в (54.2) выражения из (54.3), получаем е= — — лр, дУ! ду! а а диа диа (54.3) а поскольку дУ' дУ' аа диа диа предыдущее выражение можно записать более компактно: созй=а,Л р. (54.4) Если кривые С, и Са ортогональны, то аа„Л на=О. (54.5) а В частности, если поверхностные векторы Л и гг~ расположены по координатным кривым (Л' = 1~1! ап, Ли=О, р!=О, р'=1/)!а„) кгол нежат двтмя 11втаенкл1о1ПИМИСя К1'изыми 161 1 е Рис. 24. координатным осям У, то уравнения (53.1) поверхности Я могут быть записаны в векторной форме (рнс.
24) как т(и', и') = Ь,у'(и', из). Из такого представления Я следует, что не' = йт ит = — ° — а'и' а'из = а, С(ич 1(иа, дг дг ди" диВ ьВ где дг дг а ~В ди" диВ ' (54.6) Положив денди = а„, где а, и ам — очевидно, касательные век- торы к координатным кривым, мы увидим, что ац -— а, ао ам=а, ам ать=а -а, В обозначениях (54.3) пространственные компоненты векторов а1 и аз записываюзся через $' н соответственно через и'. Мы можем определить элемент площади ио поверхности 5 формулой йт=!а, Х аз!с(и'г(и', 6 н.
с, сскольниноа то нз (54.5) следует, что координатные кривые образуют ортогональную сетку в том и лишь в том случае, если а,, = 0 в каждой точке поверхности. Мы можем дать наглядное истолкование этих результатов по способу, приведенному в $ 45. Так, например, если т обозначает радиус-вектор какой-либо точки Р на поверхности 5, а Ь; — единичные векторы, направленные по ортогональным гяометпня !гл.
и! 162 из которой легко заметить, что ее правую часть можно преобразовать в да = 'у' ана, — а'„ди! агат = 'уга ди! аит. (54.7) Эта формула имеет в точности ту же самую структуру, что и выражение (44.11) для элемента объема. Из $ 40 следует, что кососимметричные е-системы в двумерном многообразии могут быть определены формулами еп —— етз=е =е =9, е = — е' =ем— - — ем=1, и 22 и так как эти системы являются относительными тензорами (см. з 4!), то выражения ! е,„= (г а е„и евр = — еоа — — „.,— должны быть признаны абсолютными тенаорами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
