1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Следовательно, интеграл (56.1) У(х) = У(х+ е".) — Ф(в), Р Ф(в) = ~ у'((, х+ ее„х+в$)еуу может быть дифференцирован под знаком интеграла, и мы по. лучим в таком случае в качестве необходимого условия экстремума уравнение ь Ф (О)= ~(РД+У„5)й(=О, (56.2) ') Предрнсанные нграннчення более строги, чем зто необходнмо, по мы имеем здесь в Внду невотррые геометрические задачи, для которых непреРыввость вторых рРонзводныл — желательное свойство, рассматриваемый как функция е, примет экстремальное значение при е =- О. Необходимым для этого условием должно быть Ф (О) =О.
В силу ограничений, наложенных на рассматриваемые функции, интег ал УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА В ПРОСТЕЙШЕМ СЛУЧАЕ 1бт которое должно удовлетворяться для каждого $(с) в соответ- ствии с условиями, заложенными в определении $(с). Интегри- руя (56.2) по частям, получаем ь с, с, РЬЯ +Р.5(г)~,"-1Я) — „"й(=0, с, а поскольку $(сс) = $(сс) = О, предыдущее уравнение упро. шается в си ~5(~)~Р„- — „,"1и=О.
с, Так как $(с) удовлетворяет ограничениям, наложенным на 5(с) леммой ф 55, мы вправе вывести из (56.4) необходимое условие для экстремума (56Л), требующее, чтобы х(с) удовлетворяло дифференциальному уравнению Є— —" =О. (56,5) (56.4) Представляя его в развернутом виде, получаем сСсх сСх Р.' ес, +РА.— „+Р.с-Р.=О, (56,6) где индексы обозначают производные от Р(с, х, х), причем с, х и х рассматриваются как независимые переменные.
Для того чтобы определить х(1), мы должны решить это обыкновенное дифференциальное уравнение, подчинив его краевым условиям: х(1с) = х, и х(6с) = х,. Уравнения (56.5) и (56.6) были выведены впервые Эйлером и называются уравнениями Эйлера. Выражение (см. уравнение (56.2)] с, ЕФ'(0) =е ~ (5(~) Р +ЦЯРДас, с, родственное дифференциалу функции Ф(е), будучи вычислен. ным для е = О, называется первой вариацией интеграла с, и обозначается символом бс'.
Таким образом, М =— ЕФ' (0). (РА бх)с,"+ ~ (Рх — —, РА~ бх ас(, (56,7) Используя левую часть уравнения (56.3) и определение бс', мы можем написать сз ГеОметРиЯ 18)8 )гл. и! где бх = — ес(1). Поскольку правая часть уравнения (56.7) обращается в нуль, как только х(1) принимает экстремальное значение, мы приходим к следующей теореме.
Теорема. Необходимым условием экстремума для функционала У(х) является обращение в нуль ега первой вариации. 6 67. Уравнения Эйлера для функционала от нескольких аргументов Рассмотрим теперь случай функционала У, зависягце) о от нескольких функц)шпальных аргументов х'() = 1, 2, ..., и), где') У= ~ г (1, х', х'...,, х", х', х'-, ..., х")г(1. (57.1.) !, Следуя условиям й 56, мы полагаем, что Р— вещественная функция класса Ст в (2п +!)-мерном пространстве вещественных переменных 6 х', ..., х", хг,, х ' Доп)стим, что существует совокупность функций х'=(г(1), 1, (1а Уа ()=1, 2, ..., и), (57.2) значения которых в конечных точках интервала известны и таковы, что (57.1) принимает экстремальное значение в сравнении со значениями, сообщаемыми функционалу У классом допускаемых функций, принадлежащих й-окрестности (57.2) Вводим н произвольных функций $'= $)(1), Г) ~1(га, класса С', обращающихся в нуль для 1 = 1) и 7 = 1а, и строим семейство допускаемых функций (57.3) х = х (1)+е', (1), где параметр е подобран таким образом, чтобы различные варианты (57.3) расположились в й-окрестности кривой (57,2).
Как и в 8 56, образуем функцию Ф (е) ) р (У, х' + ет', ..., х" + ет", х' + ей', ..., х" + ет") с(1, (57.4) имеюгцую, согласно гипотезе, экстремум при а = 0; поэтому (57.5) ') Для того чтобы гараитироаать незааисимость интеграла (87.1) от осе. бых форм параметриааиии, мы постулируем, что Р!1, х х) положительно олиоролна первой степени относительно х (см. $43). Фупкцно!ил от нескольких Аггументов 169 Отсюда следует, что 57 =е ) ((Е ~' +Р»4')+ ... +(Р,л",-"+г"»4 )~И=О, (57.6) и интегрирование по частям дает У =е~Гз4'(,ь + ... +Р»4" 1,'+ . (, (', -Ф „,) ...
) "(,.- Ф „.+'. Поскольку $ произвольны и обращаются в нуль в конечных точках интервала, заключаем из фундаментальной леммы, что Р„' — — Р'э=О (1=1, 2, ..., п), (57.7) или Р ~ — х~р.ю з — хфч кт = О. Х» «х Эта система п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка называется уравнениями Эйлера для вариационной задачи, связанной с функционалом (57.!). Для того чтобы получить группу функций (57.2), мы должны определить решение системы (57.7), удовлетворяющее краевым условиям х',=~'(11), х,'=)з(~) (с'=1, 2, ..., и). (57.8) Исследуемая в этом параграфе задача представляется совершенно аналогичной более простой задаче, рассмотренной в 6 56, но между ними существует н различие, заключающееся в том, что обращение в нуль первон вариации функционала в (57.1) является необходимым условием не только для экстремума, но также н для совместного максимума и минимума, так называемого минимакса.
Интеграл»'(х', ..., х") может достигнуть максимума, когда варьируется функция х'(/), и минимума в процессе вариации функции х'(1). «Точка седла» в гиперболическом параболоиде, встречающаяся в элементарной тсорнн максимумов и минимумов, может служигь простой иллюстра цией к такому положению. Мы будем называть рец.ения уравнений Эйлера (57.7), удовлетворяющие конечным условиям (57.8), эксгрсмалями 4рнкционала У. Этим термином мы будем пользоваться независимо от характера стационарного значения, принимаемого функционалом 7, является ли оно максимумом, минимумом нли нн тем, ни другим.
В нашем выводе уравнений Эйлера (57.7) мы приняли, что переменные х~' независимы. Если независимость х' ограничивается наложенной на них совокупностью й < л функциональныХ ГЕОМЕТРИЯ !гл. и !ТО соотношений типа ~р!((, х', х», ..., х")=0 (1=1, 2, ..., й), то группу соответствующих уравнений Эйлера можно будет вы- вести нз рассмотрения свободного экстремума для некоторого нового функционала, введенного Лагранжем. Для того чтобы осветить существенные различия в задачах независимого и условно~о экстремумов, рассмотрим функционал 7 = ~ Р(1, х', х' х', х') ~!! (57.9) с, в котором переменные связаны соотношением <р((, х', х') =О.
(57.10) Предполагаем, что экстремаль х'=х'(!), (,(Г((з (1=1, 2), удовлетворяет краевому условию типа (57.8). Если ограничи. вающее условие (57.10) сформулировано в виде ~р(х, у, г) = О, (57,1 1) т. е. путем подстановок х = (, у = х', г = х', то уравнение (57.11) может быть интерпретировано как уравнение поверхности, отнесенной к системе декартовых координат хух.
Экстремаль должна лежать на поверхности, и мы полагаем, что (57.11) мо. жет быть решено близ экстремали и дать диффсренцируемую функцию г=((х, р). (57.12) Подстановка (57.12) в (57.9) приводит к интегралу вида м Х= ) !р (х, у, у') Нх, (57.13) м в котором переменные х и р независимы, в силу чего мы можем получить уравнение Эйлера путем минимизации (57.13) на совокупности допускаемых путей, удовлетворяющих условиям у(х,) = уь у(хг) = уь Это задача свободного экстремума, уже рассмотренная нами в э 56. Однако такое приведение задачи ограниченного экстремума к задаче свободного экстремума функционала (57.13) представляет обычно затруднения, так как полное решение (57.12) уравнения (57.11) может оказаться громоздким. В этих условиях мы располагаем возможностью последовать процедуре, сходной с приемом «множителя» Лагранжа, т.
е. получения отиоситель. еэнкционал от нескольких аегтментов ч мг так как г' = Ь + ЬУ'. Подыитегральное выражение в (57.!4) представляет собой функцию х, у и у', которую мы обозначим У (х, У, у') = Р (х, у, у',,г, ), + ~„У'). (57.15) Таким образом„уравнение Эйлера для интеграла (57.14) принимает вид — — — —,=О. дт д дд (57.16) ду дх ду' Обратившись к (5?.15), мы видим, что дУ, +Р~+ д~ Р у + г г'~и. ду' Поэтому (57.16) дает дРт дР, Р„+ Р.4+ Р; (1.„+ 1„У ) - — „- ~, — „— Р, (~., + ~ууУ') - О, т. е. дР ° 1 ФР У +7 ~Р— — ~- — "'=О Ых дх откуда (57,17) поскольку 1„, как это предположено, должна быть определена ~на экстремали.
С другой стороны, дифференцирование (57.1!) дает ,р„+ р,1„-О, так что (57.18) ных экстремальных значений для функций нескольких перемепмых, связанных соотношениями типа (57.11). Предположим, что Ы~у/с(г чьО; теоретически при этом возможно разрешить (57.11), и тогда функционалу (57.9) можно ~будет придать иной вид: к г = ) Р(х, У, У', 7, ~„+ ~„У') с(х, (57,14) геометрия [гл.
пг Выражения для )п, представленные формулами (57.18) и (57Л7) ао экстремали, являются одной и той же функцией х; отсюда дР„. ггр, а' р — х — Р сух " ох = — к (х), (57.19) Фа че где Х(х) обозначает одинаковое для этих двух дробей значе- ние'). Из (57.19) следует, что необходимые условия для экстре- мума интеграла (57.9) формулируются таким образом: агР„, — — (Га+к(х) <рп) = О, ~ (57. 20) — „; — (Р.
( )~.! =О Если вернуться к первоначальному обозначеншо, пологкнп х = (, у = х', х = ла, то мы получим пару уравнений др г дч — +7г г — Л(т) — ~. =О (1=1, 2), (57.2!) х дхч сохраняюших структуру уравнений (57.7) Эйлера для вариа- ционной задачи, связанной со свободным экстремумом инте- грала ~(Р(, х,х) Л(1)Т(х))Л. и Сходные соображения применимы и к задаче минимизации интеграла 157.1), в котором и переменных х' связаны группой й < п соотношений яг (Г х' ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
