1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 33
Текст из файла (страница 33)
') Напомним, что йц иьок Аята' а. Определить, язляетсн ли у и сони, развертывающейся. 4. Показать, что для поаер у' и' соз и', поверхность гелнкоида, заданная уравнениями у' и' зщ и', у' = пиз, звости вращения, определенной уравнениями уз и' з!и и' уз 1(и'), )уи = ц|1) + (г)з)з з геометрия !гл, гм з. Показать, что поверхность, определенная уравнениями у'=1,(и'), у'=/з(и'), у' и', где й и /з — дифференцируемые функции, развертывакнцаяся. а, Показать, что формула гауссовоа кривизны !Г может быть представлена в ином виде: 1' а ди' )' а диз ам 1'а ди' 9 63.
Геодезическая кривизна поверхностных кривых Закончим наше изучение внутренней геометрии поверхностей выводом формулы, описывающей поведение вектора, касательного к поверхностной кривой. Эта формула аналогична формуле Френе (50.1). Пусть С' — кривая, лежащая на поверхности и определенная парамстрически уравнениями иа ио (н) (63.1) где з — параметр. В соответствии с этим в каждой точке кривой выполняется условие (63.2) Величины агиЯз, с(иа/агз определяют, очевидно, вектор 3а, касательный к С, а из (63.2) находим, что о дио А" =— дз представляет собой единичный вектор. Если мы произведем опе.
рацию внутреннего дифференцирования квадратичной формы П„аха),а = 1 ПО З, тО ПОЛУЧИМ ПрОИЗВОдНуЮ а аИ(Иа/бэ) = О, НЗ которой следует, что поверхностный вектор бала/бз направлен под прямым углом к ).о. Следуя рассуждениям $49, введем единичный поверхностный вектор т)о, нормальный к Хи: бха — -х т)' дз где ха — надлежащий скаляр. Для того чтобы определить однозначно направление з)а, выберем т) способом, аналогичным выбору триады векторов в 3 49 (уравненне (49.11)), а именно Е аааа)а = 1. ЭтОт ВЫбОр ОрИЕНтацИИ ), И т) ОдНОЗнаЧНО ОнрЕдЕ- лает знак хк и означает, что синус угла между Х н т) равен +1.
! / д (' ам да„ к= 21 а 1 ди' 1аоуа ди' диз [ ! дата 1 1' а ди'! 2 дам ! да„ам даы ~~ в ви геодезическая ю ивнзнх повеехпостных кеивых 1вт Вектор П" — единичный пространственный вектор, образующий с кривой С прямой угол, скаляр же нг называется геодезической кривизной С. Напомним, что уравнение геодезической линии на Я (см.
уравнение (60.4)] может быть записано в виде 6Х /6з = О. Сопоставление его с (63.4) приводит к заключению, что если геодезическая кривизна нг = О, то кривая С вЂ” геодезическая линия, и наоборот. Отсюда следует Теорема. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы кривая на поверхности 5 была геодезической, сводится к тому, чтобы геодезическая кривизна ее была равна нулю. Рис. 26. В качестве иллюстрации вычислим геодезическую кривизну малого круга С: и' = сопя( = и,'ФО, и' = и' на поверхности сферы (рис. 26): 5: у' = а сов и'сови', у'= а сова'в(паз, уг а в(п и! Если дуга длиной з кривой С измерена с плоскости ис = О, мы получим и'=в/(асови~~) и уравнения С можно будет представить в виде и'=и', и'= (63.5) и сов ив~ 1гл. гм гвомзтяия !88 Отсюда находим, что компоненты единичного касательного вектора )" = ди'!Ыз по кривой С имеют вид У.' =О, Л'= ! (63.6) а сов иэ так что Так как метрическими коэффициентами 5 являются аи = аз, а,; = О, азз = а'соз'и', то, обратившись к задаче 3 5 31, находим, что ) ~=з(пи'сози', ) г=О.
В соответствии с этим 128 !' '1 Ы формулы (63.4) дают 8Л вЂ” =х т!' = — !пи' Ьэ г и~ о Так как кривая С вЂ” не геодезическая линия, хз га О, мы заключаем, что П' = О. Но т!' — единичный вектор, так что а ВП'ПВ = 1, и мы находим, что т!' = !/а. Уравнения (63.7) дают поэтому; х =(!и иЦ1а. В $ 7! мы установим соотношение между геодезической кривизной х„ и обычной кривизной х кривой С. $ 64.
Поверхности в пространстве За исключением лишь немногих редких случаев обращения к координатной системе окружающего пространства, наше исследование геометрии поверхностей проводилось с точки зрения двумерного существа, вселенная которого определялась параметрами поверхности и' и и'. Изучение свойств поверхностей до спх пор основывалось исключительно на анализе первой квадратичной дифференциальной формы. В изложении теории изометрических поверхностей (з 6!) мы отметили, что пара изометрических поверхностей, например конуса и цилиндра, неразличимых в системе их внутренней геометрии, представляется двумя совершенно различными поверхностями для наблюдателя, исследующего их в системе отсчета, расположенной в пространстве, которое содержит эти поверхности внчтри себя.
Прием, который позволяет индивидуализировать форму поверхности такой, какой она предстает в системе этого объемлющего пространства, сводится к проведеник> нормали к поверхности. Поведение же этой нормали при перемещении ее основания по поверхности зависит от формы этой поверхности. Гауссу удалось описать определенные свойства этих поверхностей по виду ква- ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРМ!СТВЕ з м1 !Вэ дратичной формы, в свою очередь существенным образом связанной с поведением нормали. Ио прежде, чем вводить эту новую квадратичную форму, вернемся на миг к отправному пункту, с которого мы начали изучение поверхностей в Ц 52 и 53. Поверхность 3, расположенная в Ез, была определена тремя параметрическими уравнениями у' = у' (и', и') (1 = 1, 2, 3), (64.
1) где у' — прямоугольные декартовы координаты системы отсчета, располо>кенной в пространстве, окружающем Я. Элемент дуги з(з кривой, лежащей на 5, определяется формулой ,(зз = а, з(из г(иа, ав (64.2) где дд' дд' аа ди' див (64.4) Выбор декартовых переменных у' в пространстве, объемлю- щем поверхность, очевидно, не существен, и мы могли бы с рав- ным правом отнести точки Ез к криволинейной координатной системе Х, связанной с У преобразованием х' = хз(уз, уз, уз), При этом линейный элемент Ез, будучи отнесенным к системе отсчета Л, принимает внд зЬТ = дн з(х т(х~, (64.3) даз ду» где дц —— — —., а система уравнений (64.!) для поверхнодхз дху сти 5 может быть записана в виде 5: х' = х' (и', и').
Из такого представления 3 следует, что з(х'.= — с~и", дхз (64.5) дич и тогда выражение для элемента дуги (64.3) на поверхности принимает вид дхз дхТ з(зз д,. Дх з(х1 = у, — — т(и" з(зза. О диет диз Сопоставление этой формулы с уравнением (64.2) приводит к заключению, что а„а=да — — а (1,1=1, 2, 3), (а, (1=1 2), (64,6) Заметим, что ранее приведенные формулы зависят одновре- менно н от латинских н от греческих индексов, вспомним также ири этом, что латинские индексы пробегают ряд значений от 1 до 3 и относятся к окружающему пространству, между тем как ГЕОМЕТРИЯ !ГЛ.
П! !90 греческие индексы принимают значения 1 и 2 и ассоцинруюгся с поверхностью 5, заключенной в пространстве Е,. Далее дх! и д!! Являются тензорами в отношении к преобразованиям, налагаемым на пространственные переменные х', в то время как такие величины, как йи и а„а, являются тензорами в преобразовании гауссов!!х координат и" поверхности, Уравнение (64.6) представляет своеобразие в том отношении, что оно содержит частные производные дхуди'*, зависящие как от латинских, так и от греческих индексов. Поскольку как а а, так и дц в (64.6) 3 являются тензорами, эта фор- Х мула указывает, что дх!/ди'" можно рассматривать либо г как контравариантный прои ев и странственный вектор, либо как ковариантнь!й поверхност/ Х! ный вектор. Исследуем эту Р группу величин внимательнее.
Допустим, что на поверх- .и' ности 5 совершается малое пей ремещение, отмечаемое поверхностным вектором ии'". Такое же перемещение, как г это ясно из (64,5), описывается пространственным вектором с компонентами с(х' = —, йй. (64.6) 0 ли~ Ряс. 27, Левая часть этого выражения не зависит от греческих индексов и поэтому остается нивариантной относительно изменения поверхностных координат и". Поскольку с(и — произвольный поверхностный вектор, заключаем, что дх!/ди" (64.7) является ковариантным поверхностным вектором.
С другой стороны, если мы преобразуем пространственные координаты, то аиа, будучи поверхностным вектором, останется инвариантным относительно этого преобразования, так что (64.7) должен быть контравариантным пространственным вектором. На этом осно. ванин (64.7) получает новое обозначение вх! х,'— = —,, (64.8) где индексы надлежащим образом описывают тензорный характер рассмотренной группы величин. повеэхностн В пэостРАнствв !9! Простое геометрическое значение группы величин (64.8) можно уяснить из рнс. 27. Пусть г — радиус-вектор произвольной точки Р на 5.
Точка Р определена парой гауссовых координат (и', и') или тремя пространственными координатами (х', х', х'). Поэтому вектор г можно рассматривать как функцию пространственных переменных х', удовлетворяющих уравнениям (64.4). Таким образом, (64.9) дии йх' йии Но дг/дк' суть базисные векторы Ь, в точке Р, ассоциированные с криволинейной системой Х, в то время как дг/дии являются базисными векторами а„в Р, отнесенными к гауссовой системе (/. Отсюда уравнения (64.9) дают дх' а =Ь вЂ”. 'л а' дх! дхе Из чертежа ясно, что а, = — „, Ь, и аз = — „, Ьь так что дх'/ди'ии них„' (а=1, 2) являются контравариантными компонентами поверхностных базисных векторов а„, отнесенных к базисным системам Ьь Таким образом, группы величин (64.10) преобразуются по ковариантному закону относительно преобразования гауссовых поверхностных координат и".
Действительно, рассмотрим преобразование ии = и"(й', йх); уравнения (64.4) поверхности 5 переходят при этом в к = х'(й', йх) и зх дк зиз дии йииа дии (64.1 Ц Но дхЧдйа=х', и (64.!) дает для 1=1, 2, 8 х„'=(дйа/ди )х', т. е. ковариантный закон, Пусть г(з — элемент дуги, соединяющей пару точек Р(и', и') и Р(и'+ ди', и'+ ии') на 5. Направление линейного элемента йэ задано параметрами направления йии/аз = Хи. То же направление может быть указано и наблюдателем, находящимся преобразуются контравариантно относительно преобразования пространственных координат.
Мы можем также показать, что три поверхностных вектора ГеОметРия 192 1гл. и! в системе отсчета пространства, посредством трех параметров ВхУиз = й', причем из (64.5) следует„что 1. =х 1.". Эта формула говорит нам, что любой поверхностный вектор А" (т. е. вектор, лежащий в касательной плоскости к 5) может рассматриваться как пространственный вектор с компонентамн А', определенными формулой А' =- х,'А'.
(64. 12) Этот вектор А' мы назовем касательным вектором к поверхности 5. $ 65. Нормаль к поверхности Пусть А и  — пара поверхностных векторов, берущих свое начало в некоторой точке Р поверхности 5 (рис. 28). На основании только что выведенной формулы (64.12) нх можно представить также пространственными векторами А =х„А', В =х,',В". (65.1) Вспоминая, что векторное произведение А Х В представляет собой вектор, нормальный к касательной плоскости, определенной векторами А и В, можно записать следующее выражение для единичного вектора л, перпендикулярного к касательной плоскости н так ориентированного, что А, В и и образуют правую систему: 0 АХВ АХВ и )Ахв) АВ)мва), (65.2) Ряс.
28. где 0 — угол между А и В. Мы назовем вектор п единичным вектоРом, нормальным к поверхности 5 в точке Р. Ясно, что п — функция координат (и', из) и. что с перемещением,точки Р(и', иа) в новое положение Р(и'+ г(и', и'+ г(и') вектор и получает приращение с(п = — диа, (65.3) одновременно при этом радиус-вектор г нспытываег приращение с(г= — ", ди".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
