1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Если уравнение поверхности 3, отнесенное к системе прямоугольных декартовых осей, представлено в форме у' 1(у', у'), то мы можем сформулировать параметрические уравнения Б в форме у' и', у' и', у' 1(«',и'). Если частные производные от 1(у', у') обозначаются через 1э пир )а~ ч 1ак ж~г 1ау 3 1 з 2 коэффициенты а«В в дз а«ади дп принимают вид 3 а «1~ 1+ р', «,з ру, ам = 1+ Чз, э Ь )Г1 .1. рз+ 42 Гг( 1 ре 1 уз г Ьп г'1+ рз+ уз Показать это и вычислить а«В и Ь В для поверкности сферы г-3"':( г-( г.
4. Если уравнения 5 имеют вид 5: уз(«1, пз), где у — пЗРямоугольные декартовы координаты, а г — радиус-вектор точки у', уз, у' на , то при использовании нижних индексов для обозначения частных производных выполняются равенства. 'а В г г )и ܄ — — 1г В г ~ Хг г1)У д. ии и 1 ««и и и 1 Показать это. Применить эти формулы в вычислении а«В и Ь«В для поверхности вращения у' = и' соз и', у' = и' Мп из, уз = 1(и') .
З 68. Условия иитегрируемости Для того чтобы глубже понять значение тензора Ь„В, рассмотрим подробнее формулы Гаусса Х~з В ~«ВЛ1' (68.1) где (67, 1) в то время как коэффициенты Ь В второй фундаментальной формы опреде- ляются выражениями ГЕОМЕТРИЯ !ГЛ. 111 200 и. = — е'Зе . худа, ! 1 3 иаае' [66.10[ причем х1 = дх!/ди" Если эти выражения ввести в уравнение (68.!), то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, в которых зависимые переменные х' являются функциями поверхностных координат и'. Коэффициентами в этих дифференциальных уравнениях являются функции метрических коэффициентов дз! многообразия, в котором поверхность 8, определенная уравнениями х' = х'(и', из) (1 = 1, 2, 3), (68.2) дз ! ла дтхо (68.
3) ди" див дие дит если только функции х,' принадлежат классу С'. Из обсуждения в 3 36 обращения порядка ковариантного дифференцирования следует, что условие (68.3) эквивалентно') [см. (36.6)] соотношению х' — х' = Р,' х', а,зу а,тз "азт е' (68Л) где /7е,з„— Риманов тензоР втоРого Рода, обРазованный из коэффициентов а з первой фундаментальной квадратичной формы. Уравнения (68А) содержат в себе третьи частные производные координат х', и мы должны будем в дальнейшем принять, что функции, входящие в (68.2), входят в класс Са. ~) Мы не входам в детали вычнсленна, поскольку онн несущественны в ходе доказательства. См., например, Мс С о и в е!1 А. 3., Арр1!санопз о1 Ше аьзо1н1е йпетепиа1 са!сп1нз, !931, стр.
203. находится внутри пространства — они являются, таким образом, ФУНКЦИЯМИ От а„а = д11(ддз/дио) (аХ1/С(ие) И Ьиа. Если нам дайы уравнения (68.2), мы можем вычислить аоз н б в (см. задачу! $67), ввести надлежащие выражения в (68.1), и тогда уравнения (68.1) будут, конечно, удовлетворяться тождественно.
С другой стороны, если функции а з н д„з заданы заранее, уравнения (68.1) станут уравнениями условий, и тогда вообще уравнения (68.2) поверхности 5 не будут иметь никаких решений. Лля того чтобы тензоры а„в и бив были связаны с какой-либо поверхностью, необходимо, чтобы х' удовлетворяли условиям интегрируемости ФОРмулы ВпйнглРтенв 2О! Мы увидим, что условия интегрируемости (68.4) налагают некоторые ограничения на возможные выборы функций Ь„в и а„в. Этн ограничительные условия известны как уравнения Гаусса и Кодаиии. Они выводятся в следующем параграфе.
й 69. Формулы Вейнгартена и уравнения Гаусса и Кодацци ') Для того чтобы вывести уравнения Гаусса и Кодацци, мы должны прибегнуть к использованию полученных Вейнгартеном выражений для производных единичного нормального вектора п к поверхности 5. Начнем с соотношения я//и'и/= 1 и образуем его тензорну!о производную'). Имеем сг /и/н/ = О. // или (69. 1) Уравнение (69.!) показывает, что вектор и/а, рассматриваемый как пространственный вектор, образует прямой угол с единичной нормалью и' и потому лежит в касательной плоскости к поверхности.
Поэтому его можно представить линейной формой базисных векторов х,' нг = срх/. ,а ар' (69.2) так что подстановка в (69.3) из (69.4) и (69.2) дает Ь,„+ дпх/х/с'( = О, а поскольку а, = дих,'х!, получаем Ь, = — а„ст. ') Првводвмыа здесь вывод следует схеме Мак-Конвелла (М с С о пи е ! ! А. /., Аррпсапопз о! !пе аьзо!Ше Шиегеп!!а! са!сп!пз, !231, стр. 20! — 205,) з) Напомним, что л а —— — + и х„. а ! а ,~ ./ ) Так как и' нормален к поверхности, то мы имеем соотношение ортогональности д/,х/н/ = О, тензорная производная которого определяется из (69.3) но из (68.1) (69,4) ГЕОМЕТРИЯ !ГЛ, и! Решая это уравнение относительно ст, находим е' ст — аатЬ аа1 уравнение (69.2) преобразуется при этом в и' = — аатЬ х' ,а аа т. (69.5) Таковы Формулы Вейнгартена, которыми мы воспользуемся в выводе уравнений Кодацци.
Уравнения, которые мы хотим вывести из условий интегрируемости (68.4), имеют вид (69.6) Образуем тензорную производную уравнения (69.4) и используем (69.5) для того, чтобы получить Подставляя из (69.7) в левую часть уравнения (69.6), находим х,' „— х,' „=(Ь, — Ь, )и' — аа~(Ь, Ь „— Ьа„Ь )х'. Отсюда (Ьаа — Ьат а1и' — с!~~(Ь Ь„вЂ” Ь, Ь )х' = Яп, х'. (69.8) Для того чтобы получить уравнения Кодацци, умножаем (69.8) на и, и, поскольку х„'и! =О, приходим к искомому ре- зультату (69.9) Вывод уравнений Гаусса осуществляется путем умножения (69.8) на дих!: Ьапуат Ьатуаа= Ратат (69.10) а(ат! !) Напомним, что Нааат — — наатт — — О, а!и! = ама! = — ~м!! 1 ~ Ьа! Так как а, 5 принимают значения 1, 2, а Ь„а = Ьа„, мы видим, что получаются два независимых уравнения Кода!щи и лишь одно независимое уравнение Гаусса' ).
Независимые уравнения Кодацци имеют вид 1) Ь„, — Ь,,а=О (ачь6) (не суммируется по а) (69.11) либо, если коварнантные производные выписаны полностью, с помощью $70! ОРедняя и пОлнАя кРивизнл повнРхности 203 2) получаем дьее сьев (й 1 (й — — —,— Ь,в1 1+Ьв ! =0 (69.12) див ди (ой ) " (оо ) (а Ф Р) (не суммируется по а). Уравнения Гаусса ЬПЬгг — Ь'!г = Й!г!г (69.13) в свою очередь связывают коэффициенты Ь а и а„в в двух фундаментальных квадратичных формах. Изложенное доказательство свидетельствует, что если а а и Ь а являются фундаментальными тензорами поверхности 5: х' = хг(и', иг), то уравнения (69.11) и (69.13) удовлетворяются. И наоборот, можно показать, что если две группы функций а„а и Ь а, удовлетворяющих уравнениям (69.11) и (69.13), заданы -заранее и если а вйи йиа — положительная определенная форма, то поверхность 5 определяется (локально) с точностью до движения как твердого тела в пространстве.
Доказательство ') этого зависит от существования решения системы дифференциальных уравнений типа, рассмотренного в $ 39. Заметим, что если Ь а = О, то в силу (66.6) поверхность 5 преобразуется в плоскость. 2 70. Средняя и полная кривизна поверхности Если вспомнить определение (62.4) полной кривизны К: (62.4) то уравнение (69.!3) можно преобразовать к развернутому виду Ь Ь вЂ” Ьг (70.1) о!!иге и!г Таким образом, гауссова кривизна оказывается равной частному дискриминантов второй и первой фундаментальных квадратич- ных форм.
Введем здесь другой важный инвариант Н, называемый сред- ней кривизной поверхности. Он дается формулой Н = — —, аьб„в, 1 (70.2) и мы увидим в $72, что инварианты К и Н связаны замечатель- ным образом с обыкновенной кривизной некоторых кривых, имеющей отношение к нормальным сечениям поверхности. ') Более детальное исследование см. Е!ее и 1!а г1 Е, Р., 1п1гойнсноп 1о о!Негев!!а! Кеопге1гу, стр, 218 — 221, где рассматривается случай декартовых переменных х!. ГЕОМЕТРИЯ Тл. и! 204 й 71. Кривые на поверхности. Теорема Менье Пусть уравнения гладкой кривой С, лежащей на поверхности о: х' = х'(и', иа) (71.1) заданы в виде С: иае и (а), (71.2) где э — параметр дуги. Если значения переменной иа(э) введены в (71.1), то мы получим пространственные координаты х' кривой С в виде х' = х'(э).
(71.3) а дх~ а да ! а и=- хаЛ На (71.4) где с Л =— да а Нй и Л= —. да (71.5) Вспомним также уравнение (63.4) аха н 11а аа (71.6) в котором 41а — единичная нормаль к С в касательной плоскости и ха в геодезическая кривизна С (рис. 29). Если мы продифференцируем внутренне (71.4) по ас 0Л г а Иа" 0Л~ — = х,, ЕЛ вЂ” +х'— а' да а В этих ураввениях кривая С рассматривается как пространственная.
Свойства С можно будет теперь изучать с помощью формул Фреие — Серре (50.!)— (60.3) путем анализа скоростей изменения единичного касательного вектора единичной главной нормали р и единичной бинормали т. С другой стороны, если мы будем рассматривать С как поверхностную кривую, определяемую уравнением (71.2), то компоненты Л" Рис. 29. единичного касательного вектора Л могут быть отнесены к пространственным компонентам Л' того же вектора по формулам 4 н! 208 КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ. ТЕОРЕМА МЕНЬЕ то, учтя формулу (50.1) Френе и уравнение (71.6), получим с с аа ка х!А = ха, а! З + хехаЧ Пространственные компоненты Ч вектора Ч примут внд Ч'=х„'Ч", и если пРивлечь фоРмУлУ ГаУсса А,' а=о,п', то пРедыдУщее уравнение примет вид хр =Ь, А"Х"п +х т!', (7!.7) епьи т! = до А (7!.8) а поскольку А перпендикулярен к плоскости л и !А, то !АХ а = "т з!и 9, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
