1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 39
Текст из файла (страница 39)
е. (дпх'у~)з (~(дпх'ху)(йпу'у'). Это и есть неравенство (75.4). Если теперь в формуле (75.4) мы положим х' = Л1 и у' = ф, то получим (хпл'лг) (епи'яг) а так как Л1 и 1Л' — единичные векторы, мы имеем (унЛ11х1)г. т. е. угол 0 в формуле (75.3) вещественный.
Определим элемент объема в Й, формулой а1т = )Гд г(х' г(хз .. Е1х~ а объем — соответствующим п-кратным интегралом. Обобщение понятий кривизны и кручения на кривые, находящиеся в п.мерных римановых многообразиях, не представляет !ГЛ, П! ГЕОМЕТРИЯ 222 затруднений' ), но процедура быстро осложняется с переходом к кручению гнперповерхностей. Система и уравнений х'=хг(иг, ит, ..., им) (г 1, 2, ..., и), т(и, (75.5) определяет допустимо параметризованное т-мерпое многообразие или гиперповерхность в окрестности переменных и", если: (а) х' в (75.5) относятся к классу Са и (б) якобиан-матрица (дх!ггдио) (а = 1, 2, ..., т) обладает Рангом т в каждой точке окрестности. В Я 64 — 73 мы изучили двумерные римановы многообразия (поверхности), расположенные в Еа Естественно возникает вопрос: при каких обстоятельствах т-мерное многообразие с римановой метрикой гЬт=а,аггиоггиа (а, Р=!, 2, ..., т) (75,6) может быть ггомещено в и-мерное евклидово многообразие с с(за = г(хг г(хгР (75.7) Уравнения (75.5) с (756) требуют, чтобы длГ длг (75.8) Система — т(т+ 1) дифференциальных уравнений (75.8) ! 2 в частных производных относительно а переменных хг может ! быть решена только при выполнении условия и) — т(т+1); 2 иначе говоря, если т = 2, то и ~ 3, если т = 3, то и )~6, и т.
д. Эта оценка, однако, егце не доказывает, что т-мерное многообразие может быть вложено в Е„всякий раз, когда 1 и =в — т (т + 1). С другой стороны, однако, представляется возможным доказать, что окрестность пространства й" может ! быть вложена в Его если и) — т(т+1). Но что касается вопроса о полном вложении всего пространства К в Е, то почти никаких общих результатов не известно. Сушествует несколько теорем частного характера о вложении двумерных многообразий с частными топологическими характеристиками, Почти все они распространяются лишь на выпуклые двумерные многообразия').
Задачи вложения стоят ныне на переднем фронте научно-исследовательской работы в геометрии. ') См., например, 6егге1вец !. С. Н., Ьес1нгеа оп 1епвог са1со1нв апд д!!!егеп1!а)! Кеове1гу, гл. б. '! См. !Ч! ге пьете 1., Тпе цгеу! апг! М1п!гонга!г1 ргоыегп, Сове, оп Риге апг! Арр!. Мань а, 1948; А В, Погорелов, Некоторые вопросы гео. метрам в целом в рнмаповом пространстве, Гостекнздат, Москва !957, ГЛАВА 1У АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА $ 76, Основные понятия. Кинематика Аналитическая механика представляет собой математическое описание движения материальных тел, подвергающихся воздействию сил.
Ее изложение строится по обычной схеме. Материальное тело предполагается состоящим из большого числа мелких частиц материи, соединенных между собой теми или иными способами. В первую очередь внимание исследователя направляется на такую отдельную частицу, причем предполагается сначала, что она свободна от каких-либо связей, а затем ее поведение анализируется в условиях воздействия на нее внешних сил.
Получаемый в результате такого анализа комплекс знаний составляет механику частицы. Для того чтобы перейти от механики единственной частицы к механике совокупностей частиц, составляющих материальное тело, мы вводим принцип суперпозиции сил и принимаем специальные допущения относительно природы связывающих сил в зависимости от того, является ли рассматриваемое нами тело твердым, упругим, пластичным, жидким или иным. Изучение механики сплошных сред мы начнем с анализа движения одной-единственной частицы.
Мы предполагаем при этом, что такая частица представляет собой идеализированный объект, характеризуемый положением в пространстве и инерцией, но не обладающей протяженностью в пространстве. Мерой инерции является масса, и потому такую частицу называют материальной точкой. Другим основным понятием механики является понятие времени, возникающее из предпосылки причинной связи между физическими событиями.
Гипотеза причинной связи явлений подразумевает возможность расположения событий в определенном порядке, причем время 1, входящее в описание физического пространства, предстает в качестве независимого параметра, диапазон изменений которого — континуум вещественных чисел.
Мы предполагаем, что физические события происходят в трехмерном пространстве, обладающем евклидовой метрикой, а положение частиц в указанный момент времени 1 относим АНЛЛИ1ИЧЕСКАЯ МЕХЛИИКА ~гл. 1Н к некоторой криволинейной координатной системе отсчета Х.
)Аак и при изучении геометрии в главе 1И, обозначим координаты частицы относительно системы прямоугольных декартовых осей символами у'. Из сказанного ясно, что положение частицы является понятием относительным, зависящим от выбора системы отсчета. Система координат, общепринятая в астрономии, определяется системой так называемых неподвижных звезд. Она называется первичной инеруиальной системой.
Любая иная система осей, движущихся относительно первичной инерциальной системы с постоянной скоростью, называется вторичной' инерциальной системой. В ре|нении многочисленных задач механики движение Земли относительно первичной инерциальной системы столь незначительно, что законы Ньютона (5 77), выведенные в том предположении, что они имеют силу лишь в инерцнальных координатных системах, в действительности, однако, допускают применение без всяких поправок и в изучении движения частиц, отнесенных к системе осей, связанной неподвижно с Землей.
Если частица меняет свое положение е; в принятой системе отсчета, то говорят, что е' г она испытывает перемещение. Так, например, предположим, что наша частица находится в точке Р1 в момент времени й Ее положение в этот момент времени задается вектором г~., в последующий момент времени Г+ Л/ частица займет положение Р„ Рнс. ЗЗ определяемое радиусом-вектором гв Обо- значим перемещение частицы за интервал времени Л/ вектором Р,Р, = Лг (рис. 33) и положим, что частица проходит в дальнейшем непрерывный путь, представляемый геометрической суммой векторов элементарных перемещений йг. Определим среднюю скорость частицы на перемещении Лг формулой о,р = Лт/Л/ и допустим, что это отношение стремится к единственному пределу при Л/- О.
Тогда мгновенная скорость о выразится формулой йг/йГ = г = о. Скорость о является, юи печно, вектором Случай, в котором йт/йг оказывается постоянной величиной, представляет в механике сравнительно меньший интерес, и во. обще мы будем иметь дело с движениями, обладающими ускорением.
С этой целью мы определяем среднее ускорение частицы в интервале времени Лг формулой ачр — — Ло/Л/ и мгновенное ускорение формулой Аь йь сРт а = ! пп — = — = —, = г. лг-+в А' ЗАКОНЫ НЬЮТОНА ДННАЖНКА $ тт1 В дальнейшем, если это нс оговорено особо, слова скорость и ускорение мы будем понимать как мгновенные значения этих величин Скорость и ускорение относятся в механике к кинел!агическим гзо! ятиям, в отличие от понятий, связанных с идеей силы.
Рассмотрим зтн понятия в нижеследующем параграфе. й 77. Законы Ньютона. Динамика В 1687 г. Исаак Ньютон опубликовал трп аксиомы п.чн закона, из которых первый был основан на выводах нз серии замечательных опытов, проведенных Галилеем !1564 — 1642) с твердыми телами, движущимися по наклонным плоскостям, другие эке два представляли собой глубокое истолкование смысла полученных в этих экспериментах результатов. Эти законы явились отправным пунктом всего дальнейшего развития динамики, и мы приводим их здесь в почти дословном переводе с латинского текста Ньютона, каким он вышел в издании 1726 г. под заглавием «Математические вачала натуральной философии» 1«Р!т!!ОзорЛ!а па1нга!ьз рНпс!р!а гпа!)теша!!са»). Современной формулировкой их в аналитической механике мы обязаны главным образом Ж.
Л. Лагранжу (!736 — 18!3), выдающееся произведение которого «Аналитическая механика» было написано в 1788 г., и У. Р. Гамильтону (!805 — 1865), знаменитый принцип которого резюмирует в одной формуле все содержание механики. Законы Ньютона ') 1, Всякое тело ггродолжает оставаться в состоянии покоя или равномерного движения по прямой линии, пока оно не будет вынуждено приложенными силами изменить это состояние. 11, Изменение движения пропорционально приложенной движущей силе и совершается в направлении прямой линии, по когорой приложена эта сила. '! Приведенная здесь формулировка законов Ньютона — перевод с ан.
глийского текста книги И. С, Сокольникова. Существующее на русском языке издание трактата И, Ньютона «Математические начала натуральной филосо. фии» представляет собой перевод с латинского издания !871 г., выполненный академиком А. Н. Крыловым, См. Собрание трудов, т. ЧП, Изд-во АН СССР, 1938. В этом переводе текст законов формулируется следующим образом: «1, Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя илп равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние, 1!.
Изменение количества движении пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, на которой эта сила действует. 11!. »«ействию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны». !Прин.
лер.! и. С. Со«о ~ьчч«о» (гл, )и Анхлитическля мвхкникя Р=— о (лго) лг (77.1) при условии, что мы выберем наши единицы измерения таким образом, пабы коэффициент пропорциональности сохранялся постоянным и равным единице. Если считать массу неизменной, то уравнение (77.1) принимает обычный вид; Р= пга. (77.2) Из уравнения (77.1) видно, что если Р = О, то и а(пго)/Ш = О, т, е. пто = сопИ; и, следовательно, вектор о — постоянный век. тор.
На этом основании заключаем, что первый закон Ньютона является следствием второго закона. Понятие массы можно, очевидно, определить вторым законом как функцию силы и ускорения. Предлагались многочисленные попытки определить массу и силу независимо одну от другой. Самым известным из таких определений мы обязаны Эрнсту Маху' ), сформулировавшему определение массы на основе третьего закона движения. По нашему мнению, однако, тонкий анализ Маха в его определении массы обнаруживает некоторые логические трудности, не поддающиеся разрешению 1) М ась Е., ТЬе вс1епсе о) гпесьап!сэ.
Интересное изложение этого опре. деленна приводится в книге: Е! пава у й. В., Маг ее пан Н., Гоипйаиопа 01 рпув!св. П1 Всякое действие встречает всегда равное и противоположно направленное противодействие; или: взаимодействия двух тел всегда ривны и противоположно направлены по одной и той же прямой линии. Первый закон опирается на динамическое понятие силы и на кинематическую идею равномерного прямолинейного движения. Ои приписывает антропоморфные свойства материальной частице, поддающейся влечению продолжать свое движение по прямой линии, но каким-то способом отклоняемой от своих намерений толчками или притяжением. Ньютон, несомненно, чувство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
