1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Линии кривизны на 5 нельзя смешивать с нормальными сечениями 5. Нормальные сечения С„являются по необходимости плоскими кривыми, между тем как линии кривизны обычно бывают не плоскими. Заканчиваем этот параграф несколькими определениями. Поверхность, во всех точках которой гауссова кривизна К по. ложительна, называется поверхностью полохсительной кривизны. В этом случае (см, уравнение (70.1)) Ь~|Ь<в — Ь|т)0, и так как н<„! = ь в)д).з, мы видим, что главные РадиУсы )7<Р! =!/н< ) ко всем нормальным сечениям поверхности с положительной кривизной имеют один и тот же знак.
Если К < 0 в заданной точке, главные радиусы имеют разные знаки. Тогда уравнение Ь, ),"„,В=О (72.! 2) определяет два направления, для которых радиусы кривизны бесконечны. Поверхность, во всех точках которой К < О, пазы. вается поверхностью отрицательной кривизны. Если К = 0 в некоторой точке, направления, указанные в (72.12), совпадают и для этого направления !< бесконечно велик.
Из геометрических соображений ясно, что эллипсоиды, двупо. лые гиперболоиды и эллиптические параболоиды являются поверхностями положительной кривизны. Однополостиые гипер. болоиды и гиперболические параболоиды — поверхности отрицательной кривизны. Точка на 5 называется эллиптической,если главные кривизны в ней н<н,х<м одного знака.
Отсюда следует, что н< ! в эллиптиче. ГЛАВные кРиВизны поВВРхностн $221 ской точке не измеяяет знака при любой перемене направления нормального сечения. Точка называется гиперболической, если х1ц и ха! имеют пРотивоположные знаки. В гипеРболической точке имеются два направления, для которых х1„1 — — О. Параболическая точка характеризуется тем, что одно из значений х!ц или ха) обращается в нуль. В частном случае х!ц = х!21, все значения х(„! равны и такие точки называются сферическими. В окрестности сферической точки поверхность выглядит сферой, и мы мо.
жем доказать, что если все точки 5 сферические, то поверхность 3 является сферой. В некоторых руководствах сферические точки называются также омбилическими. Задачи 1. Дзн эллипсоид вращения, поверхность которого определяется уравне. .пнями у и соз и! 5!и из, у' а з!п и' яп из, у' = с соз из, а') сз. Показать, что ап а'япзиз, аы О, азз а'сов!из+с'з!пзиз ас яп' из ас ьн Ь =О, Ь Уа' соз' и'+ с' з! и' и' Уаз созз и'+ с' з!пт из н сз К х я П) !2! (а!созе из+ сз з!пз ит)2 ' Исследовать линии кривюны на этой поверхности. 2.
Найти главные кривизны поверхности, определенной уравнениями у'=и', уз из, уз=)(и2, из). 3. Показать, что гелиноид у' и' соз и', у' и' 21п и', уэ аиз — поверхность отрицательной кривизны. 4. Показать, что если во всех точках поверхности ЬцЬ22 — Ь'„ пропорцио. нально апа,т — аиь то Ьар = Ьаар, Ь сопз1. Пояснить этот результат гео- 2 метрическим примером. 6. Доказать, что если каждая точка поверхности 8 параболическая, то поверхность 5 развертывающаяся. 6 Лана поверхность вращения 5, у' = гсозф, у' = гз!пф, уз = )(г), причем )(г) класса С'. Доказать, что линиямн кривизны вв 5 являются мери.
дианы г сопз1 и параллели ф сопя(. 7. Обратиться к задаче 6 и показать, что поверхность вращения 5, для которой !')в ) Π— эллипсоид, а для которой !'! < Π— гиперболоид; и если !" = О, то 3 — конус. 6. Пусть векторное уравнение кривой С, лежащей на гладкой поверхности 5, имеет вид г г(з). Если я(з) — единичная нормаль к 5 в заданной точке С, в о — параметр, измеряющий расстояние вдоль и, векторное уравнение )с(з, о) = г(з) + оп(з) определяет линейчатую поверхность Я'. Доказать, гвометрия 1ГЛ. Н~ что 5' — развертывающаяся, если С вЂ” линия кривизны, и наоборот. Схема решения: обозначить козффиииенты во второй фундаментальной форме 5' через г(ар.
Вычислить г(ар по формуле дз)1 из= О,аз,й . где о' з, Ф = о, а й) — единичная нормаль к 5'. Показать, что с)зз О, Условие развертываемостн и,1озз — и,з О предполагает прн этом, что и„=о. з Но вдоль С йг = г)г)г)з Х и; отсюда ип иг ип — ° — Х и=о оз из Если г)п)г)з=о вдоль С, то 5' — пилиндр, т.е.развертывающаяся поверхность. Если г)п,'оз и йг/из коллинезрны, то оп й гГг, что приводит к системе уран.
пений (Ьва — Ьаор)ои = О типа (72.3), Проследить этапы доказательства обратного утверждения. 9. Пусть С вЂ” гладкая кривая, определяемая уравнением г = г(з). Каса. тельная поверхность 5 к с определяется уравнением )г(з, о) = г(з) + о(ог,'лз), где о — параметр, измеренный по касательной иг(из Доказать, что 5 — развертывающаяся поверхность. Кривая С называется краем регрессии (возврата) для 5. 1О. Доказать теорему Дюпена. Координатные поверхности каждой трижды ортогональной криволинейной координатной системы в Ез пересекаются по линиям кривизны координатных поверхностей„ Указание.
Рассмотреть поверхность х' = сопз1 и принять х' = и', кз = и', кзк поверхностные координаты при ней. Показать, что вдоль по координатным линиям и, = сопз1, из = сопз1, Ь,з = О, если о1г = О. См. задачу 4 й 67. 3 73. Параллельные поверхности Пусть 5 — гладкая поверхность, определяемая уравнениями у'=у'(и', и') (1 = 1, 2, 3), (73.1) где координаты уг ортогональные декартовы. Поверхность Я, описываемая уравнениями у'(и' и') = у'(и', из) + йп'(и' и') (73.2) где и' — единичная нормаль к 5, и Й вЂ” расстояние, измеряемое по нормали и, называется параллельной поверхностью к 5, Параллельные поверхности фигурируют преимущественно в теории упругих пластинок и оболочек, в первую очередь в установлении отношений, связывающих гауссову кривизну К и среднюю кривизну Н поверхности 5 с соответствующими инвариан.
тами для поверхности 5. Приступим к выводу этих соотношений, вспомнив прежде всего что базисные векторы п„вдоль кривых и„= сопз! связаны с базисными векторами Ьь вдоль осей уе следующим образом: 164.!0) ПАРлллельные ПОВБРхностн 2)а б гз) Для упрощения записи введем обозначения (см. 9 64) дуг ду' —,=у,', —, =у„', дп продифференцировав (73.2), получим у' = уг+йпг, а а,а (73.3) так что у'и = уги + Йиг и . а г а г,» Ио у,'п,.=О, так как а, ортогонален к и, а и'аи,=О, так как и'и,= 1. Таким образом, (73.4) приводится к У„гиг = О. (73.5) С другой стороны, единичная нормаль и; к 5 ортогональна к базисным векторам у,' на 5, так что у йг=О.
(73.6) Из (73.5)и (73.6) заключаем, что векторы иг и 5; коллинеарны, и поскольку они единичные векторы (орты), и; = пь Метрические коэффициенты а„в поверхности 5 задаются ') уравнением а, = у,'р', которое по исследовании (73.3) дает ааб (Уа+ йп а)(УР+ И Р) УаУР+ йи аУЬ+ йп У + й И ап Ь Подстановка в это выражение из формулы Вайнгартена (69.5) п' = аьтЬ у' ,а ба т приводит к а, = а, — 2ЬЬ, + йтпг„игб, поскольку у,'уб = а, . Последний член в правой части формулы (73.7) может быть выражен в зависимости от гауссовой кривизны К и от средней кривизны О нижеследующим способом. Воспользовавшись уравнением (69.5), получаем и' и' =атбЬ у'алРЬ у' =а'"дЬ Ь .
а ,В аб т Вл и ав Рл (73.8) поскольку угу„'= а „. С другой стороны, уравнения Гаусса(69.10) требуют, чтобы ™ )1арть Ьатдрб Ьабдрт Я р ь = Ке,реть [69.10] где ') См. (еиб). Следует также помнить, ято уо = дп, так как координаты у' прямоугольные декартовы, ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ, 11! 2[4 в силу (62.6), так что Ке зете = ЬатЬеь ЬаьЬе . Умножим оба члена этого соотношения на а'ь, суммируем по б и заметим, что (см.
$62) аь а е Ее[= аат. Находим — Каь„=а'ьЬ, Ь„ь — 2НЬ (73.9) поскольку — аь Н= а и Ьаь. (70.2) Подстановка в первый член правой части уравнения (73.9) из (73.8) дает и',и' = — Каа„+ 2НЬ (73.10) Ь,Š—— уа[ э =И, в силу (67.7). С другой стороны, из (73.3) аа ь аа ь+ Ьи ае так что Ь, = Ьа + Ьи1 иь (73.12) Так как координаты у[ прямоугольные декартовы, и' = иьл'л[= = 1, то мы заключаем, что л' и'= О. ,а Дифференцируя это соотношение ортогональности, находим, что и[ и' = — и',и', и тогда (73.12) можно будет представить в виде , ае, а Ь = Ь + Ьи',и',. Учитывая (73.10), получаем окончательно Ьаа — — (1 — 2ЬН) Ьаа + ЬКа (73.13) и потому мы можем теперь придать выражению (73.3) новый вид ааь аае (1 ЬеК) 2ЬЬ з (1 ЬН).
(73. 11) Важная формула (73.1!) позволяет нам вычислять коэффициенты а, в заданной точке Р(и„и,) на 5 по значениям аа„, Ьа„, К и Н в соответствующей точке Р(и„ае) на 5. Для того чтобы вычислить коэффициенты З„а во второй фундаментальной форме ь, вспомним, что ТЕОРЕМА ГАУССА-БОННЕ й Т4! 216 С формулами (?3.11) и (73.!3) мы можем встретиться в монографии Т. Томаса' ). Они весьма близко связаны с формулами книги Л. П.
Эйзенхартаа). С определением коэффициентов а р и о в представляется возможным вычислить гауссову и среднюю кривизны: К и гт' из формул (70.1) и (70,2). Результат несколько трудоемкой вычислительной процедуры, с которой можно ознакомиться в упомянутой монографии Т. Томаса, имеет внд К 1+атК-2АН Й= 1 ч- А'К- 2АН Первая из этих изящных формул приводит к выводу, что в том случае, когда 5 — развертывающаяся поверхность, параллельные ей поверхности Я также развертывающиеся. Задачи 1. Показать, что если 5 — поверхность вращения, то параллельная поверхность 5 — также поверхность вращения. Указание Учесть соотношения: р' - и' сов ив, дв и' в!п ив, ие = 1(иг). 2.
Показать, что главные радиусы ЛГ«> нормальной кривизны 5 связаны с главными радиусами !1г«> параллельной поверхности 5 соотношением Я!.! = й!.! — А, й 74. Теорема Гаусса — Бонне Описание поверхностей системами дифференциальных уравнений носит локальный характер, поскольку соотношения между производными передают лишь те свойства поверхностей, которые распространяются на ближайшую окрестность той или иной нх точки. Для того чтобы получить результаты, сохраняющие значимость для всей поверхности в целом, надлежит произвести интегрирование.
'Но по причине сложности структур дифференциальяых уравнений теории поверхностей, возможности получения таких результатов, распространяющихся на поверхность в целом, весьма ограничены, а полученные решения для геометрии «в целом» относятся преимущественно лишь к узко специальному классу выпуклых поверхностей. Достигнут здесь лишь один важный классический результат, связывающий интеграл гауссовой кривизны по площади произвольной гладкой поверхности с линейным интегралом геодезической кривизны, вычисленным по ') Т Ь огп а в Т. г'., Сопсервв !гоп! 1епвог апа1уыв апг! г1!Иеген!!а! Кеоше1гу, Лсаг1еш1с Ргевв 1961, стр. 110 — 111. в) Е !ее и Ь а г1 1.. Р., 01Пегепца! Кеогпе!гу, Рппсе1оп Ргевв, 1940, стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
