1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 38
Текст из файла (страница 38)
2?2. !гл. и! геометрия 2!б дхо = хит!о, [63. 4] где хя — геодезическая кривизна С. При этом, если С вЂ” геодезическая линия, то хя — — О во всех точках С и обратно. Так как вектор т!" ортогонален к Х", то из заключительного абзаца Э 54 следует, что е„ат1„хр = ! или а т1,=е„рХ . Но из (63.4) ба а х =т! —, бх откуда р бЛ х =е и «Р бз (74.1) Интегрирование этого выражения по кривой С дает х с!з=~ е Х вЂ” ссз, Е бйв х оа бз (74.2) и если линейный интеграл в правой части уравнения (74.2) пре- образовать в поверхностный интеграл формулы Грина, то мы найдем, что!) ] хассе = — ] ] К ссо + 2х — ~! (х — а!), (74,3) ') Две области называются гомеолорфнь!ли, есле они могут быть взаимно отображены путем непрерывного взаимно однозначного соответствия '1 Детали несложных вычислений можно найти в следующих книгах: В, А П о г о р е л о в, Дифференпнальиая геометрия, Фнзматгиз, Москва !959; Е! а ел Ь а г1 1.. Р., Вц!егепца! Кеоще!гу, Рцпсе1оп !940, стр.
191; 5 ! го! !с !З. 3., !.ес1пгез оп с!азцса1 б!!!егеп!!а! Кеогпе!гу, Абб!аоп-%еа!еу !950, стр. 154. кривой, ограничивающей площадь. Гаусс оценил этот результат как самую изящную теорему геометрии поверхностей «в целом». Пусть 0 — область, ограниченная замкнутой кусочно-.гладкой кривой С, проведенной на гладкой поверхности о, показанной на рис, 31. Предположим, что 0 гомеоморфна круглому диску '). Мы видели в 9 63, что единичный вектор Хо, касательный к поверхностной кривой С, связан с единичным вектором т!", нормальным к Х"", соотношением 2!7 ТГОРемА ГАуссА — БОнне где х; — внутренние углы контура С, показаннгго на рис.
3!, а Ыо = $'иди'с(ис — элемент плошади В поверхности. Если кривая С вЂ” гладкая, сумма ~и(я — а,) = О. Формула (74.3) резюмирует содержание теоремы Гаусса— Бонне. Вместо того чтобы выводить эту теорему с помощью формулы Грина, мы даем геометрическую интерпретацию формулы Рис. 32. (74.3), подсказывающую иной вариант определения гауссовой кривизны. Рассмотрим прежде всего сферу 5 радиуса )7 и сферический треугольник Р,Р,Р, на 5 (рис. 32), образованный дугами Р~Рв Р,Р„Р,Р, трех больших кругов. Обозначим внутренние углы треугольника в вершинах Р; через сс; и наложим на сферу неко. торую координатную сетку (и', и').
Пусть а, — базисный вектор вдоль координатной линии иь берущий начало в точке Рь а А(Р,) — произвольный поверхностный вектор, берущий начало в Рь Обозначим угол между а, и А(Р1) через ~р. Пусть 0 — угол, образуемый лучом А(Р1) с геодезической дугой Р,Р,. Если вектор А (Р1) переносится параллельно вдоль контура геодезического треугольника Р,Р,Р,, то ов займет положение А'(Р,), )ГЛ, П! ГЕОмеТРИЯ 2)8 показанное иа рис. 32. Наша непосредственная цель — определить угол ф' между а! и А'(Р!). При параллельном переносе А(Р!) вдоль РзРг угол О остается постоянным (см. $ 60) и вектор А займет положение А(Р,) относительно геодезической дуги Р,Р„и тогда 0 = и — (аз + 8).
В ходе параллельного переноса вектора А(Р,) вдоль РзР, вектор А продолжает сохранять угол 8 с РТР, и достигнув точки Р„ ои примет положение А (Рз), Пусть у — угол между А(Рз) и дугой Р!Рз', тогда т' = аз — р = аз — (а — (аз + 8)) = а, + аз + Π— и. Продолжая переноситься вдоль Р,Р!, вектор А сохраняет постоянным угол у, образуемый им с Р,Рм до тех пор, пока, достигнув точки Р!, он не займет положения А'(Р!). Тогда угол !р', образуемый вектор А'(Р,) с ап выразится алгебраической суммой !р' = у + а, + !р — О = а, + оо + аз + <р — и, откуда определится и угол ф' — ф, образуемый векторами А(Р') и А(Р): !р' — !р = а, + аз + а, — и.
(74,4) Приращение ф' — ф, представляющее собой разность между суммой внутренних углов сферического треугольника Р,Р,Р, и суммой внутренних углов плоского прямолинейного треугольника, называется сферическим изба!гноя! сферического треугольника Р,Р,Р,. Если вместо внутренних углов а мы введем внешние углы О! = и — иь формула (74.4) примет вид ф' — ф= 2!с — ~ Оп ! Если вектор А переносится по контуру геодезического и-стороннего многоугольника, то совершенно сходные вычисления приведут нас к значению сферического избытка для многоугольника ') ф' — ф= Ха; — (п — 2)п, ! ! или <р' — ф = 2п — ~~~~ 8ь ! ! ') Заметим, что сумма виутренннл углов прямолинейного многоугольника с л сторонвмн равна (и — 2)м радианам.
теорема гауссА — БОнне 9!9 если мы воспользуемся внешними углами йг = гс — ось Но из сферической тригонометрии известно, что сферический избыток геодезического многоугольника равен о/Щ где о — площадь многоугольника, а Й вЂ” радиус сферы. Таким образом, (74.6) ') В оп а е1 О., зоагпа! есо)е ро)у1есьп)Чае 19 (!948), стр. ! — !48. ') См 51ги!)с )). д, сес1агеа оп с!атиса! гп!!егеп)!а! Кеогое1гу, Лг)гиаоп. %еа!еу, !950, стр. 153 — )59. ф — ф=2п — У О! — — —,, г-! а поскольку гауссова кривизна К для сферы равна 1))са, мы вправе утверждать, что 9л-ч;Е, К= а Эта формула допускает обобщение, приводящее к формуле (74.3) Гаусса — Бонне для случая, когда С на рис. 31 представ- ляет собой геодезический полигон, А именно, если область Р разбить малыми геодезическими полигонами на подобласти площадью йоь то обычные приемы интегрального исчисления, примененные к (74.5), дают нам ~~КБЬ=2гс — У Ор (74.6) в г-! Эта формула совпадает с (74.3), поскольку ма = О, где С вЂ” гео- дезический многоугольник.
Формула (74.6), впервые полученная Гауссом, была обобще- на Бонне' ) к виду (74.3), который, как мы уже заметили, выво- дится непосредственно нз (74,2) с использованием формулы Грина. Левая часть формулы (74.6) ) ~ Кг)о называется интеграль- ной кривизной Р. При этом обнаруживается, что интегральная кривизна представляет собой топологический инвариант. Две по- верхности называются топологически эквивалентными, если они допускают взаимное отображение путем непрерывного взаимно однозначного преобразования. Исходя из формулы (74.3), можно показать, что интегральная кривизна ~) Кс(а, равна 4гг, для и всех регулярных поверхностей топологически эквивалентна сфе- ре, а ) ) КБЬ = О для всех регулярных поверхностей топологно чески эквивалентна тору ').
ГЕОМЕТРИЯ [ГЛ. и[ й 75. и-мерные многообразия Целью настоящего параграфа является введение нескольких понятий из геометрии и-мерных метрических многообразий, представляющих интерес в приложениях к динамике и к теории относительности. Многие из этих понятий представляют собой вепосредствениые обобщения идей, введенных в этой главе в связи с изучением поверхностей, расположенных в трехмерных евклидовых многообразиях. Будем предполагать, что элемеит расстояния между двумя близко расположенными точками в а-мерном многообразии дается квадратичной формой [[з~=йаг[х'г[ху (1, 1=1, ..., и), !й,[(ФО. (75.1) Обобщим определение евклидова простраиства, данное в 9 29, называя пространство евклидовым, если в нем существует преобразование координат х', приводящее элемент г[зз к квадратичной форме с постоянными коэффициентами.
Так как каждая вещественная квадратичиая форма с постоянными коэффициентами может быть приведена вещественным линейным преобразованием к форме Ь'= Л,(ах[)з (Х, = 1), (75.2) то форма (75.2) может быть использована для определения евклидова п-мерного многообразия. Если, в частности, форма (75,2) определениая, мы скажем, что многообразие чисто евклидова, а если она неопределенная, то многообразие назовем псевдоевклидовым.
О линейном многообразии, определяемом системой и уравнений С: х'-х'([), с надлежащими свойствами дифференцируемости, утверждается, что оио определяет кривую С в п-мерном многообразии. Если форма (75.1) положительно определенная, мы скажем, что положительное число з = ~ )' дп ([7х'(Г11) ([(х[/Ж) [11 ч есть длина кривой С.
Существуют определения метрических многообразий, ие основывающиеся на выражении элемента дуги в форме (75.!), Ио они пе входят здесь в круг наших интересов (см. з 43). Вектор 1.[ = [[х[/г[з определяет направление кривой, и ясно, что дцХ') [ = 1, так что вектор Х' — единичный вектор. Длина любого вектора А' дается формулой А = )'дог['А', Л МЕРНЫЕ МНОГООВРЛЗИЯ 1 и1 221 Понятие угловой метрики в и-л|ернол1 многообразии — это прямое непосредственное обобщение определения угла в трехмерном случае. Если Л1 и 1л1 — два единичных вектора, то мы определяем косинус угла между ними формулой соз 0 = апЛ'р!. (75.3) Из этого определения не следует, что угол 0 обязательно веществен. Но мы докажем, что это всегда так, если форма днг(х~а1х1 положительно определенная.
Доказательство опирается непосредственно на неравенство Коши — Шварца (д, 1х'у')' ( (д,1х'хл) (йпу'у 1), (75.4) где форма аох'х1>О. Установим сначала неравенство (75.4). Пусть форма Я(х) = = упх~хг положительно определенная.
Если мы заменим в ией х' на х'+ Лу*', где Л вЂ” произвольный скаляр, то получим Я (х + Лу) — = яп (х' + Лу') (х' + Лут) = = упх'х7+ 2днхгу1Л+ дну'у7ЛŠ— = Я(х) + 2Я(х, у) Л+ Я(у) Лз. Это — квадратичное выражение относительно Л с вещественными коэффициентами. В силу гипотезы Я(х+ Лу) ~~ О, где знак равенства сохраняется в том и только в том случае, когда х' + Лу' = О. Следовательно, уравнение относительно Л ~ (Л) = 9 (у) Л'+ 29 (х, у) Л + Я (х) = О не имеет различных еещественнытк корней. Но необходимым и достаточным условием этого должно быть соотношение (Я(х, и))л — Я(у)Я(х) (О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
