1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 42
Текст из файла (страница 42)
далее, в силу уравнения (80.9) уравнение энергии дает в этом случае — гл(о — ое) тд(у' — ро). 3. Показать, что если частица массы и движется по гладкой параболе, ось которой вертикальна, в вершинв обращена вниз, то ревкцня )г =- т(гп — оо), где о' — тв скорость частицы т, для которой парабола являегся натуральной траекторией, в о — скорость вынужденного движения. 4.
Дпнжеэгце частицы по поверхности. Пусть уравнения регулярной поверхности 5 заданы в параметрической форме 5: х'=хе(и', иэ) (! =1, 2, 3), (80. 1О) !гл. ~ч Анллитическля мзхлникл 2ЗВ Поскольку Г' = та~, находим г'/ = тх,'а + то'кы,п'. (80.14) Первый член в правой части уравнения (80.14) — компонент Р в касательной плоскости к 5, второй же член — компонент Р по нормали и. Его развернутое выражение принимает вид г/п, = тх,'п/а»+ то'х,ып'и/ = О+ тосиын (80.16) поскольку поверхностные векторы х,' ортогональны к п, и п'и,= 1. Компоненты же Р в плоскости, касательной к 5, принимают вид о х/г/ = то х/х'а'+ то х д х/п/ = та а»+ О, От ота (»! // т та поскольку о,. х'х,'=а„а в силу (64.6), а д, х/п'=О, так как поверхностные векторы х/ образуют прямой угол с п/.
Если это соотношение переписать сокращенно: х/г = та т / н положить г" ==х'Р, то мы получим пару ньютоновых уравт т/' пений Рт = тат, связывающих поверхностный вектор силы Р с поверхностным вектором ускорения а„. Уравнения (80.16) можно преобразовать к эквивалентному лагранжевому виду, заметив, что кинетическая энергия Т= — то', ! 2 Т= — а о оа= — а йй. а 2 аа 2 аа а Р' Как и в э 79, получим (80.17) где г"„ определяется из (80.16).
Если силовое поле консервативно г"„ — д!//ди„ где У вЂ” потенциал. Мы можем вывести уравнение, аналогичное уравнению (80.6), для ускорения по траектории частицы, движущейся по 5. Скорость о частицы на траектории равна о' = оЛ'; отсюда а аи «а а »Л» «а » т ьЛ» а = — = — А+о — = — Л+о —. а/ «/ а/ «/ аа Если вспомнить, что зла — =н т!а [71.6] ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛЛГРА1!ЖА $ за! 239 н заключить отсюда а 1 аат а та а = — — 1+хат), 2 ат а Из полученного результата следует !Ем.
уравнение (80.7)], что 3 У Р = — Д +2Тх т1, аг К 1 где Т = пгот72. Если вектор Та обращается тождественно в нуль, то т(Т)т!з = О, а ху = О на траектории. Первое из этих уравнений констатирует, что о = сопз1 и если о ~ О, то траектория будет геодезической линией в силу теоре. мы $ 63. В качестве иллюстрации применения уравнений (80.17) рассмотрим частицу мас- Рис. 36. сы т, вынужденную двигаться под воздействием силы тяжести по гладкому парабо- лоиду вращения (рис. 36) у' = — [(у')з + (у')т), а = сопз1. 1 4а (80.
18) Если ввести цилиндрические координаты (г, О, г), положив у'=гсозО, у'=гз!ПО, уз=а, то уравнение (80.18) преобразуется в г= —, 4а ' (80. 19) .! а Т = — пту у' прини-. 2 выражение же для кинетической энергии мает вид Т ~ ~(1 + — ', ) г'+ г'О') . где т1а — единичная нормаль к траектории в касательной плоскости, а ха-геодезическая кривизна, то мы можем написать а аа а т а аа а 2 а а = — Х +охт! =о — Х +охт), ит аа Ф АНАГНПНЧССКАЯ МЕХАННКЛ 240 !Гл. ш Потенциальная энергия гравитационного поля равна г' = — лгдрз, принимающая, если учесть (80.19), форму )г = лгд~-"74а.
Так как поверхность гладкая, реакция 1г направлена нормально к 5, и мы вправе воспользоваться уравнениями (80.17) с учетом формулы Е = — д)г/диа. Введем параметрические координаты для поверхности, положив и' = г, и' = О. Подставив их в (80.17) и в выражения для Т и Е„= — д)г(дна, получим два уравнения 1+ — )г+ — —.О =- —, ( ')- г' З.. ггг яз яг 4а' Г' 4а' 2а ' — (г'О) = О. гГ кг (80.20) Второе из уравнений (80.20) дает после интегрирования уравнение момента га0 = Ь, Ь = сопя(.
(80. 21) Исключение О из первого уравнения (80.20) с использованном (80.21) дает (- )- гг ~ гГ2 Аг 1+ — )г+ — — — =-— 4а') 4а' г' 2а (80,22) 11нтегрирование уравнения (80.22) н вычисление реакции ~, необходимой для того, чтобы принудить частицу двигаться но параболоиду, сопряжсны с довольно трудоемкими операциямн. Для того чтобы вычислить величину реакции, мы должны воспользоваться уравнением (80.15), в котором Р = тй + )2 Есзи мы заменим поверхность параоолоида в разобранном примере поверхностью сферы, то встретимся с задачей сферического маятника. Решение уравнений движения для сферичс- — уравнение, имеющее единственное решение, если заданы начальное положение г = г, и начальная скорость г ==- са шстицы.
Если наша частица вынуждена двигаться по горизонтальной окружности г = сопя(, (80.22) требует, чтобы йа =; г'г24г, тог. да уравнение (80.21) свидетельствует, что О' = 8~2а, так что угловая скорость О остается независимой от радиуса окружности, Если траектория частицы совпадает с линией меридиана 0 = сопз1, то нз (80.20) мы получаем уравнецпе в ац ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВАРПАЦИИ 241 ского маятника может быть осуществлено с помощью эллиптических функций. Если повсрхпость цилиндрическая г = о, интегрирование уравнений движения упрощпстся ').
Задача Пусть частлны массы т принуждена двпгаг ся по поверхности сферы радиуса а. Связать прямоугольные декартовы координаты у' с поверхвостными координатами и форм)лами у' а юп и' гоз иг, у — аз!Пи 51п и и' . а сок и'. Показать, что уравнения (90!7) дают й' — (йг)г Мп и соз и = —, лгаг ' иг Мпг и' + 2и "и Мп и' соз и' = —. Ег лга' ' Решить этп уравнения для случая, когда Е = О, а показать, что траектория а представляет собой дугу большого круга, а скорость о сопэ1. Указание Первый интеграл второго уравнения — йгг!пг и' сопя!. Использовать этот результат в первом уравнении н заметить, что о'= аз ((й')г+ (й')'Мп'и'). 9 8!. Определение вариации В настоящем параграфе мы напоьшим определение операции варьирования 6, введенной ранее в 9 56 н отметим некоторые се свойства.
Введенные здесь обозначения позволят нам дать сжатую формулиронку принципа Гамильтона н принципа наименьшего действия Лагранжа. Любой из этих принципов с большим успехом, чем законы Ньютона, сможет служить отправным пунктом в построении аналитической динамики. Пусть Е(х', х', ..., х") — функция и независимых переменных х' класса С' в области гс и-мерного многообразия. Займемся изучением поведения функции Е в некоторой окрестности кривой С, определенной параметрическими уранненпями С; .т'=.т ((), (!(~((((з, !де мы принимаем, что хг(() принадлежат классу С'.
Рассыотриы й-окрестность кривой С, определенную неравенствами х' — Ь < хг (х'+ Ь (! = ),, и), ') Интересующимся читателям мы можем порекомендовать обраппься к «Аналитической механике» Уптте|гера ()У !г ! ! ! в йс г Е Т., Апа!упса! пгес!гап!сэ, Сяшьгмке Ргева 19!7, стр. 99 — 109, где задача о дщпкенпн часющы па поверхности исследуется иным способом.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА !ГЛ. !Ч 242 ЬР=е( — ), где др) др(х +е$, ..., х" +е!") ~ др де о де -о Таким образом, (81.2) дР = — бх др дх~ Рассмотрим функцию х'(!) = с(хо/Ю. Составим уравнение х'(!, е) = — х (!) + е н (!) и заключим из определения (8 1 . 1 ) бх'=е~ ' ! =Е4 (!)= — бх. С дх'(й е)~ де /о Отсюда 6 — = — бх. Ых~ Ы С д! дт (81.3) Это значит, что вариация производной есть производная вариации. Очевидно, если мы имеем функцию Р(х', ..., х", х1, ..., х", () от 2п+1 переменных х', х'— = о(х'/Ж и ! класса С', мы можем написать бР= — бх + —,, бх. др ~ дР (81.4) дх' дх' где 6 — малое положительное число„а хо — координаты точки на С.
Введем класс функций С'. х'(С е) х'(/)+е" (/) (!=1, ..., и), где — 1 < е (1, а з (г) — однозначные функции класса Со в !, (Ге '(„подчиняющиеся условиям ~'а="((о) =О и ~ 2'(!) ~ < й везде в Г, (Г -= !и Множество и функций х'(й е) составляет варьируемую тра- екторию, и потому определенная таким способом совокупность кривых С' может быть отнесена к Ь-окрестности С. В двумер- ном пространстве все кривые С' расположены в полосе шири- ной 2п около кривой С и совпадают с С в конечных точках ин- тервала ((ь /4). Вариация бхо была определена в $56 формулой бх х'~, $(!), (81.1) а вариация ЬР функции Р(х', ..., х") имеет вид ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА 243 Простое вычисление, аналогичное использованному в выводе формулы (81.3), приводит к заключению дР 6 — = — 6Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
