1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 46
Текст из файла (страница 46)
й /дТ Н дТ ~ад' ж а4 (88.7) В формуле (88.7) координаты д' связаны т отношениями (88.4), н если мы условимся рассматривать первые и — т координат д' как независимые переменные и положим, что т функций Ль(7', ..., д") могут быть выбраны таким образом, что — — — — +Щ+Л сы — — 0 для 1=п — т+1, ...„п, (88.8) дТ и дТ дд~ ш да~ и тогда (88.7) приводится к ь — — — + Я, + Л с, ~) Ьд~ г(1 = 0 l дТ и дТ а ~ач' и ач' и (1 = 1, 2, ..., п — т).
(88.9) дТ и дТ а — — — — +Р,+Л с,=О ад' ж аа' (ю' 1, 2, ..., п — т). (88.10) Две системы уравнений (88.8) и (88.10) содержат п обобщенных координат ф и т множителей Лагранжа Ль(ф, ..., д"). Присоединяя к этим уравнениям т уравнений (88,1), получаем п + т уравнений для определения систем значений д и Л.
Условия, при которых могут быть определены Л" таким образом, чтобы удовлетворялись уравнения (88.8), подробнее установлены в $ 57; они связаны с рангом матрицы-якобиана для (88.1). Обратим внимание на то, что если уравнения (88.8) и (88.!0) соединены в одну систему — — — — =ф+Л сы (1=1, 2, ..., п), (88.11) и дТ дТ а дг дд~ дд~ то правая часть уравнения (88.11) будет отличаться от правой части уравнения (86.11) членом 77; = Л"смь Этот член выражает обобщенные реактивные силы, порожденные связями, если О;— обобщенные силы, действующие на систему в отсутствие связей.
Так как первые и — т переменных 7' в подынтегральном выражении (88.9) независимы, вариации бф для 1 = 1, 2, ..., п — т могут быть выбраны произвольно, откуда мы заключаем, что АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 2б2 !Гл, 1ч где л — радиус инерции цилиндра.
Так как поверхность наклонной плоскости шероховата, то в ней возникает сила трения с; при этом мы полагаем, что эта сила в точности достаточна для предупреждения скольжения. В этих условиях х н О оказываются связанными соотношением а НО = г(х, (88.! 3) в котором а в радиус цилиндра. Связь (88.13) действительно голопомна, 1ак как ее можно интегрировать и получить х = аО, сведя, таким образом, задачу к рассмотрению одной независимой переменной, например х, Но для того чтобы проиллюстрировать теорию, изложенную в настоящем параграфе, преобразуем (88.13) к виду сха)1 = О [см. (88.1)): дй дх а — — — =О, ж ш (88. 14) так что си —— а, си = — 1. Уравнения (88,1!) дадут в таком случае дТ д дТ вЂ” — — —.
—; — (), + Аа = О, ! дб И де дТ д дТ вЂ” — — —.+(У,— р.=о. ~ дх Ж дх Работа Ух, произведенная теперь одной лишь гравитационной силой, когда центр массы перемещается на расстояние х, равна )р' = хтд з)п гр. Отсюда У = — хтд з! п гр, а д'х' дк (с' = — — =О, 9э= — — =тдз!пф. дв ' дх (88.
15) В отдельных случаях Я; могут быть выведены из потенциала )х(д',..., а"). В качестве иллюстрации применения уравнений (88.11) рассмотрим однородный круговой цилиндр, скатывающийся под воздействием силы тяжести вниз по шероховатой наклонной плоскости. Пусть цилиндр радиуса а и массы т скатывается без скольжения вниз по п,чоскости, образующей постоянный угол ~р с горизонтальной плоскостью.
Положение цилиндра определяется углом ската О и расстоянием х, которое приходится центром массы цилиндра до горизонтальной плоскости. В качестве наших обобщенных координат примем а' = О, а' = х и заметим, что кинетическая энергия Т системы представляет собой сумму кинетической энергии перемещения центра массы н кинетической энергии вращения относительно центра массы, т. е.
т= — 'тй + —,' Ы'О', (88.12) НГГОЛОгЮМНЪ|Е СИСТЕМЫ эаа! Введя эти выражения в (88.!5) и учтя значение Т в (88.(2), получим пару уравнений тО = —,, тх = туз(пгр — Л Ла (88.!6) в сопоставлении с (88.(!)„показывающую, что обобщенные реакции /7 равны Ла — Я, = — Л. 1 аг Для того чтобы вычислить Л, заметим, что аО = х, так что О = х/а.
Используем это отношение для того, чтобы исключить х и й в (88.!о). В результате получаем гпя а!п гр 1 + аа/А' ' и отсюда уравнения (88.)6) дадут '4лен Аатггэ(игр/(ах+ й') ва втором уравнении (88.!7) представляет собой силу трения г", оказывающую сопротивление компоненту гид э(п гр гравитационной силы на плоскости. Если 1 цилиндр — массивное тело, /га = аа/2 и г = — тйг 31п гр. Величина 3 силы трения г = !гйг, где ц — коэффициент трения, а Аг — давление цилиндра на плоскость. Так как А/ = тдсозгр, заключаем, что !г = г/А/ = — (д О.
Другой пример применения уравнений 1 3 (88.(!) Мы можем привести в решении задачи брахистрохроны в сопротивляющейся среде'). Допустим, что нам требуется определить элемент дуги непрерывно диффсреицируемой кривой С: у=у(х), р(х!)=р„у(хг)=угп (88,(8) обладающей тем свойством, что продолжительность спуска бусинки единичной массы, движущейся по этой кривой под воз. действием силы тяжести, получается наивозможно более краткой.
Положим, что движению противодействует сила А'(о) на единицу массы, где /7(п) — непрерывно дифференцируемая функция скорости о. Совместим положительное направление оси у с направлением действия силы тяжести. Так как работа, произведенная силой тяжести на перемещении частицы, за вычетом работы, ') См. 8 1! а а сг.
А., тне ргощегп о1 Ьаягапяе 1и 1йе са1сп1па о1 чаг1ацопм Апгег. Зощп. о1 Мага., 32, 1930; Рата Ь. А., Са!сп!па о1 чаг1а11опа, !962, стр. 241 — 243, АНАЛИТИЧЕСКАЯ ИЕХАНИКА (Гл. !т произведенной силой противодействия й(о), равна приращению кинетической энергии, то мы получаем уравнение оо' 2 Если принять х за независимую переменную, то это соотношение даст и условие связей ф (у, о, у', о ) = по' — уу' + й (о) 1Г! + (у )' = О, (88.19) где верхними штрихами обозначены производные по х. Определение минимального значения интеграла при условии (88.19) осуществляется нижеследующей операцией: ь Х! м т'= ) Ж=~ — ) ~ г(х. (88.
20) Если определить Н = — + Л)( (о), 1 о (88.21) то функцию б можно будет представить выражением б = Н )/1+(у')т+ Л(оо' — ду'). (88.22) Уравнения кривой б выводятся из уравнений Эйлера дом 40„. а бФ 0 б 0 (88.23) а поскольку б не содержит у, заключаем на основании первого из уравнений (88.23), что бд, = а или Ну' — Лд= а, р (+(у') (88.
24) где а — постоянная величина. Второе из уравнений (88.23) дает +(Ло)-)/1+(у)АН„-Л"=0 или ЯХ' (х) 'г' ) +(у')' (88.25) Обозначим подынтегральное выражение в последнем равенстве через г = у'1+(у')'/о и построим функцию б = Р+ Лф = " + Л(х) г(оо' — ду'+ Р(о) ~Г1+(у')']. пяголономные системы вез Н вЂ” „= Ъд+а, ад (88.26) сл о — =Н о' Исключая г(у и ~й из (88,26), получаем уравнение Н(Н,ао+/7аЪ) (дЪ+а)дЮ, а поскольку /7 = Н„в силу (88.2!), мы сможем придать ему вид Н(Н,йо+ Нл Ю) =(уЛ+ а) ус/Л, или Н ЫН = (дЛ+ а) ус(Ъ. Интегрирование этого уравнения дает Н' = (дЪ + а)'+ Ь', (88.27) где Ьа — постоянная интегрирования. Из (88.21) следует, что (88.27) — квадратное относительно Ъ уравнение, так что Ъ можно рассматривать как известную функцию о и постоянных интегрирования а и Ь. Этим подсказывается, что уравнение кривой С надлежит искать в парамегической форме Р С: х=х(о), у=у(о).
Поскольку Ну/с/о = (с/у/Нз) (Нв/ао), находим с помощью двух уравнений (88.26), что Ыу с(Ля+а) ео -,(л +а)+ йн (8'") где правая часть является известной функцией о. Выполняя квадратуру, получаем у=/,(о, а, Ь)+с, (88.30) где с — постоянная. Уравнение (88.30) — одно из искомых уравнений (88,28). Для того чтобы получить х = х(о), замечаем, что ах/ао = (с/х/Ыз) (с(в/с/о) и так как с(хая = 'Г' 1 — (с(у/~й)з, а Ыу/дз и Нз/Ио определяются из первых двух уравнений (88.26), находим, что Их/с(з — также известная функция о. Читатель убедится, что (88.28) вх ьс ао е (Ле+ а) + йР ' Мы получим, таким образом, систему трех уравнений (88.19), (88.24), (88.26) для определения у(х), о(х) и Л(х). Положив Ыз = 'у'1+(у')зг(х, выразим эти уравнения в сжатом виде АнАлитпческАя мехАникл 266 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
