1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 47
Текст из файла (страница 47)
1ч так что х=1з(о, а, д)+А, (88.31) где с( — постоянная. Постоянные интегрирования в (88.30) и (88.3!) должны быть определены для начальных условий. Для того чтобы придать задаче физический смысл, нам следует наложить неко~орые ограничения на относительные величины )т'(о) и гравитационную силу д, как, например, 1т' <д для всех надлежащих значений щ Задачи 9 89. Иллюстративные примеры Приведем теперь три примера, иллюстрирующих применение обобщенных координат, Рассмотрим прежде всего задачу о простом маятнике, состоящем из груза массы т и поддерживающей его легкой иерастяжимой нити длины !. Положим, что маятник приведен в состояние колебаний в некоторой плоскости, которую мы обозначим плоскостью У!!в (рис. 38). Для того чтобы составить уравнения Лагранжа д ~ дТ ') дТ д1, ддг. дог (89.
1) нам необходимо выражение для кинетической энергии Т= — и!У У, (89.2) ио У =!5!ПОгн!5!и —, 1' У'=!(1 — СО5 О) =!(1 СО5 гг~ (89.3) 1. Полый цнлиндрическай барабан массы т скатывается под воздействием силы тяжести вниз по гцероковатой наклонной плоскости, образующей угол ~р с горизонталью. Какой величины должен быть коэффициент трения р, ! чтобы предупредить скольжение" (Огаег. р) — !К !р.) 2. Бусинка массой т скользит по гладкому стерткню, враща!ощемуся в вертикальной плоскости относительно одного конца с постоянной угловой СКОрОСтЬЮ ЕЬ ПОКаЗатЬ, ЧтО ураВНЕНИЕ данжЕиия ИМЕЕТ Вид à — ЮЗГ = Лг МП Ыг, и решить его. 3. Бусинка скользит по гладкой проволоке круглого сечения радиуса а, вращающейся с постоянной угловой скоростью относительно вертикального диаметра проволоки.
Показать, что Π— ызыпОсозО = (д1а) 51пО, где О— угол, образованный радиусом к гастице с диаметром. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ $881 267 где в качестве обобщенной координаты мы принимаем длину дуги 8/ = 10. Так как ус = д з)п(у/1) и у' = асов(д/1), уравнение (89.2) переходит в Т = — гп Ц)'. Работа К'8, произведенная на виртуальном перемещении бд, выразится через )Р8= — п88 з)ИО Ьд = — тдз)п — Ьд, а отсюда получим и обобщенную силу Я = — лтд з)п(д/1). Таким образом, уравнение (89.1) дает д + д 8!п — = О. (89.4) и так как для малых перемещений з)п О = О, то для малых колебаний имеем рес. зе, равнения: д = асов(й1+ а), Ребыть выражено в эллиптических где й' = д/1.
Решение этого у шение уравнения (894) может интегралах первого рода. Обратимся теперь к более интересной задаче двойного маятника. Исследуем расположение частиц, представленное иа рис. 39, где, как мы предполагаем, массы т1 и гпс поддерживаются нерастяжимыми легкимн подвесами длиной 11 и соответственно 18, Предполагается, что маятник совершает колебания в одной плоскости, в качестве же обобщенных координат мы принимаем величину 0 и гр— углы отклонений подносов 18 и 18 от вертикали. Уравнения, связывающие масс т8 и Л88 с обобщенными нимают следующий вид: у', =1, з)п д', и', =1, у,'=1, з(пг/'+ 1,8)пф, Рас.
39. КООрдИНатЫ (у'„у',) И (у!„Ртс) координатами д' = О, ф = ~р прн- соз д', ус =1, соз Д'+ 1, соз Д'-, лиллитичнскля мехлникл )гл. и) Так как т = — т)ЯЯ+ — т,Кд) (1 = 1, 2), ) то незатруднительное вычисление дает Т вЂ” (т, (1,д')'+ тз ((1)д))'+ 21)1зд'д' соз (дт — д') + (1,дз)']). Работа, произведенная на малом виртуальном перемещении бдз, если бд' = О, равна Яка = — та!, з!пд бд, вв з 3 Яа= тгМз1пд. так что Точно так же работа, выполненная на перемещении бд', когда бд'= О, равна В'~о = — (т, + из) п1) з1п д' бд). Таким образом, Щ = — (т) + тз) д1) з)п д . Воспользовавшись уравнениями (89.1), находим для определения динамической траектории пару совместных обыкновенных дифференциальных уравнений — „, ((и)+т,)(1))'д'+т,1)1зд'соз(д' — д'))— — тз() 1зд)))' з !п (д' — д') = — (и, + и,) д1) з! п 1', —,(т1)1зд)соз(дз — д')+т (1з)'д')+ + тД(зд)дт з(п (д' — д') = — ттд,! з1п д'.
(89.5) Вместо того чтобы определять обобщенные силы 1,)) и Я, непосредственно, мы могли бы воспользоваться потенциальной энергией )) в ее развернутом выражении: $' = и)н1) (1 — соз д) + тд (1) + 1, — 1, соз д' — 1т соз д), если мы примем г' = О, когда д) = д' = О. Что касается деталей решения системы дифференциальных уравнений (89.5), то по этому вопросу мы отсылаем читателей к стандзртным курсам по аналитической динамике. Заключительным нашим примером к изучаемой теме будет задача о малых колебаниях консервативной динамической системы относительно положения устойчивого равновесия.
Положим, что такая система — физическая и голономная имеет и степеней свободы. Выберем обобщенные координаты д' таким образом, чтобы положение равновесия системы опреде- $ зя иллюстРлтивные ПРимеРы 269 лялось условием г(г = О (г = 1, ..., и). Поскольку равновесие устойчивое, потенциальная энергия )г(г7г,..., г)") принимает минимальное значение при дг = О и, следовательно, д)г/дг7 )а = О, Если мы положим, что уровень потенциала падает до нуля при гтг = О, то разложение потенциала )г(гуг, ..., гт ) в ряд Тейлора близ г)г = О принимает вид )г = — Ьгтд'г7~+ О (дз), где 0(да) обозначает остаточный член после членов г7' во второй степени. Поскольку мы интересуемся малыми колебаниями относительно точки г)г = О, позволительно допустить, что потенциальная энергия может быть представлена с достаточной точностью квадратичной формой — 2 Ьс/д Ч (Ь„= Ь!г).
(89.6) Кинетическая энергия Т системы равна Т = 2 ппг) г) (пц гт г ! (89.7) Вместо того чтобы интегрировать эту парную систему непосредственно, мы можем упростить задачу введением новой совокупности независимых переменных г)', так называемых нормальных координат, связанных линейно с координатами дг таким образом, что квадратичные формы (89.6) и (89.7) приводятся совместно ') к сумме квадратов.
Мы получаем при этом Т=(А'')'+(~'')'+ " +(д'")'. ~ и-).',(1")'+ ... +),'„(~'")'. ! (89.8) Все коэффициенты при д' в (89.8) не отрицательны, так как квадратичная форма (89.6) должна быть обязательно положи. тельной, если потенциальная энергия У принимает минимальное значение для дг = О. Уравнения Лагранжа принимают теперь вид д" + Цд' = О (без суммирования по г), 1) Эта алгебраическая задача была рассмотрена детально а й !6 Положим, что в окрестности точки г7' = О коэффициенты аи заметно не изменяются, так что их можно рассматривать как постоянные величины.
Уравнения Лагранжа (86.12) дадут в таком случае систему и совместных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с посгояниыми коэффициентами агм)'+ Ь наг = О. 1ГЛ 1Ч АпалитическАя мехАникА 2УО а их решениями будут, очевидно, в' =с1(сова!!+са) (1=1, ..., и). Таким образом, колебание системы в нормальных координатах получится простым гармоническим с собственными колебаниями, определенными характеристическими значениями Хг, которые удовлетворяют уравнению частоты !Ьг,— Дави!=0.
(89. 9) Если корни Аг различны, нормальные координаты у" определяются существенно однозначно. Для кратных корней выбор нормальных координат неоднозначен. Это следует из анализа, приведенного в $ 16, Проблема малых колебаний представляет большой технический интерес — ей посвящена обширная литература, в которой исследование осциллиругощнх систем проводится как для случаев конечного, так и бесконечного числа степеней свободы ').
В качестве конкретной иллюстрации к нашему общему анализу колебаний динамических систем относительно положения устойчивого равновесия рассмотрим двойной маятник (рис. 39), для которого !1 — — !ь = ! и тг = та= т. Выражения для Т и У, приведенные на стр. 268, в данном случае примут вид: Т = — Рт [2 (д1)ь + 2вгг)а соз (уь — вг) + (г)г)ь), У = тп( ((! — соэ у') + (2 — соз у' — соз д')). Если Т и 1' развернуть в ряд по степеням дг и дг и сохранить в этих переменных лишь члены во вторых степенях, то мы получим 1'= 2 (2(ч ) +(у')'1. Для того же, чтобы привести (89.!О) к виду (89.8), вводим нормальные координаты х = д", у= д" линейным преобразованием (см.
5 16) дг = а,х+ а,У, дь =- б,х+ бьУ. (89. 11) Коэффициенты аг и Ьг в (89.11) нужно выбрать так, чтобы Т и У в (89.!О) приводились к виду Т= — (х +у), У=Х1х +).ьу . 2 1) См интересные случаи а книге Ггагег, Оппсап, Со!!аг, Е!егпеп!агу пгг!г!сеь апн ьопге аррпсанопь !о г!упаси!сь апн г!!!!егеп!!а! еяиа. Поль, Сап1ьгЫКе 1!п!чегьпу Ргеьь, !938. ИЛЛЮСТРАТИВНЫЕ ПРИМЕРЫ Подстановка из (89.11) в (89,10) дает две квадратичные фор. мы, в которых перекрестные произведения приводятся к нулю. Таким образом, 2'Р,а, — 2а,а, = О, 4а,а, + 2У,'Р, = О.
Решая эти уравнения, находим — „' =)'2, — '= — 72 Далее, сравнение коэффициентов при х' и уз показывает, что 2 — )' 2, 2+У 2 4тн ' 2 4тр Таким образом, искомое преобразование (89,! 1) принимает вид = ' ()Т2-)Т- )'2+) у).) 221' т д- (1~2 — 1/2* — ~ т+тэр1, 211' т (89.13) причем выражение потенциала Р' преобразуется в 1' = 2 ((2 — )/2) х + (2 + ф'2) у~), В соответствии с этим уравнения Лагранжа в нормальных ко- ординатах выразятся следуюгдим образом: х+ ф(2 — )l2) х = О, у+ д (2+ )/2) у = О.
Независимые колебания в (89.14) имеют периоды Т~ = 2я/4 и Т2 = 2п/1ь Колебания большего периода — это колебания х— назгяваются колебаниями низкого тона. Колебания высокого тона — это колебания у, Если положить у =0 в (89.!3) и рассмотреть колебания низкого тона, то увидим, что да= )/2до Поведение маятника в этом случае иллюстрируется рис. 40,а. Положив х = О, мы получаем движение быстрого типа колебаний, для которого дз — )/2дг Ои представлен на рис, 40,б. Углы представлены на этих схемах преувеличенными, Общее Решив их, получим х = с, соз (х/+ сз), где А~ = — (2 — у'2), У = азсоз (2ч( + с1), (89,14) Я= — (2+ )/2). АНЛЛ!1ТНЧЕСКЛЯ МЕХАНИКА [гл. 1т 272 движение, описанное уравнениями (89.13), представляет собой сочетание движений двух характеристических типов колебаний.
й(ожно, конечно, получить нормальные частоты Х1, Хл непосредственно из уравнений частот (87.9). 0 0 Ряс. 40. Если подставить Т и К из (89.10) в уравнения Лагранжа (86.12), то придем к паре уравнений 2д'+д + — 91=0, д1+ 7'+ И 91=О ~ 1 а в которых переменные ч1 н чс спарены. Положим, что реше- ния уравнений (89.!5) имеют вид — е1ЛС С 1Л1 (89. 16) определим Х так, чтобы уравнения (89.15) были удовлетворены. Путем подстановки (89.16) в (89.15) получаем два однородных уравнения а1 (2 ф — 2ЛР) + а, ( — 7Р) = О, а, ( — 1Р) + а, (~ — 7Р) О, (89.15) 2 ~ — 2Л~ — лт Т имеющих для а1 и а, нетривиальные решения при единственном условии, если КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬГОНА 273 Развертывая этот детерминант, найдем, что Л'= и (2 ~72), и получаем два значения Л! = (911) (2 — )г 2), Лз=(д/1) (2+ )г 2), отвечающих найденным ранее медленным и быстрым типам колебаний низкого и высокого тона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
