1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Таким образом, решение (89.16) может быть записано сгеичг р с еглн ! 3 с)' * — уг2 с,нм" + Ь' 2 с,егх г как в (89.!3). Задачи 1. Найти собственные колебания для двойного маятника (рис. 37), прн. иян 1~ гз, но ш~ чь ньз. 2. Частица массы т колеблется относительно низшей точки гладкой по! верхиости х — (ах'+2йху+Ьдз), где координаты декартовы прямоуголь- 2 ные, а ось х направлена вертикально вверх. Предполагаем, что вертикальный 1 компонент скорости мал, так что à — ш (хе+уз).
Потенциал У шдг 2 (тя/2) (ахз+ 2йхр + Ьрт). Вывести уравнения движения, определить их решения в форме х а,е, у - азе ' и заключить, что если потенциальная пн пн энергия У минимальна при х = О, у О, тогда а > О, Ь >О, нЬ вЂ” А'> О. 3. Пусть частица в задаче, приведенной в копие й 3О, находится под воздействием силы тяжести, так что г' таа Мп и', Ьи = О. (3'эметить, что работа 6%г, произведенная на малом перемещении Ьуз, равна ЬЕ'= †6рз= яда з)п и' Ьн'.) Показать, что движение, когда частица проходит через наивысшую и иаииизшую точки сферы, совершается по дуге большого круга. Полное исследование этой задачи сопряжено со значительными сложностями, Ом Арре11 Р., Месвп1йце га(1оппеПе 1, гл.
13, в особенности й 277. См. твкхсе исследование сферического маятника в книге 3 у и ае 3. (... О г)1- 111й В. А., Рнпс1р(ез о( шесйап(сз. 4. Пусть частица предыдущей задачи совершает малые колебания отно. сительно нижнего полюса сферы. Определить проекцию этого движения иа плоскость, касательную к сфере в полюсе, и исследовать характер движения. Указание.
Положить и' н — (г/а) и вывести уравнения г г+ сиз= — д — „ а" гй + 2гй = О. (90.1) $99. Канонические уравнения Гамильтона Рассмотрим консервативную голономную динамическую си- стему с п степенями свободы и интеграл ь ,1 = ~ 7 (г), ф) с(Г, г, Анллитическля мехлникА 2гл ггл.
ггс где Ь = Т вЂ” (г — кинетический потенциал. Мы видели в 9 86, что система уравнений Эйлера, связанная с вариационной задачей нахождения экстремума У, состоит из совокупности и обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые мы запишем выражением сгг, л — — Тлс=О (г=1, 2... п), (90.2) р,=(,ас(с), ф) (г= 1, 2, ..., и), (90.3) где мы предполагаем, что система (90.3) разрешяма для с)с в функции от рг и сгс. Так, например, обстоит дело в слу гае, кодбл гда якобиан — ~ ФО.
Построим теперь функцию Н(р, с)) ддг независимых переменных с) и р Н(Р, 9) =9'Рг-Т-И, ф), (90 А) выразив с)с = дс(сг, р) в правой части уравнения (90А) в функции от с)г и йч с помощью (90.3). Дифференцируя (90А) по сгг„ получаем ддс ддг Н! = — р. — Ь с — йл —., дег ' л а ддс а поскольку р; = (д, в силу (90.3) находим гг "ч' (90.5) Лналогично вычисляем Н, =ф+ — р.— г.с— ддг дд' др, дрг н, пользуясь опять (90.3), получаем Нрг =г) . I Но уравнения Лагранжа (90.2) устанавливают, что сгг, с — = — У. с сгг ч (90.6) где нижние индексы обозначают частные производньге от й(гг, д).
В ряде случаев бывает удобно представить систему л уравнений Лагранжа (90.2) в виде эквивалентной системы из 2п уравнений первого порядка, известных как уравнения Га. мильтона. Функция Ь(г), с)) = Т(гг4) — )с(гг) зависит от и обобщенных координат сгс н а обобщенных скоростей д'. Вместо переменных ссс мы можем ввести сг новых переменных рь определенных соот- ношениями ЕАноннчесю!е уРАВнениЯ ГАмильтонА а если учесть определение (90.3) и формулу (90.5), то мы получим и уравнений первого порядка — = — Н! (1=1, ..., Н), ар! (90.7) которые вместе с н уравнениями (90.6) дч. — =Н,, (! 1,...,н), 190.6] Но Т = — а! !) !), —.
= а!!!), так что !)' = а!!!)!!) = 2Т, ° ! ° ! дч! а отсюда (90.8) приводится к виду Н=Т+У. Таким образом, Н вЂ” полная энергия системы. Переменные р, = — —, = а!!!) .! дд' называются обобщенными количествами движения, и мы замечаем, что квадрат величины вектора р! равен р'=а !р,р! — — а !а!Аа!!д' !) =а!!д д =2Т.
(90.10) !! !! А! .А! Для того чтобы дать простой пример использования уравнения Гамильтона, рассмотрим частицу с массой т, движущуюся под воздействием центрального силового поля с потенциалом У(г), где г — расстояние частицы от центра притяжения. Если в качестве обобшенных координат воспользоваться полярными координатами г = д!, 8 = дз, то Т = ™ (г'+ (г8)'] = — а!!!)'!)!, 2 2 (90.9) где (а'!) = 0 тг' ' составят систему из 2Н канонических уравнений Гамильтона первого порядка. Функция Н(р, д), известная как гамильтонова функция, имеет важный физический смысл.
Так как !'. = Т вЂ” У, а У— функция одного лишь !1!, то можно переписать (90.4) в виде Н = !) —. — 7. = !) — — Т + У. .! дй .! дг (90.8) дд! дч! АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА !Гл. »и 2уе Но И= 7+(г = — а»/р;р!+)г в силу (90.10), которое дает после подстановки значений а" О = — + — + )г (г), Р» Рт 2га 2и»гз В итоге приходим к соотношениям дН р., 'дН дН р, дН р, — — — з+ )г'(г), — = О, дг глгз ' д6 ' др»»и ' дрз тгз Уравнения (90.б), (90.7) Гамильтона в этой задаче получают вид Р» »»О Рт »»Р» Рз »/Рз — — — — — = — — (г (г), — = О. (90.11) и! га ' »»! и»гз ' »»! лзгз »»! Последнее из этих уравнений в сочетании со вторым дает — (тг»0) = О, »!! т. е. уравнение, выражающее второй закон Кеплера движения планет.
Нетрудно показать, воспользовавшись остающимися уравнениями в (90,!1)„что если 1» — и/г, то орбита будет коническим сечением (см. $97). Задачи 1. Пусть частица массы л» аынуждена двигаться по гладкой поверхности. Показать, что система уравнений Гамильтона имеет анд »!иа дН»»ра дн — — — — — (а 1 2) дра, ан д»»а где ра «закай и Н (1/2га) а рарр+ !г. 6 аа 2. Показать, что вдоль динамической траектории »!Н/»»! О, так что Н сапы предстаиляет собой интеграл уразиений Гамильтона. 3.
Показать, что дЦд»/» + дн/д»/» - О. 4. Написать канонические уравнения Гамильтона для задачи ! $ ай. а. если т- — га(б)з и )г/ й(»))з,й>О, то н=рз/2т+а»ыз(л)з/2, где ! 2 оз' А/и». Показать зто и аыаести, что»/ У2А/гиыз ° з»п (ы!+а). 6. Вывести ураинеиия Гамильтона из зариационного принципа б ) ь»»! О. Указание. представить б и виде ь р» (»/д~/»/!) — и (р, о), рассмотреть зариации р и д как незазисниые и показать, что ~ [(ЧЧ вЂ” — ) бр, — (Р»+ — ) бд»~ »»! О. др» $9!1 ЗАКОН ТЯГОТЕНИЯ НЬЮТОНА $ 91. Закон тяготения Ньютона Общая формулировка динамических уравнений, сделанная в предыдущих параграфах, не накладывает каких-либо специальных ограничений на функциональную форму силовых полей.
В различных применениях динамики, включая астрономию и атомную физику, мы имеем дело с динамическими системами, подвергающимися действию центральных силовых полей, и в частности таких полей, интенсивность которых обратно пропорциональна квадрату расстояния частицы от центра притяжения. Теория притяжения по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния имеет свое начало в исследованиях Ньютона, относившихся к движению планет по «эксцентрическим коническим сечениям>, как он называл нх сам').
Мы сформулируем этот закон следующим образом. Две материальные частицы притягиваются одна к другой с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Направление действия силы совпадает с линией, соединяющей части ць!. На .язь!ке векторных уравнений этот закон формулиууется, следовательно, таким образом: Сп, Еие )2=у —, с!2 где пт, и тпе — массы частиц, а тм — вектор Р,Р,, Коэффициент пропорциональности у, зависящий от выбора единиц.
в системе СОЯ определяется значением 6,664 1О ' физической размерности М-е).2Т-2. В нашей работе путем надлежащего подбора единиц измерения мы припишем этому коэффициенту значение у =!. И Тогда получим еп,аее 3 т3 2' !2 (91.1) ') Хе ж ! о и, Рг!пс!р!а, книга 1, 4 111, Предложения 1 — 17. Заметим прежде всего, что закон тяготения (91.1) распространяется на две частицы, а поскольку в динамике приходится иметь дело обычно с непрерывными распределениями материи, то этот закон представляется необходимым обобщить.
С этой целью материальные тела можно подразделить на малые части, каждую такую часть заменить эквивалентной материальной частицей, приложить соответствующие силы к отдельным — дискретным частицам и перейти к пределу по мере неограниченного АнАлитическАя мехАникА '1ГЛ. 1Ч возрастания числа дроблений материального тела на частицы. Эта процедура для двух тел т1 и т2 приводит к фор- муле Р= ) )' — ",'*Г12«т!~(т2, ъ и (91.2) Рнс. 41, координаты точек тел т1 и т2 через (у1) и соответственно (921) (рис, 41). Заменяем распределенную массу р1бтг сосредоточенной массой п21 в точке Р, (у11, 921, 92), а массу р2Лт2 массой т2 в Р2(У2', У'„92).
В согласии с законом (91.1) получаем для компонентов силы Ьг1, обусловленной этими массами, У2 У1 ог = Р1Р2от1от2 Ы где с(т1 н с(т2 — объемные элементы тел т1 и тм р1 и р2 — их функции плотностей, а г,2 — радиус-вектор элемента 1(т2, отнесенного к началу 2(т1. Будем предполагать, что р1 н р2 кусочно-непрерывны. Поскольку два взаимодействующих тела вызывщот не только результирующие силы, но также и результирующие моменты, то представляется необходимым удостовериться в том, что обобщенный закон тяготения (9!.2) приводится к начальному исходному и не сопровождается какими-либо не обращающимися в пуль парами, когда тела т1 и т2 в процессе предельного перехода обращаются в точку.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
