1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Решение уравнения Пуассона Согласно закону тяготения Ньютона частица Р массы т воздействует на частицу Р, единичной массы, находящейся на расстоянии г от Р с силой величины Р = т/гг. Представим себе замкнутую регулярную поверхность Х, стянутую вокруг точ- где а — единичные базисные векторы, а Р= Р'аз+ Р'а + Р'а . г з 4. Показать, что контраварнантиые компоненты вектора го! Р виеют внд $ Щ] твогвмх гхтссА. гапшнив твхв!!и!ия пххссонх 2ат ки Р, и пусть О обозначает угол, образуемый единичной внешней нормалью л к Х и осью конуса с вершиной в Р. Этот конус Рас. 4г. стягивает элемент поверхности с(о (рис. 42).
Поток гравитационного поля, производимый т, определяется интегралом Г т сохе г!!!!ь ) Р п !(и = ) т !(!ь = 4ит. (93.1) Если в объеме, охватываемом поверхностью Х, имеется и дискретных частиц с массами игь то л Р и=~~ ! ! и полный поток определится как л )' Р. л!(о =4и ~' т!. х !=! (93.2) Результат, полученный в формуле (93.2), легко может быть распространен на сплошные распределения материи, если эти где !(о = «'!(о/соз О, а Н!а — телесный угол, стягиваем ый ио.
Получаем, таким образом, АнхлнтическАя мехА!шкх 288 [гл. !ч распределения нигде не пересекаются с поверхностью Х. Про- цедура вычисления обычная. Вклад к интегралу потока от эле- мента массы рйт, содержащегося внутри т, равен )! Г пдо= ~ '~', Йт, х х а вклад от масс, содержащихся целиком внутри Х, определится как (93.3) где ) обозначает объемный интеграл, охватывающий все тела, находящиеся внутри Х.
Поскольку, как предположено, все массы размещаются внутри Х, то г не может обратиться в нуль. Подынтегральное выражение в (93.3) представляет собой одно- член, и на этом основании допустимо обратить порядок интегрирования и получить (93.4) ~Р псЬ=4п ~рйт=4пт, (93.5) где гп обозначает полную массу, содержащуюся внутри Х. Теперь мы можем сформулировать теорему. Т е о р е м а Г а у с с а. Интеграл норл!ального компонента гравитаииснного потока, вьн!исленный по регулярной поверхности Х, содержащей весотиь!е массы полностьпо внутри себя, равен 4пт, где гп — полная магга, заключенная в Х Эту теорему мох!но распространнть и на такие условия, где Х пересекает распределенные массы достаточно равномерной плотности р. Пусть регулярная замкнутая поверхность Х пересекает распределенные массы непрерывно дифференцируемой плотности р.
Строим две поверхности Х' и Х", параллельные Х (см. $73), так, чтобы Х' оказалась внутри Х, а Х" охватывала бы Х извне (рис. 43). Поток тяготе!ощих масс непрерывно изменяется при пересечении Х' н Х", когда эти поверхности, оставаясь параллельными, приближаются к Х. Но интеграл ), =4п, поскольку он представляет поток Г совайв единой массы, содержащейся в Х. Отсюда ТЕОРЕМА ГАУССА РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 289 % м! Так как Х" не пересекает Х, то теорему потока Гаусса можно применить в вычислении полного потока масс, поступающих через Х" из внутренней области Х. Таким образом, ) (Р л)! Йт = 4ИГи, (93.6) где т — полная масса, содержащаяся внутри Х, нижний же индекс !' относится к потоку масс, поступающих из внутренней области Х.
С другой стороны, поток-нетто, поступаю. щий через Х' от масс, расположенных вне Х, равен ~ (1т. л)„ли = О, (93.7) так как конический поток, исходящий из любой точки, лежащей вне Х, пересекает Х' дважды. Если мы теперь будем приближать Х' и Х" к Х, то правые части уравнений (93.6) и (93.7) останутся неизменными, левая же часть и (93.6) представит полный поток через Х масс, поступающих из области, лежащей внутри Х, между тем как левая часть (93.7) определит поток через Х всех масс, поступающих из внешней по отношению к 2.
области. Таким образом, полный суммарный поток распределения масс внутри Х определится интегралом ~ ()т п) ГЬ = 4ит = ~ 4ир е(т. (93.8) Если далее положить, что т" — непрерывно дифференцируема, то к поверхностному интегралу (93.8) будет законно применить теорему о дивергенции и получить таким образом ) (й 1у Р— 4ир) ат = О. (93.9) Это соотношение справедливо для произвольной области т, а так как подынтегральное выражение в (93.8) неразрывно, мы заключаем, что о!у г'= 4ир по всей области т. (93.10! !О и с со~ в.1ьников АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 290 !Гл.
!ч Но вместе с тем формула (91.6) констатирует, что Р = — т)Г, и на этом основании формулу (93.!0) следует признать эквивалентной Ре)г — 4ир. (93.11) Таким образом, во всех внутренних точках тела т гравитационный потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона. Отметим в заключение, что формула !9!.5) дает решение уравнения (93.11) во всех точках в т. 5 94.
Третье тождество Грина. Гармонические функции Симметричная формула Грина (иРо — о9 и)с(т= ) (и — — о — / Йт ГГ до диз .) 1 дп да/ '!92.6) применима к любой паре функций и, о класса С' в открытой области т и класса С' в замкнутой области Х + т. Положим и = !/г, и о = )г, где г— расстояние между точками Р(х', х' х') и Р~Я', се, кз), а )г — гравитаци- Ю онный потенциал распре- деления масс непрерывно дифференцируемой плотности р так, что г' принадлежит классу С' в т, Так как !/г имеет разрыв непрерывности в (х') = (94), то мы выделим Р(х) из т, заключив эту точку в сферу о раРис.
44. диуса Ь с центром о в Р. Функции и = 1/г и о = (Г будут тогда удовлетворять условиям теоремы (92.6) в области т — е, ограниченной Х и о (рис. 44). Но в области т — а имеет место равенство теи = 94(1/г) 0 и формула (92.6) даст е-е Е а (94.!) 4 м! тРетье тОждествО ГРинА. ГАРмОнИческие Функции 391 где и — единичная внешняя нормаль к поверхности Х + о. Поскольку, однако, на о нормаль а направлена к Р, имеет место уравнение 6 О = й--' — "--'~"'-=- й — ")"-= ь а Г /дУ1 = — б ~ ( — ) с(а — 4лУ, (94.2) ) (~дг) где У вЂ” среднее значение У по сфере о, а ьà — телесный угол. Если положить б — О, то правая часть уравнения (94.2) даст — 4лУ(Р), и мы получим из уравнения (94.1) ! Г тсу ! Г ду ! ! Г д(!/г) У(Р) = — ) — — с/с+ — ) — — сЬ вЂ” — ) У вЂ” до.
(94.3) 4л,) г 4л,) да г 4л .) да где ас — постоянная, не зависящая от г, то, распространяя Операцию интегрирования в (94.3) на все пространство, получим тсу У(Р) = — ~ — — с/т„ (94.5) если только этот объемный интеграл сходится. Поверхностные интегралы в (94.3), если их распространить на все пространство, обращаются в нуль в силу условий регулярности (944).
Во всех точках, ие занятых материей (т. е. где р = О), гравитационный потенциал У удовлетворяет уравнению Лапласа Т/т ' О. (94.6) Функция, удовлетворяющая уравнению (94.6) в заданной Об- ласти, называется гармонической в этой области, Если гармоническая в области т, то формула (94.3) приводится к виду Г ! Г ! дУ ! 1, д!!/г) с(о 4л,) г да 4л ) да (94.7) 10" Важная формула (94.3), известная как третье тождество Грина, констатирует, что любая функция У класса С' в с.
+ т и класса Сз в т может быть представлена как сумма трех входящих в (94.3) интегралое. Если У(Р) регулярна в бесконечности, т. е. если для достаточно больших значений г потенциал У таков, что ! д ! (94.4) !гл. !ч АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХА!!ИКА 292 так, что значения У полностью определяются в т, если значения У и ее нормальной производной дУ|дп известны на Х, Однако эти поверхностные значения не могут быть установлены независимо одно от другого, и мы увидим, что установление значений одного лишь У на Х полностью определяет У(Р) во всех точках т.
С другой стороны, определение дУ|дп на Х определяет У(Р) в т с точностью до произвольной постоянной при условии, чтобы — йо = О. дУ дп (94.8) Условие (94.8) следует непосредственно из формулы (92.6), если положить и =!, о = У. Это необходимое условие удовлетворяется всякой гармонической функцией. Если Х в (94.7) — поверхность сферы радиуса Я с центром в Р, то (дЯг))|дп = (д(Ъ|г))|дг = — !|г' и (94.7) дает У(Р) —, ).У йо, ! (94.9) в силу (94.9). Но правая часть этого выражения представляет собой среднее значение У потенциала У по 5, причем среднее значение У может равняться максимуму Уа лишь в том случае, когда У = Уь на 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
