1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Рис. 47. Подобная же процедура позволит нам построить функцию Грина для сферической области хх+ у'+ г'к=.Й~ и получить решение задачи Дирихле для сферы. Представим себе точку Р(х, у, г) внутри сферы 5 радиуса )г (рис, 47) и построим отображение (г точки Р относительно 5 так, чтобы ОР.ОЯ = )г', Пусть Р" — переменная (подвижная) точка на 5. Подобные треугольники ОР"Р и ОР"Я приводят к соотношению РкЕ ОР" к г — — или Р-и ОР р * ПО.ЛУВЕСКОНЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО 299 где р = ОР. Таким образом, ! Я ! — — — на Я. г р Если для какой-либо внутренней точки Р' мы определили сг (Р, Р') = — — — —., ! Я ! г р (96.3) )!г — рг — — — на Я, бл 4лг\ 3 формула же (95.8) дает решение задачи Дирихле (95.1) для сферы в виде интеграла Пуассона 'У'(Р) — ~ ~(Р'), зР сЬ.
(96.4) Этот интеграл записывается обычно в сферических координатах (р, О, ф) как )г(р,О,!р) = — 1 Рз(пО'с(8' ! Р ''Р ~„, (96.5) 4л,! (!тз — 29!! соз т + рт) г' о о где соз у = соз О соз О'+ ейп О з(п О' соз (!р' — <р), причем 8 — широта, а ф — долгота Р. Функция Грина для области ха + уз+ гз)~ Я выводится из (96.3) путем перестановки ролей Р и 9. Задачи !. Показать с использованием (9Е.4), что для каждого положения точки Р внутри сферы Г )тз — р — ) — ао !. 4л!т,) гз Указание. Направить ось л вдоль ОР так, чтобы гз )тз — 2згрсозф+ рз.
Для фиксированного положения Р фиксируется также и р. Выразить г(о лзыпзмвб!р в сферических координатах и вычислить интеграл. то (96.3) дает искомую функцию Грина, так как ы = = — (гс!р) (1/г') — функция гармоническая внутри 5 н б(Р, Р') = О на 3. Простое вычисление производной с(тг)дп из (96.3) дает АИАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАИИКА !Гл. !и зоо 2. Показать, что реюпенне внешней зздлчи (95.!) для сферы 5 дается интегралом рт оз У(Р) ~ Н)'), Л, 4нл .) г Я где р ОР> я, 3.
Вывести (96.5) из (96.4). Указание. Пусть у — угол между ОР и ОР', если Р' расположена нз 5. 9 97. Задача двух тел Задача двух тел формулируется следующим образом. Дана система двух частиц, взаимодействующих в соответствии с законом всемирного тяготения. Какова траектория системыр Эта задача была решена Ньютоном в «Началах» книга 1, $ П1. Она лежит в основе всех исследований в астрономии. Поскольку использование общих криволинейных координат в частных задачах особого преимущества не представляет, отнесем нашу систему к прямоугольным декартовым осям.
Обозначим координаты материальных точек т!, птз для любого заданного момента времеви 1 через (х'„х'-,', х,) и (х,,', х',, х,') (рис. 48). Введем также другую декартову систему отсчета г', ,г Рис. 48, движущуюся вместе с массой гн! таким образом, что нт! находится всегда в начале О системы отсчета у, а оси г'! всегда остаются параллельными осями Хь Координаты материальной точки птз, отнесенные к осям У, обозначаются через у'.
Получаем при этом соотношения у'=х' — х, '(4=1, 2, 3). (97.1) зхдАчА двух тгл 27! Примем для материальной точки ш, координаты у» как тройку нз наших обобщенных координат, а для остальных трех обобщенных координат примем координаты центра масс си- стемы т2, 1 (97.3) х'=и'+ т' у'. ~ т»+ т, Эти уравнения позволят нам теперь определить координаты х» положения точек в их зависимостях от обобщенных коорди- нат ц'.
Такой специальный выбор обобщенных координат предпри- нят нами с той целью, чтобы получить простое выражение для потенциальной энергии 2' нашей системы частиц. В самом деле, поскольку величина силы притяжения г дана произведением масс, отнесенных к расстоянию г между частицами г" = = т,т2?г2, то потенциальная энергия у' определится формулой т»т» п»»т» г «(х! — х2) +(х! — х2) +(х! — х2) 1 Из соотношений же (97.1) следует, что координаты и» не входят в )г, так что у' определяется как функция одних лишь координат у', у', у2. Вспомним уравнения Лагранжа дТ дТ дг' [86.11) и вычислим Т = — и х'х' + — ц! х,'х,' = — (т + т ) 2 ! ! ! 2 '2 2( ' 2) Так как д)г/д»)» =О для ! =4, 5, 6, то водят уравнения «86.1!] к ц»ц» ! т»т» у»у! 2 т»+т, простые выкладки при- — у= — —, (»=1,2,3), й'=О (»=1, 2, 3). (97.2) Очевидно, что ц! располагаются по линии, соединяющей точки (х',) и (х2»), а наш подбор обобщенных координат следует в таком порядке: д! у! д2 — у2 дЗ уЗ д» ц! »72 ц2 дб цЗ Если решить уравнения (9?.1) и (9?.2) относительно х', и х', то мы получим АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ~гл.
ш Дифференциальные уравнения (97.4) характеризуют движение нашей системы. Заметим сначала, что движение массы тз относительно т1 происходит так, как если бы масса т, была неподвижной, а т, притягивалась к ней с силой, потенциал которой равен ((т, + ти)/т~]У.
Это следует непосредственно из первых трех уравнений (97.4), если мы перепишем их в несколько преобразованном виде т1+ ти дУ т,у = — — — —, !и, дус (97.5) Таким образом, наша задача приводится к изучению движения, производимого действием центральных сил. Вторая серия из уу трех уравнений группы (97.4) констатирует, что центр массы движется по и прямой линни с постоянной скоростью. Интегрирование уравнег ний (97.4) мы выполним в В предположении, что т| У (масса Солнца) значительно больше массы тз (масса Рис. 49. Земли).
Если т, '» гиь то центр массы и' будет лежать весьма близко к массе ть и потому координаты и' почти совпадут с координатами массы ти Таким образом, х,' = ис и из второй серии уравнений (97.4) мы заключим, что т, движется в пространстве с постоянной скоростью. В связи с этим нам достаточно ограничиться исследованием лишь движения массы тс относительно массы гпь Если тс'» ть то т~+ти т, и уравнение (97.5) преобразуется в приближенное дУ т,у ау' ' Положим, что наши координатные оси ориентированы таким образом, что движение массы тз относительно т, происходит первоначально в плоскости у'у'. В дальнейшем в связи с тем, что силовое поле центральное, движение будет оставаться в той же плоскости, так как никаких компонентов силы, образующих прямые углы с плоскостью, не существует.
Пусть г и 9 (рис. 49) — полярные координаты массы ть где у'=гсоз8, у'=гз!пО; ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ з ву! зоз тогда кинетическая энергия массы та выразится так: т=фт,((а,)'+(у,))= 2 т,(: + О). Подставив это выражение для Т и )г = — т,т,/г в уравнения (86.!!) Лагранжа и учтя подстановки д'=г и с/с = О, получим ') Ав апта т,г' — твгв га Ф вЂ” (ттгтв) = О, лг или г' — От+ —,' =О, гав =Ь, (97.6) / = — ) гас(О. Г а,) о Так как ст//Ж = (д//с(О) (г(О/й), то получаем соотношение с//с(/ = (й/г') (с//с(О) и, использовав это в первом уравнении (97.6), находим Ь л' ~ Ь ог~ Ае т, — — ! — — / — г — + — '=О ив ( г* ив / или, умножив на г', И ~А Иг~ Аа й — ( — — ) - — +т, =О.
ав (г ив) г (97.7) '! Мы полагаем, что сила направлена от тс к пи. '! См, также один ив иллюстративных примеров в нонне $ ВО. где л -- постоянная интегрирования. Уравнения (97.6) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, определяюших траекто. рию. Второе из них утверждает постоянство секториальных скоростей, т. е.
один из законов Кеплера в). Отношением г'О = й мы можем воспользоваться в определении продолжительности времени, необходимого для того, чтобы описать орбиту. Если /т ~ О и, следовательно, траектория не является прямой линией, то мы можем исключить параметр времени /, заметив, что гас(О = й Ж, т. е. в аналитическая мгхяпикя 304 !Гл !у Если мы далее произведем подстановку зависимой переменной и в (97.7), положив и = 1/и, то получим простое линейное уравнение второго порядка оаи — +и= —, ив Я' ' решение которого имеет вид и = — (1 — е соз ( — а)), 1 ! илн (97.8) 1 — исоа(9 — а) ' где 1= /!и/па!, а н е — постоянные интегрирования. Мы видим, таким образом, что орбита представляет собой коническое сечение (рис. 50), эксцентрнснтет которого равен е, кг Рис.
50. а положение апсид определяется углом а. Постоянная а известна как константа перигелиж Мы не будем затруднять себя определением этих констант '), зависящих от начального положения и скорости массы та, поскольку главным предметом нашего исследования в этом параграфе было получение формулы (97.8) в целях сопоставления с соответствующим уравнением орбиты в релятивистской динамике.
') См. Арре!1 Р. Месашяпе ганоппепе, ь 1, са. 11 и 5упие Х 1, б с11111й В, А., Рппс1р1еа о1 п!еспап)са, 1959, стр. !60 — !69, ГЛАВА У РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 9 98. Иивариантность физических законов Формулировка основных законов классической механики в предыдущей главе основана на гипотезе, предполагающей, что физические явления происходят в трехмерном евклидовом пространстве. При этом допускается также, что эти явления могут быть упорядочены в одномерном континууме временнбй переменной й Эта последняя рассматривается как не зависящая не только от пространственных переменных х', но также и от возможного движения пространственных координатных систем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
