1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Далее, поскольку радиус |(! произволен, мы должны заключить, что У = Уо в каждой внутренней точке 5. Для того чтобы показать, что У сохраняет одно и то же постоянное значение Уь в каждой точке !г' тела т, соединим точки Р и Я кривой С конечной длины и покроем ее последова- если мы учтем условие (94.8). Формула (94.9) раскрывает важное свойство гармонических функций. Значение гармонической функции У в центре сферы равно среднему значению У на поверхности сферы. Это свойство позволяет нам доказать следующую основную теорему о гармонических функциях. Теорем а. Функция У, гармоническая в замкнутой регулярной области Х + т, принимает свои максимальные и минимальные значения на границе Х тела т, за единственным исключением, когда У вЂ” постоянная величина дяя всего т.
Для доказательства этой теоремы допустим, что У принимает свое максимальное (или минимальное) значение Уь в какой-либо внутренней точке Р, принадлежащей т. Построим сферу 5 в т с центром в Р, радиуса Я. Тогда ~ Уь'в 4пй! эм) третье тождество грина. гармоничнскив оюгкции йэз ~„— — 1(Р), ~ 1(Р) ап = О, (94.10) составляет задачу Неймана.
Так как У = сопз1 представляет собой гармоническую функцию, удовлетворяющую условию дУ/ди = 0 на Х, заключаем, что решение задачи Неймана, если оно существует, определяется с точностью до произвольной постоянной. Можно доказать — хотя доказательство это ни в коем случае нелегкое,— что задачи Дирихле и Неймана разрешимы для конечных регулярных областей, если заданные граничные значения непрерывны '). Задача Показать, что формула (94.7) справедлива в бесконечной области т вне замкнутой поверхности Х, если У регулярна в бесконечности. Указание.
Применить формулу (94.7) к ионечной области, ограниченной Е и сферой 5 радиуса )С столь больного, что 5 включает Х. ') См. К е11 о я д О. О., стр. 311, см, сносну на стр. 282, тельностью сфер, частично накладываемых одна на другую с центрами на С. Внутри каждой из сфер этой последовательности У сохраняет одно и то же постоянное значение Ув, и потому УЯ) = Ув. Таким образом, если функция У не остается постоянной по всей области т, она принимает экстремальные значения на границе Х. Определение гармонической функции У в т по заданным значениям У на границе л, тела т составляет содержание задачи Дирихле.
Если т — конечная область, мы имеем дело с внутренней задачей, если же т — бесконечная область, ограниченная замкнутой поверхностью Х, перед нами — внешняя задача Дирихле. Легко показать, что внутренняя задача Дирихле для регулярной поверхности Х + т не может иметь более одного решения, ибо если бы мы допустили существование двух функций У, и Уз, гармонических в т и принимающих те же значения иа гранйце Х, то У = — Уг — Ут оказалась бы также гармонической и принимающей нулевые значения на Х.
Но это привело бы к тому, что У = 0 по всей области т, поскольку в противном случае У должна была бы принять положительный максимум или отрицательный минимум внутри области, Тем же путем можно доказать и единственность решения внешней задачи Дирихле, допустив, что У регулярна в бесконечности. Определение гармонической функции У в т, удовлетворяющей на границе Х области т условию 1гл. Ич АИАлитическхя мехАникА й 95. Функции Грина н Неймана Мы только что показали. что решение внутренней задачи Дирихле для уравнения Лапласа 'т"и=О в т, и =1(Р) на л, (95.1) если оно существует, то по необходимости является единственным.
Точно так же и решение внутренней задачи Неймана Чо=О в т, ] (95.2) при условии ) у(Р) с(о = О определяется с точностью до произвольной постоянной, если у(Р) непрерывна. Для того чтобы решение задачи Неймана получилось единственным, присоединим к (95.2) норнализуюи4ее ус- ловие ~ о 41о = О. (95.3) Если уравнения Лапласа в (95.1) и (95.2) были заменены нами уравнениями Пуассона, то мы имеем дело с задачами Днрихле и Неймана для уравнений Пуассона.
Формула (94.7) неприменима непосредственно к решению заРис. 45. дач (95.1) и (95.2), поскольку она требует знания значений функции и ее нормальной производной на Х. Покажем сейчас, как этой трудности можно избежать введением специальных функций, зависящих лишь от формы области, а не от предпи- санных граничных значений 1(Р) и д(Р). Начнем с задачи Ди- рихле. Пусть Р(х) и Р'Я) — фиксированная точка и соответственно переменная точка в т (рис. 45). Строим функцию 6(Р, Р') со следующими свойствами: (а) 6 (Р, Р') = — + ж' (Р'), где г= РР' н и~(Р') — гармоническая в т. (б) 6(Р, Р') =О на ФУНКЦИИ ГРИНА И НЕЙМАНА Условие (б) требует, чтобы Ге (Р') = — — на Е ! г так, чтобы ш(Р') и, следовательно, Се(Р,Р') определялись однозначно свойствами (а) и (б). Назовем 0(Р, Р') функцией Грина для области т.
Покажем теперь, как функция Грина может быть использована в построении явной интегральной формулы, решающей задачу Лирихле для уравнения Пуассона Че)Г = — 4пр в т, 1г = /(Р) на Х. (95.4) Эта интегральная формула включает как частный случай и решение задачи (95.1). Симметричная формула Грина (ееЧев — оЧ'ее) с/т = ~ (и — — и — ) с/о де ди! де де ) !92.6) не допускает применения к и = Се(Р, Р'), и = )г, поскольку Се(Р, Р') — со при Р'-ь Р. Если, однако, исключить точку Р, включив ее в сферу о радиуса б, как это показано на рис. 44, то формула (92.6) будет иметь силу для области т — е, ограниченной поверхностями Х и о. Мы вправе теперь написать '-"Че® -')( — -' — ' др д0! ! Г дГг д01 де де),! 1 де де) (95.5) — 4п ~ Ор Я) ает — ~ )г — е/о — ~1 ( — + Ге) — с/о + д0 ! !1 ! дГг де ) )~г ) дг е-е х е + ~ (г ( ) е/о.
(95.6) де е В выражении (95.6) мы учли, что поскольку п — внешняя нормаль, то д)е/дп = — д)е/дг и дее/дп = — дб/дг на и. Так как д)г/дг и ш непрерывны, в т, а е/о = гее/ез, где Лов элемент телесного угла, очевидно, что второй интеграл НО В т — Е, 6 еее!/Г+ Ги — ФУНКЦИЯ ГаРМОНИЧЕСКая, таК Чта ЧА0 =О и О =О на Х. Точно так же Чеу = — 4пр в силу (95.4). Поэтому (95.5) приводит к и л. Ее АНАлитическАя мехА11ин 1 в правой части (95.6) стремится к нулю вместе с б- О.
Подобным же образом 1у= (г — сЬ вЂ” О, при б- О, а между тем как г' огго — 4п)г (Р) при Ь вЂ” О. д» а Соответственно, положив б-ьО в (95.6), получим 4Ы'(Р) = ~ 4пбре(т — ~ )г — е(о, да дл (95.7) что и является искомым решением задачи (95.4). Если поло- жить р = О, находим решение соответствующей задачи для урав- нения Лапласа )г (Р) = — — )1 )г — Уо. 1 1 дп 4н,) дл (95.8) Для того чтобы использовать зту формулу, надлежит сначала получить функцию Грина ьг для области т, иначе говоря, решить частную задачу Днрихле Ч12 п1=0 в ! го = — — на Х. г Сходные соображения применимы и к задаче Неймана (95.2). Вводим функцию Неймана Ж (Р, Р') = — + гн (Р'), дго д (1'1 — = — — ( — ~+сопзЕ дл дл (г! Вычисления, полностью аналогичные проведенным ранее для задачи Дирихле, дают для граничной задачи (95.2) формулу )г(Р) = — ) уайт.
') Для того чтобы получить елннственпое м, можно пронвнестн норманнзанню его, нотребовав, чтобы ) и Фа=о. х где го(Р') — гармоническая в т и удовлетворяет на границе Х области т условию') ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЕ ПРОСТРАНСТВО е!и 297 В физическом аспекте функция 6(Р, Р') может быть интерпретирована как электростатический потенциал внутри заземленной проводящей поверхности Х, произведенный единичным за. рядом в точке Р, Потенциал, возбужденный одним лишь единичным зарядом, составляет !ГГ.
Потенциал же, созданный индуцированными зарядами поверхности Х, составляет аГ(Р'). Так как Х заземлена, 6(Р, Р') = 1/Г + НГ(Р') = О на г,. Функция Неймана может быть интерпретирована как установившийся тепловой поток из источника интенсивности 4п, помещенного в Р, если тепловой поток поступает через поверхность г, с равномерной скоростью. 9 96. Функции Грина для полубесконечиого пространства и сферических областей Физическое истолкование функции Грина, предложенное в 9 95, позволяет нам строить функции Грина для полупространства г)~ О и для областей, находящихся внутри и вне сферы. Если положительный единичный заряд помещен в точке Р(к, у, г) (рис.
46), а отрицательный единичный заряд в точке Рнс. 46. зеркального отражения первой (Г(к,у, — г), то электростатический потенциал 6, возбужденный этими зарядами в Р'Я, ть ~), равен 6= — —— ! ! (96.!) Г Г' где г= РР'= ),Г(е — к)е+(!) — у)е+(à — г)' АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА игл. ~к г' = се' = )l(й — х)~ + (т( — у)' + (~ + з)'.
Очевидно, ск =- О на плоскости з = О, а так как гв(Р') = — 1/г' представляет собой гармоническую функцию для г ) О, то уравнение (96.1) дает искомую функцию Грина для области Е)~О. На плоскости г = О по выполнении простых вычислений и подстановки в формулу (95.8) получаем решение задачи Дирихле (95.1) для области г ) О в виде интеграла Пуассона 1' (Р) 1(й ч) лй ~ч (96 й) 2и ) ) 1(й — к)с+ (Ч вЂ” к)2+ (~ — кР)1Ь Частные значения 7(5, 71) потенциала У на з = О, должны быть, очевидно, такими, чтобы (96.2) имело смысл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
