1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Для того чтобы показать, что это действительно так, введем прямоугольную декартову систему отсчета У н обозначим АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ггл. !ч Из вышеизложенного следует, что взаимодействие материального тела с точечной массой не сопровождается появлением какого-либо результирующего момента а.. Кроме того, непосредственные вычисления указывают, что это верно также и для того случая, когда точечная масса заменена сферой т, плотность которой р — непрерывная функция одного лишь радиуса. Результирующая сила Р, с которой тело действует на сферу, оказывается такой же, как и та, которая проявляется телом, действующим на точечную массу пг- ) рат, находя- щуюся в центре сферы ').
Рассмотрим теперь тело т с кусочно. непрерывной плотностью р, и пусть Р(у', уе, уа) — фиксированная точка, находящаяся либо внутри, либо вне т. Гравитационный потенциал 7(Р) в точке Р, обусловленный телом т, определяется интегралом (й! ее йз) (91.5) где г= )г(у! — 9!)е+ (уа — кг)г+(уа- $а)' — расстояние между Р(у', у', уа) и переменной точкой (зг, $е, аа), связанное с объем. ным элементом йт(9) тела г. Интеграл (9!.5), как мы теперь увидим, определяет дифференцируемую функцию )г(у!, уа, уа) для всех положений точки Р.
Если Р— вне тела т, интеграл (9!.5) собственный, и мы мо- жем вычислить сколь угодно много производных Р путем диф- ференцирования (9!.5) под знаком интеграла по параметрам у', В частности, д)г — = — Р, дуг где Р,— компоненты силы тяготения р (е) и (91.7) обнаруживаемой телом т и действующей на частицу единичной массы, находящейся в точке Р(у). Если Р(у) находится внутри т, то интеграл (9!.5) несобственный, поскольку г = 0 в том случае, если переменная точка (й!,йе, $4) совпадает с (у', уе, у'). Тем не менее такой интеграл может быть все же дифферепцирован под знаком интеграла, если производный интеграл равномерно сходится.
В нашем слу- ') См„иапример, Зо'по!п)ао11 1. В„не ай е11е г й. М., МажеюаПса о1 раугдса апд пюдегп епя)пеег)пя, Мсбгатг.Н1!1, ВооК С', !958, сгр. 419- 411. теояамы преовнязовлпня иитнгвялов 291 чае равномерная сходимость интеграла (9!.7) следует из известной проверки иа сходимость несобственных интегралов '), Кроме того, из равномерной сходимости (91.7) следует, что Р(Р) непрерывны во всем пространстве. Хотя )7(Р) принадлежит классу С , во всех тех случаях, когда Р находится вне т, на непрерывность р должны быть наложены более строгие ограничения, для того чтобы обеспечить существование вторых производных от (7(Р) в точках внутри т.
Известно, что если р принадлежит классу С', то вторые производные потенциала )7(Р) существуют во всех внугренник точках тела т. Тщательный анализ функции Р(Р) показывает'), кроме того, что )!(Р) удовлетворяет уравнению Пуассона (9!.8) 17т(г = — 4пр во всех точках внутри т и уравнению Лапласа (9!.9) в точках вие т. Уравнения (91.8) и (91.9) приводят к выводу, что вторые производные от (7(Р) вообще испытывают разрывы всякий раз, когда Р пересекает поверхность У.
гела т. В 9 93 мы установим справедливость уравнений (9!.8) и (9!.9) с привлечением гауссовой теоремы потока. Доказательство, основанное иа теореме потока Гаусса, имеет преимущества физической убедительности, которой обычно бывает лишен аналитический процесс, основанный иа вышеупомянутом изучении.
При всем том оно налагает весьма строгие ограничения на характер областей и поверхностей, ограничивающих эти области. Теорема Гаусса — это теорема в целом и ею нет нужды пользоваться в выводе результатов местного значения (91.8) и (9!.9), относящихся к свойствам потенциалов в окрестности заданной точки. 9 92. Теоремы преобразования интегралов Для того чтобы обеспечить себя аналитическим инструментарием в нашем дальнейшем исследовании, переведел! на язык теизорного исчисления хорошо известные теоремы интегральных преобразонаиий Гаусса, Грина и Стокса.
') так как яля всех значений ($') в окрестностн (у') )г'р(3)/ге! < А, если 2 < я < 3, гле л — константа, не завясящая от (3'). К вопросу об этой оценке см. Бохо1и12о(1 1. Б., Айтапсед са1сц1цз, Мс Огавг Н!И, 1939, стр. 367 — 372 нлн: К е11о 9 К О. О., роцндапонэ о1 ро(ен1!а! щеогу. Брг!овес.
Уег1ав, 1929, стр. !46 — 156. э) См. К е11 о я К О. О., ор. с11., гл. 6, стр 146 — 156. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1ГЛ, !Ч Пусть Р— векторная функция класса С' в открытой области т, охватываемой регулярной ') поверхностью Х и непрерывной в замкнутой области Х + т. Обозначим через п внешню!о единичную нормаль к Х и сформулируем теорему дивергенции в виде ) г(!тгРг(т= ~ Р лего. (92.!) Интеграл с индексом т вычисляется по объему т, интеграл же в правой части формулы (92.!) измеряет поток вектора Р через поверхность Х. Вспомним из элементарного векторного анализа, что в прямоугольных декартовых координатах дивергенция вектора Р выражается формулой дР' дР! дРа бгчР= — + — + —, ду' дуе ду! ди до и= — и о,= —. дх! дх! Если положить Р,=иоь ') Мы опускаем довольно сложное исследонание свойств поверхностей, к которым применима теорема днвергенпии.
С подробным рассмотрениеи зтага вопроса можно ознакомиться у Келлога; К е1!о я я О. О., Роппба1мпв о1 ро1епиа1 1Ьеогу, стр. 97 †1. Если компоненты Р, отнесенные к произвольной криволинейной координатной системе Л', обозначены через Рг, то ковариантная производная компонента Р! примет вид " = — ',"'+(',1"' и мы видим, что инвариант Р,; в декартовых координатах при- водится к правой части формулы (92.2), т.
е. представляет ди- вергенцию векторного поля Р. Кроме того, Р л = дггргл = Р'ль ! 1 и потому уравнению (92.!) можно будет придать вид )' Р,! с(т = ) Ргл, Йт. (92.3) Е Из этой теоремы легко можно вывести две другие теоремы (обычно приписываемые Грину). Положим, что и(х', х', х') и о(х', х', х') — две скалярные функции класса С' в т и класса С' в замкнутой области Х + т, Обозначим градиенты и и о через и! и соответственно через оь так что получим АИАлитическАя мехАникА [Гл.
Иу 284 а дивергенция вектора л— (92.9) Формулы (92.8) и (92.9) могут быть представлены в различных формах, часто более удобных для вычислений. Уравнение (31.10) дает —,. !ой )Я, 13! .10] и, следовательно, мы сможем представить дивергенцию Р а в (92.9) в виде ~. = — -!-~ — ! а ~'а) р. дУ' дх~ дхт или „х 1 д(Г д УВ х' у дх' (92.10) Вводя в эту формулу Р'= йи(до/дх!), получим ра И ! д(У а ум до/дхх) у о=у оьа: Уу дх (92.11) Обратимся теперь к рассмотрению теоремы Стокса, позволяюацей выразить некоторые поверхностные интегралы через криволинейные интегралы. Пусть часть регулярной поверхности Х ограничена замкнутой регулярной кривой С, а г" — некоторая векторная функция класса С', определенная на л и па С. Теорема Стокса констатирует, что )' и го1хагЬ= )' хх Ха(з, (92.12) где ) — единичный вектор, касательный к С, а го1 Р— вектор, компоненты которого в ортогональных декартовых координатах определяются детерминантом го1 Р= (92.13) где е~ — единичные базисные векторы в декартовой координат- ной системе.
Детерминант (92.!3) может быть представлен как символическое векторное произведение У )А Р. е, д ду' р1 е, е, д д ду' дуа хе ра е чи ТЕОРЕМЫ ПРЕОЬРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРАЛОВ 285 Рассмотрим ковариантную производную Гс ! вектора Рт и образуем контравариантный вектор Сг~ — и Р), А (92. 14) Легко удостовериться, что в декартовых координатах уравнение (92.14) приводится к (92!3), и мы устанавливаем, что вектор 6 есть го1 )с.
Поскольку а го( Р птсг' = — е')АР; ап; и компоненты единичного касательного вектора ) являются произвольными г(хг/Ж, поскольку мы можем представить уравнение (92.!2) как Рп Ап, г(п = ) Р, — г(з. и ИА Г с(х' г(з с (92.! 5) Интеграл ) Р;г(х называется циркуляцией Р по контуру С. с Задачи 1. Доказать, что ого' до - ~ Что дт, где о, до/дх' неразрывна на Х и принадлежит классу С' в т.
2. Показать, что: (в) В плоских полярных координатах с квадратичной формой дзз (с(г)з+ гз(дв)з, о!т Р 1 г д(гР,) дРе1 г! дг дВ~' где Е, и РŠ— физическое коипонеиты вектора Р, т. е. Р= Е,г, + РвВь где г, и 8, — единичные векторы. (а) В цилиндрических координатах с квадратичной формой дзз (дг)с+ ге(да)т+ (дз)з, 1 д (гРг) ! дЕе дрс д!и Р + — — + — *, г дг г дВ да ' до! 1 ~ дг ) ! д'о д'о 7'о =— + + дг гз дВ' дз' ' где Р= Р,г1+ Рва, + Е,ио а гь Вь а, — единичные векторы, так что Ро Ее и Рз — физические компоненты Р.
Анялитическля мехлникл (гл. 1ч раб (в) В сферических координатах с квадратичной формой дзз =- (г(г) з + г' (дО) з ф гз зги' О (а р)з, ! д (г'Р,) ! д (з(п ОРе) 1 дР, дЬР— дг гз(пО дО гзгпО дгр ' + + д("ф а(""О43 гз дг гзяпО дО + гз згп' О дфз ' где физические компоненты вектора Р— Ро Ре, Рв, так что Р = ггРг-';О,Ре + фР, м гь О, и фг — еднничныс векторы. 3.
Показать, что в ортогональной криволинейнзй системе Х )Г— д дх' д азз Ук —.. а, д дхз г~ изз Рз го! Р= ! Ыггкззягзз УО„Г 5. Установить, что при соответствуюших ограничениях неразрывности вихрь градиента вектора обрашзется тождественно в нуль, 6. В ортогональных криволинейных координатах ! ! и =и =О, гчь) и Лг = —, и —, и — зги г/ ' гг йгг ' гг йзз ' зз йзз Гели положить аз =ег(г(х г фег(ах ) +ез(ах ), так что дгг ег, дзг е„, па гг гг г зг К, =е', тогда (а) )П, lг) =О, ! . !=о, г, й й различны, <й! Ц де, де, ( г ) д)оде! (гй г)= — )Н д=е —, )гй !)=е —, ( з= дхг дхг ) П ) дхг )) ег дег ) г) д(оее, — — ! ! = (оез суммирования); ) н) (е,) а..Р ) н) ахг $93. Теорема Гаусса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
