1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Это позволит нам представить интеграл действия (84.7) в таком виде: х А= ~ У 2т(Ь вЂ” У) д11х'х' с(и, х, (84.8) и так как пределы интегрирования в (84.8) фиксированы, мы видим, что определение траектории равносильно нахождению геодезических линий в трехмерном римановом многообразии, элемент дуги которого выражается формулой 1(Зз = 2т (Ь вЂ” У) п11 1Тх' г(х'. Если мы сформулируем уравнения Эйлера Р— — Р, =О, х х Ли х' (84.9) где Р= У 2п1(Ь вЂ” У)д„х' х', и примем уравнение (84.6) в виде / х1д гх' х' йг= в' йи, мы придем к искомым уравнениям (84.5), Из формул (84.8) и (84.9) мы убеждаемся, что действие равно численно длине кривой в римановом многообразии с метрическими коэффициентами Ьн = 2т(Ь вЂ” У) д11 и что траектории в Ех соответствуют геодезическим линиям в римановом пространстве, метризованном по формуле аз = = Ь1эдхЧХЬ Эта геометризация динамики оказала далеко идущие воздействия на развитие релятивистской динамики, $ 85.
Системы частиц. Обобщенные координаты )хгы уже обратили внимание (в 5 77) на то, что переход от механики одной-единственной частицы к механике материальных тел может быть осуществлен путем введения некоторых гипотез, относящихся к природе стесняющих сил — связей, воздействующих на частицы, составляющие материальное тело. В некоторых динамических задачах изменение формы тела бывает столь незначительным, что вполне оправданной можно принять гипотезу, согласно которой частицы остаются постоянно на фиксированных расстояниях одна от другой. Такое до- $ %1 СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ 25! пущение приводит к динамике твердых тел.
Если материальное тело испытывает деформации, которыми недопустимо пренебре. гать, мы можем постулировать с различной степенью приближения к реальности природу связывающих принуждающих сил и прийти таким образом к динамике упругих тел, идеальных жидкостей, вязкоупругих сил и т. п, Допущения, касающиеся природы этих сил, позволяют нам характеризовать положения большого числа материальных точек при помощи сравнительно небольшого числа параметров.
Так, например, тонкий жесткий стержень длиной 1, движущийся в пространстве, требует лишь пяти параметров для определения своего положения. Такими параметрами могут служить, например, пространственные координаты центра массы и два направления одного из его концов относительно центра массы. Выбор описываемых параметров не является однозначным, и они ие обязательно должны быть линейными размерами. Бусинка, скользящая по искривленной проволоке, требует всего лишь единственного параметра для описания своего местоположения, например расстояния от некоторой фиксированной точки проволоки; положение частицы, движущейся по поверхности, указывается однозначно парой гауссовых координат.
Какова бы ни была природа параметров, во всех случаях они называются обобщенными координатами. Очевидно, что если описание динамической системы должно быть полным, обобщенные координаты должны быть функционально связаны с пространственными координатамн частиц, образующих систему. Пусть л( частиц образуют систему, а х'(и) (1 = 1, 2, 3), (а = 1, 2,, л1) — координаты положений этих частиц, отнесенных к некоторой условной системе отсчета в Е,.
Система )т' свободных частиц описывается 3)У параметрами. Если частицы каким-либо образом стеснены связями, то между их координатами х*'(а) должны существовать определенные соотно. шения; предположим, что имеется т таких независимых соотношений 1 (хил хпн х,; х„,, хкэ х,; ...; х Р х'-,, х',)=О (85.1) (1 = 1, 2, ..., г). Если эти т уравнений связей (83.1) могут быть решены для некоторых т координат в функциях от 3)у — г остальных координат, то последние можно будет рассматривать как независимые обобщенные координаты ф.
Удобнее, однако, принять, что каждая из Зл) координат выразится в зависимости от 381 — т ~ и независимых переменных д', и написать ЗУ уравнений «1М х1М(Д > ° ° ° У 9 э т)1 (85,2) 282 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА [ГЛ. !Ч где мы ввели как параметр время г, которое может войти в задачу явным образом, если мы имеем дело с подвижными связями'). Если г не входит явным образом в уравнения (85.2), то рассматриваемая динамическая система называется натуральной системой. Предположим, что функции х,'„= хю(д, г) принадлежат классу Сз в области определения переменных д! и г и якобиаиматрица имеет ранг п [сы. уравнения (75.5)].
Скорости частиц определяются путем дифференцирования уравнений (85.2) по времени. Таким путем получаем (85.3) Производные д' обобщенных координат д' по времени мы будем называть обобщенными скоростями. Иногда, по соображениям симметрии, бывает желательно ввести некоторое количество добавочных координат д' и описать систему с помощью й ) п координат д[, ..., дь. В этих условиях возникнут некоторые соотношения вида ):1 (д1 да г) () (85.4) причем величины д', а следовательно, и д! перестают быть независимыми. Возникнут соотношения между д типа д)Ч 1 дг'г —.д'+ — =О, дд! д! где )! — дифференцируемые функции. Из того, что уравнения (85.5) были получены путем дифференцирования уравнений (85.4), следует, что они поддаются интегрированию и могут быть выведены из уравнений (85.4) и использованы для исключения избыточных координат.
В некоторых задачах, однако, возникают функциональные соотношения неинтегрируемого типа ') Р(д', д', ..., да; д', ..., д', ()=О ()'=(, 2, ..., пт), (85,6) 1) Например, бусинка, скользящая по проволоке, которая сама движется с указанной скоростью. з) Биллиардный шар, катящийся и вращающийся по шероховатой поверхности стола, — пример описываемой ситуации. Для того чтобы установить положение шара, необходимо указать пить обобщенных координат; две пз них могут определять положение его центра, а трн остальных — определязь углы, описывающие ориентацию шара относительно его центра. Так как поверхность стола шероховата, шар ие может скользить, так что оба компонента скорогтн точки контакта должны обратиться в нуль. Это дает два условия связей типа (88.8) с комцонентамц скорости.
Они не поддаются витегрнрованию, так как прц любом положении центра ориентация шара может измениться без нару!пения связей, хгхвнепня лггпокх з ововшгппых коошти~ытах 2зз т. е. такие, что из них представится невозможным вывести дифференцируемые уравнения с решениями типа (85А). Поведение системы в подобных условиях не поддается описанию с поыогцыо меньшего чем й количества координат, так что все Й координат получаются независимыми.
Если в рассматриваемой паин задаче мы наталкиваемся на неинтегрируемые соотноше. нпя (85.6), то мы говорим в таких случаях, что заданная система имеет й — ~п степеней свободы, где ьп — число независимых неинтегрнруемых соотношений (85.6) и я — число независимых координат. Динами ческие системы, содержащие неип. тсгрируемые соотношения (85.6), называются нееолономнымп, в отличие от гололожных систем, в которых число степеней свободы равно числу независимых обобщенных координат. Иными слонами, голономная система характеризуется тем, что в ией отсутствуют неинтегрируемые соотношения, заключающие в себе обобщенные скорости. В следующем параграфе мы выведем уравнение Лагранжа для голономной системы, а в $ 88 рассмотрим вкратце один важный клас неголономных систем, часто встречающихся в приложениях.
6 86. Уравнения Лагранжа в обобп,енных координатах Ради конкретности изложения определения в э 85 вводились для систем, состоявших из конечного, но может быть большого числа частиц. Зги определения легко распространить и в применениях к сплошным (непрерывным) материальным телам, точки которых отмечаются координатами х", отнесенными к некоторой системе отсчета Х. Частицы сплошного материального тела подвергаются воздействию различного рода связей и мы будем считать в дальнейшем в этой главе, что рассматриваемые нами тела будут жесткими, так что материальные точки нх будут оставаться на неизменных расстояниях одна от другой.
Если точки тела определяются однозначно конечным числом обобщенных коог,динат д', мы запишем это выражением х' = х'(д', ..., д", 1) (г = 1, 2, 3) н примем, как в 6 85, что функции х'(д,)) принадлежат классу С'. Скорость х" произвольной точки тела определяется уравнением .г дх~ йу~ дх' дх' ы дх' х' = —.
— + — = —. ф + — (1 = 1, ..., и), дчт ж д~ дду дг где д' — обобщенные скорости. а54 АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА !ГЛ. !Ч Пусть рассматриваемая нами система натуральна, голономна и обладает п степенями свободы так, что соотношения Х1 = х1 (91, „Фа) (86.!) заключают в себе п независимых параметров 4!!. Скорости х" в этом случае заданы выражениями (см.
(80.11)) дкк Ы к'= —. д! (г = 1, 2, 3; ! = 1, 2, ..., п), (86.2) дд где д! — координаты, подвергающиеся любому допустимому преобразованию да=4А(д1, ..., да) (й=1, (86.3) в соответствии с контравариантиым законом. Кинетическая энергия системы определяется выражением Т = 2 ~~~ !и!а!д,ах(а!х~о! (г, з = 1, 2, 3), (86,4) а где т — масса частицы, находящейся в точке к", а суммирование (или интегрирование) распространяется на всю область, заполненную материальным телом. Обозначения д„в (86.4)— компоненты метрического тензора, связанные с координатной системой Х, введенной в Еа.
Если мы введем в (86.4) значения У из (86.2), то получим ') дд! дд! где дк1 д11 а1!.м! У, то„—.— дд! д41 а Поскольку (г, з=1, 2, 3), (4, 1=1, ..., и). Т= о п1!1) Ч 1 ° ! (86.5) представляет собой инвариант, а величины а!! симметричны, заключаем, что ам — компоненты коварпантного тензора второго ранга относительно класса допускаемых преобразований (86.3) обобшенных координат. Отметим, что поскольку кинетическая энергия Т представляет собой положительную форму в скоростях ф1, )а!!) > О, и мы можем построить обратный тензор а!!.
1) для упро1пеиия ваписи мы опускаем яижпие индексы а в члеиах, предваряемых символом «Э. а а Ва) УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА В ОВОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ Яа Если мы проведем вычисление, во всех деталях тождественное с выполненным в $ 79 и с использованием выражения кинетической энергии в виде (86.5), то получим формулу Г Г1 где символы Кристоффеля 1. т строятся из тензора ам.
Обо- .'1(А3 значим выражение, появляющееся в скобках правой части уравнения (86.6), через (86.6) ~'= рн+,Яй'ч' где а~ = дна' — ускорение точки Р(х). С другой стороны, второй закон Ньютона дает Гпа, = Р„ где Р,— компоненты силы Г, действующей на частицу, находящуюся в точке Р(х). Из (86.9) следует, что да' де' уравнения (86.8) могут быть поэтому записаны в виде а Сравнив (86.7) с (86.!О), заключаем, что Я, = '~Є— '"'., дч' а где вектор ЯГ называется обоби(анной силой. (86.10) и преобразуем уравнение (86.6) к виду — ( — ) — — аЯ = Щ (1=1, 2, ..., а). (86,7) д Г дт Т дт С Ж (,дд~ ) дд~ Выражение в левой части уравнения (86.7) также можно вычислить на основе формулы (86.4) н установления зависимости переменных х* от параметров д'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
