1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Но в силу (78.3) выражение в скобках в правой части представляет собой ускорение а', а поскольку типа~ =- та9 =- Рь мы вправе написать Уравнения (79.2) передают содержание второго закона Ньютона в форме, предложенной Лагранжем. Для консервативной системы Р9 = — дУ/дх9 и уравнения (79.2) преобразуются в (дТ~ дТ дУ (79.3) М ( дх~) дх~ дх' или (79.4) Вспомним, что потенциальная энергия (Т является функцией одних лишь координат х'; если поэтому ввести функцию Лагранжа /.мх Т вЂ” У, то уравнени|о (79.4) можно будет придать вид и /дГ,1 дт. — ( — )- — =о. (79,5) ~й (, дхч / дх1 В применении уравнений Лагранжа к частным задачам чаще приходится иметь дело с 49изическими компонентами Р' вектора силы Г, чем с тензорными компонентами г*'.
Вспомним, что физические компоненты Г являются коэффициентами в выражении Р =Р'ео АНАЛитичвскАя мехлыНКА )гл. Ту где е; — единичные векторы, совпадающие по направлениям с базпснымн векторами а; (см. $ 48), Так как )с = Р'ао а аз а/ = дз/, то физические компоненты Рг связаны с тензорными компонентами эсч формулой гз= Зlйпги (без суммирования индексов). Задачи Ь Показать, что ковариантные компоненты вектора ускорения в сферн.
ческой координатной системе дзэ (дх')э + (хгдхэ)з + (х')т Мп' хт(дл')э опре- деляются следщощими выражениями; а, = х' — х' (х')' — х' (хз Мп х')', аз = — [(х')' х'] — (х')' э|п хэ соз х' (х')э, д/ а = — [(х Мпх')'х']. д з —,// Вывести эти выражения нз формулы (78.3), а также из уравнения Лагранжа щ / дз '1э глуп (79,2). Указание.
Р гаа., Т = — [ — ~ хгхI. и 2[,д/~ 2 2. Использовать уравнения Лагранжа в доказательстве того, что если частица не подвергается действию сил, то ее траектория выражается уравне. вием у' - а'/+ Ь', где а' и Э' — постоянные величины, а у' — прямоугольные декартовы координаты. 3. Найти с помощью уравнений Лагранжа траекторию частицы, движу! щейся в однородном гравитационном поле. Указание, Т = — глу'уг и У щууэ, 2 где у' — нормаль к плоскости Земли. 4. Вывести из уравнений Ньютона уравнение энергии Т + )' - А, где А— постоянная величина.
Указание. Показать, что дТ/д/ = гла аз = — дУ/д/ $. Доказать, что если частица движется таким образом, что ее скорость постоянна по величине, то ее вектор ускорения либо ортогонален к вектору скорости, либо равен нулю. Указание, Вычислить внутренние производные от оз доопой д дТ дТ 6. Мы показали в э 79, что — — — — является ковариантным вектод/ дхи дхг ром гз в тех случаях, когда Т(х,х) — инвариант, определяемый формулой (79,!). Доказать в более обгцел~ плане, что если [г(х,х) инвариант, то как д дат д)У дйу/дх', так и — — — — — ковариантные векторы. Указание.
Пусть д/. дха дх х' х'(д', дэ, уз) — допускаемое преобразование координат. Вычислить Х', по. казать, что дх'/ддг = дх'/ду' и заметить, что инвариантность )У(х,х), требует, чтобы 97(х, х) = аг[х(у), х (у)] ж~ Ф'(у,ф). й 80. Применения уравнений Лагранжа В качестве иллюстрации к использованию 'уравнений Лагранжа в вычислении траекторий рассьютрим несколько примеров, включающих важные случаи движения частиц по гладким кривым и поверхностям. 233 ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА % во! ул 0 -г 0 ув так что траектория определяется уравнениями у' = а'/+ в' (а = 1, 2), в л „/5+а/Ц д 2 Эта траектория, очевидно, — парабола с осью, направленной параллельно оси у'.
3, Движение частицы по кривой. Пусть частица вынуждена двигаться по кривой С, уравнения которой имеют вид х' = х' (з) (1 = 1, 2, 3), (80.2) где 5 — параметр дупл. Предположим, что С обладает непрерывно вращающейся касательной такой, что х'(в) принадлежит классу С'. Компоненты о' вектора о скорости частицы выражаются производными о = — = — — =оЛ, дх дх дв Щ дз Ф (80.3) где Лг = в(хл/дз — компоненты единичного вектора, касательного к С, а о = Б/г(/ — величвна о. Компоненты ал вектора ускорения а определяются. путем вычисления внутренней производной (80.3) по л: до с АЛ' а = — „, Л+о —. аг ' где бо/б/ = г(о/агй поскольку о — скаляр.
Но ахл длл дв дхг — = — — = о — = ох155 35 дг йв (80.8) 1, Свободно движуи(аяся частица. Если частица не подвергается действию сил, правая часть уравнения (79.2) обращается в нуль, и мы получаем — ( — )- — =о. д г дт л дт (80.1) ги дхл дх' Если в избранной системе отсчета координаты хл прямоугольные декартовы, то Т = (т/2) улу', и тогда уравнение (80.1) даст плут = О, Интегрирование этого уравнения дает у = ал/+ Ьл, т.
е. уравнение прямой линии. 2. Посгояглнве гравллгационное поле. На этот раз мы опять принимаем декартову координатную систему, в которой ось у' нормальна к плоскости Земли. Потенциал постоянного гравитационного поля (Г = пгдув, если за положительное направление оси у' принять направление вверх. В этом случае уравнения (79.2) дают ~гл. гу АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 234 — здесь мы привлекли формулу Френе бд' — =х)в, х>0, (60. Ц определяющую кривизну х и главный нормальный вектор 4«.
Производя подстановку из (80.5) в (80.4), получаем а' = — уь'+ хам, М (80.6) ') Это равносильно утверждению, что сила трения равна нулю. Термин «гладкнй», употребляемый в механике, имеет иной смысл, чем в геометрии, где «гладкая кривая» обозначает кривую с непрерывно вращающейся касательной. т. е. формулу, констатирующую, что вектор ускорения а лежит в оскулирующей плоскости кривой. Кроме того„компонент в касательном направлении равен темпу изменения скорости в то время как компонент в а направлении главной пор»ее мали равен о9)т, где Й = еч = 1/х — радиус кривизны С. 'лр Сила г' = та, действующая на частицу массы т, которая движется по кривой 1 С, определяется формулой ! тя р' = т — Х' + тпхптпч (80.7) ш ле Следует заметить, что Г'— результирующая всех внешних сил, действующих на частицу, и потому г' включает реакцию хт кривой на Рис.
З4. частицу. Поскольку Г ле- жит в соприкасающейся плоскости кривой, компомент всех внешних сил, нормальных к этой плоскости, равен нулю. Это условие позволяет нам вычислить реакцию )т в общем случае. В механике кривая С называется гладкой, если реакция хт нормальна ') к С, т. е. если )с'Ц = О. Если хт = О, кривая С называется натуральной (естественной) траекторией частицы. В качестве иллюстрации рассмотрим шарик массы т, сколь'зящий под действием силы тяжести по гладкой кривой С, лежа шей в вертикальной плоскости У'У' (рис.
34). Сила г, действующая на т, равна Г=тй'+лг, ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА 235 где Ю вЂ” давление, производимое кривой на частицу, а тй'— сила тяжести. Так как кривая — гладкая, то !1 нормальна к С. Если а в угол между направлением /4 и положительным направлением оси у', то компоненты Г в направлениях касательной А и главной нормали и равны Р!А! = — туз!Па, Р!Ю вЂ” тесова+ !1. Опираясь на (80.7), заключаем: т — = — ту з!п и, тказ = — тд соз а + !7. (80,8) ди Ж откуда — тп' = — тду'+ сопз1. ! 2 (80.9) Так как в этом случае компонент реакции )1 в направлении движения равен нулю, мы могли бы записать уравнение (80,9) непосредственно из уравнения энергии Т+ У'= сопз1.
Уравнение (80.9) определяет скорость о вдоль С в функции от уз, Второе уравнение в (80.8) позволит тогда определить !1 как функцию кривизны н. Если кривая негладкая, направление реакции )1 уже не будет нормальным к С, а угол а будет зависеть от коэффициента трения. Как конкретный пример рассмотрим частицу массы т, движущуюся под воздействием силы тяжести по гладкой циклоиде: у' = а (Π— з!п О), -и<8<, (а) уз=а(1+созО), как это показано на рис. 35. В таком случае первое из уравнений (80.7) даст ~РА ау1 т — = — ту —, к!2 иу (б) где з = ! )/(г!у')'+(Иу')'= а ~ )/2(! — сов 8) НО = 0 о в ( в! 2а~ з(п — Ы8=4а!1 — соз — /. 2 О Но соза=г!у'/ГЬ, з!Па=г(у'/~!з и ай=(г!п/г(з)(ЫЕ/й). Поэтому первое из уравнений (80.8) дает НР ау' то — = — тф' —, ЕА ИА ' АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА ~гл.
Са 236 ,В Так как соня — = — (1+ сов 0), то, учтя второе из уравнений (а), выведем (л — 4а)' Ва Соответственно (б) даст уравнение З+ — З=дг, 4а общее решение которого имеет вид з = с, соз(1/д/4ат + с,)+ 4а. (в) Постоянные интегрирования с, и сз определятся из начального положения и начальной скорости и на циклоиде. Из (в) ясно, что период движения не зависит от амплитуды сь а равен 2гт/)/ф4а. Этот факт был открыт Х. Гюйгенсом около уа Рис.
85. 300 лет тому назад. Гюйгенс предложил применение циклоидального маятника в устройстве изохронных часов. Вычисления, основанные на применении второго уравнения (80.8), показыВаЮт, Чта гт = 2ИАгСОЗа. Задачи И Вывести дифференциальные уравнения для простого маятника длиной ! и воквзвть, что для малых колебаний период равен 2иФ ад. 2. Вывести уравнения движения для чвстицы, движущейся под воздей. сгнием силы тяжести по гладкой винтовой линии: у'=асеев, у' аззпй, у' АВ.
Обратить внимание нв то, что поскольку винтовая линия гладкая, реакция й нормальна к винтовой ливии, и потому компонент результирующей силы г' в направлении касательной равен компоненту гравитационной силы лгд в том же направлении. Последний компонент может быть вычислен нз грввитвциои- 4 м) ПРПИВ1!Г1Н1П ЪРЛВ!!ШЦ1П ЛЛГРЛ1ИСЛ азу и пусть частица массы т вынуждена двигаться по 5 под действием силы и' Сила Ь вЂ” результирующая всех внегпних снл, действуюгцих на частицу, и потому включающая также реакцию )с поверхности на частицу. Если поверхность гладкая, 14 нормальна к 5 и представляет собой давление, вынуждающее частицу оставаться на 5, Пространственные компоненты о' вектора скорости тг частицы связаны с поверхностными компонентами вв формулой' ) !гх дх ди в а (с! ' 2)' див л! или о'=х!оо а (80.
11) ГДЕ Оо = 1!о. Ускорение аз =бег/Ьг; отсюда уравнение (80.1!) дает бе~ бхо !1! хг 1 а оа а или О Х!Ое 1 Х1 дааа а а, (1 (80. 12) где па — — Ьоа(Ь( Если воспользоваться формулой Гаусса хг =Ь, и', уравнение (80.12) примет вид о' = хго'-(-Ь о«ойпз а аа [67.7] (80, 13) Таким образок!, о =-хоп +Ьаро Л Л и 1 1 а яаа! а так как нормальная кривизна мы)=Ь, Л Л, то мы получим а аг = х'а'+ отн и!. а "(л) ') См. урввнение (64.5), Чптэтещо следует остерегаться смешинвть бза зпспыс векторы а, использованные в главе П!, с компонентзлщ )скорення ае, испол!,зовапиыми в этом пврзгрвфе. ного потенциале У = л1дуз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
