1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. е„ьр'ЧА = Х, з! п 9, (71.9) где 9 — угол между и и п. Умножая (71.9) на х, находим еыАх!А Ч = ~;з!Па, / А откуда после подстановки нз (71.7) формула дает епА (Ь й 1~и~ + хеЧ~) и = Х, з!и 9. Но ец,птп =О, а ВИАЧ'п~= — Ц в силу (71.8), откуда заключаем, что х = — хз!П9. (71. 10) С другой стороны, если образовать скалярное произведение двух членов' уравнения (71.7) с а, н заметить, что идА'=сов 9, то получим з е = Ь„а!.'!.з. (71.11) Инвариант в б айайз в (7!.11) принимает одно и то же значение для всех кривых на 5 с постоянным касательным вектором А в Р.
В частности, он приобретает зто значение для кривой, образующейся в пересечении нормальной плоскости, содержащей и и !. Но для каждого сечения нормальной плоскости угол 9 равен либо нулю, либо и радианам, так что для нормального плоского сечения хсозй равно либо х, либо — х; так как входящий в правую часть уравнения (71.11) член является ннварнантом, то значение произведения х сов 9 для любой кривой С, касательной к!, где п' — единичная нормаль к поверхности 5. Формула (71.7) констатирует, что главная нормаль !А к С лежит в плоскости векторов и и Ч. Так как п, Ч н ) ортонормированы, а и Х Ч = ),, то геометгия 1гл, гп равно кривизне х,ю нормального сечения в направлении Л.
Эта кривизна хьн называется нормальной кривизной поверхности 5 в направлении Л. Мы можем поэтому переписать (7!,11) в виде хьн =ЬааЛ Л, а (71. 12) где х~ ~ = хсозО. Соответственно уравнению (71.7) можно придать вид хп' = х ьоп + х т!'. /с -ь йы! соз О. Если 5 — сфера, то каждое ее нормальное сечение является большим кругом сферы, и Р1к. 30.
если С вЂ” какая-либо проведенная на сфере окружность, то полученный только что результат становится очевидным из элементарных геометрических соображений (рис. 30), Если вспомнить, что с/э' = а ас/иас/иа и аиа/с(э = Л", то мы убедимся, что формулу (71.12) можно привести к виду аа Ьа йиа„иа у хы> = аа йище йиа зг (71.13) Заметим, что если поверхность является плоскостью, то нормальная кривизна ее х~ю = О во всех точках плоскости, если же она сфера, то х< > = 1//(, где И вЂ” радиус сферы. Учитывая это, заключаем из (71.13), что для плоскости Ь„а = О и для сферы Ьаайиадиа = (1//с)ааас/иадиа, так что а„а = ЯЬаа во всех точках сферы. Это уравнение констатирует, что х~ ~ и хг являются компонентами вектора кривизны хи' в направлениях векторов и' и и'.
Результат, воплощенный в формуле (71.12)„может быть резюмировав следующей теоремой. Теорем а Мень е. Радиус кривизны /7 = 1/х произвольной кривой в любой заданной точке на поверхности равен произведению радиуса кривизны К<а>= =-1/хс„> соответствуюи(его нормального сечения в этой точке на косинус угла между нормалью к поверхности и главной нормалью к кривой. В символах мы выражаем это так: ГЯАВные криВизнь! пОВеРхности Задачи 1- Доказать, что геодезическаи кривизна нз и кривизна и некоторой поверхностной кривой С связаны формулой из и з)п 6, где 6 — угол между нормалью к поверхности и главной нормалью к С. 2. Исследовать поверхность прямого кругового конуса Я: у'=и'сони', у' и'вши', у'=и', и кривой С: и' = и, и' из на 3.
Написать уравнения кривой С по дуги, и показать с помощью (71.6), зультат формулой (71.10). 3. Показать, что параллели и' ности вращения типу и' а, ит з)п, где з — параметр что ик 'т~2)2а. Проверить зтат ре- сопз1 на достаточно гладкой поверх- у' = и' соз из, у' и' з!п из, у' = ! (и'), являются кривыми постоянной геодезической кривизны.
4. Кривая С иа поверхности 5 называется асимптотической линией, если Ьпр Л Л О вдоль С. Показать. что главная нормаль р к асимптотической и линии валяется касательной к о, а бинормаль т является нормалью к 5 5. Показать, что нормальные кривизны в направлениях координатных кривых выражаются формулами Ьп)ап и Ьм)птт. 6. Доказать теорему: если некоторая кривая — геодезическая на поверх. ности, то она либо прямая линия, либо ее главная нормаль ортогональпа к поверхности в каждой точке и обратно. й 72. Главные кривизны поверхности В этом параграфе мы займемся определением направлений Хп = ч(ии/с(з на поверхностях, нормальная кривизна которых х< 1, заданная формулой и(ю = о ЛпЛВ, [71,12) принимает экстремальное значение. Поскольку вектор Хп единичный, величину и( ! в (71,!2) следует максимизировать лишь под ограничительным условием а Ллр 1 (72.
1) Следуя обычной пронедуре определения ограниченных максимумов и минимумов, выводим необходимое условие для экстремума бчаЛР+ Ла.ВЛР - О, (72.2) где Л вЂ” множитель Лагранжа. Если уравнение (72.2) умножить на Хп и учесть соотношения (71.!2) и (72.1), то непосредственно получим: Л = — и( ). Таким образом, уравнение (72.2), опреде. ляющее направления экстремальных значений для н(„1, могут быть представлены условием (бар !с1и1г!ар) Л 0 (« — 1ч 2) (72.3) <гл. <и ГеОметРия 208 Система однородных уравнений (72.3) будет обладать нетри- виальными решениями для Ла единственно лишь в том случае, если значения х< ) окажутся корнями детерминантного уравнения 1Ь, — Оа, (=О. (72.4) Квадратное уравнение (72.4), будучи выписано в развернутой форме, примет вид б — аЬ О+ — =О, 2 аа Ь аа а где Ь = <Ь„а[ и а = <а 8).
Так как гауссова кривизна К задана выражением Ь К=— [70. 1] а средняа кривизна Н равна Н = — аааЬ < аа [70.2] убеждаемся, что уравнение (72.5) принимает вид 0' — 2 НО + К = О. (72.6) Корни 0 = хо) и О = ха) уравнения (72.6) называются главными кривизнами поверхности, а направления Ло) и Л<2), отвечающие этим экстремальным значениям х< ), являются главными направлениях)и на поверхностях,Мы предоставляем читателю показать, что эти направления вещественны.
Из (72.6) ясно, что главные кривизны х<)) и х<2) связаны со средней и гауссовой кривизнами формулами х<,) + х<2) 2Н, хо,х (72.7) Если первое из этих уравнений умножить на Л<2), второе на Л,"а и вычесть результаты, то мы получим (2<П) — 2<Ш) аааЛ;)Л<2) = О. (72.8) Если хш Ф ха), то уравнение (72.8) приведет нас к выводу ач)Л<пЛр) — — О, а (72.9) Из уравнения (72.3) следует, что главные направления определяются из формул (Ь, — хоа )Лап=О, ( а<) <2) аа) <2) $72! ГлАВные кРНВизны поВеРхности гласящему, что главные направления ортогональны. Если экстремальные значения нсо равны в данной точке, то любое направление является главным.
Мы можем теперь подытожить полученные результаты. Т е о р е м а. В казкдой точке поверхности существуют два взаимно ортогональных направления, для которых нормальная кривизна достигает своих экстремальных значений Кривая на поверхности, обладающая тем свойством, что линия, касательная к ней в любой точке, ориентирована по главному направлению, называется линией кривизньс, Дифференциальное уравнение, для которого линии кривизны на 5 являются интегральными кривыми, следует непосредственно из уравнений (72.3), Если мы исключим из этих уравнений ксн! и положим Э,а = див/йз, то найдем Ьа Ии Ьза Внэ а в,р она а,р внь или (Ьца„— Ьдтац) (ди')'+ (Ьциз, — Ь„а!,) ди' див+ + (Ь„а„— а„Ь„) (Йи')т = О. (72.10) В каждой точке 5, где либо Ь„айиос(иэ Ф О, либо Ь Вйи дир не пропорционально а„адиодир, уравнение (72.10) определяет два ортогональных направления — „„, =фо(и', из) (а=1, 2), (72.
11) которые совпадают с направлениями главных кривизн'). Каждое уравнение в (72.11) определяет семейство кривых на 5, сплошь покрывающих поверхность. Эти два семейства кривых ортогональны, и если их принять в качестве параметрической сетки на 5, то первая фундаментальная форма примет внд (дз)з а (дй!)а + а,з (дйт)а Прн этом уравнение (72.10) в координатной системе й' преобразуется в — б„ац (йй~)'+ (бцагц — бт ац) дй' дй'+ бмата (с!й')' = О, а его решениями будут и' = сонэ(, й' = сонэ!.
Если положить с(й! чь О, а ййз = О, мы увидим, что Ь„= О, так как ан мь О. Таким образом, необходимое условие для того, '! Мы нсключаем те точки на 5, в которых кы! = О нлн кц! = кш. Сн. заключительные замечания в й 7!. ГЕОМЕТРИЯ <ГЛ, и! 2!О чтобы сетка линий кривизны получилась ортогональной, гласит; а|э = Ь<д = О. Е1аоборот, если а<э = Ь<т = О, то (72,10) получает решения: и' = сопз(, и~ = сопз1, так что координатные линии становятся линиями кривизны.
Отсюда следует Т е о р е м а. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы координатная сетка на поверхности 5 (отличаюи<ейся от плоскости и от сферы) была сеткой линий кривизны, является выполнение требования, чтобы ам = Ьп = 0 во всех точках 3. Заметим, что для любой ортогональной сетки как на плоскости, так и на сфере ап = Ьы = О.
Формула (71.9) для нормальной кривизны н< |, если принятая координатная система является сеткой линий кривизны, принимает вид ьн (лд )|+ ьы (дд|)| <д) д (дд|)2 ! д (дд|)2 Если положить <!и<= О, йи'Ф 0 и йи'= О, йи<~ О, то получим Ь Ь ы х! = —, хэ=— до ' д|п для кривизны координатных линий и| = сопз! и иг = сопз!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
