1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Дна НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ т бб1 1ОЗ Образуем скалярное произведение йп . й' = —, — с(ио сгиб. ди дг дмв дпб (65. 4) Если при этом определить то скалярное произведение (64.5) выразится в более сжатой форме; с(п йт= — Ь, с(иог(ир, ар (65.5) ') Заметим, что векторное произведение А Х В зависит от длин векторов А и В и от угла между ними.
Если мы выберем прямоугольную декартову систему осей У так, чтобы векторы А и В лежали в плоскости У'Ук н А был бы направлен вдоль оси У', тогда декартовы компоненты А' вектора А будут иметь вид А' = А, А' = О, А' = О, компоненты же В В' В соз О, Б' = В а1п О, В' = О. Так как в системе У ииеет место равенство егзь е,п, то С~= емьАУВь = е;НАВ а|п О. Отсюда С~ О, Сл = О, Сз = АВ Мп О. Таким образом, С; определяют вектор С А зс В, нормальный к плоскости, определяемой через А и В, и равный т И. С.
Сокольккков причем левая его часть по свойству скалярных произведений векторов остается, очевидно, инвариантом, правая же часть в силу симметрии относительно а и р определит коэффициенты при с(и"г(ир как ковариантный тензор второго ранга. Квадратичная форма Я = Ь с(ио о(из, (65.6) как будет показано в дальнейшем, играет существенную роль в исследовании поверхностей в координатах окружающего пространства точно так же, как первая фундаментальная квадратичная форма .4 с(г и'т или Ф = а, г(ио г(из, выполняя эту роль в исследовании внутренних свойств поверхности.
Дифференциальная форма (65.6) была введена Гауссом н получила наименование второи фундаментальной квадратичной формы поверхности. Так как примененное выше обозначение для единичной нормали, несмотря на графическую наглядность, все же более громоздко в сравнении с тензорным обозначением, мы переведем теперь эту первоначальную определяющую формулу (65,2) на язык компонентов х,' базисных векторов и„. Обозначим контра- вариантные компоненты п через п' н заметим, что ковариантные компоненты п~ при этом выразятся') формулами е;;ААУВ" (65.7) ГЕОМЕТРИЯ 194 [ГЛ. РЛ н (см, Э 54) АВ з!п 6 = е, А'Ва. (65.8) Производя подстановки в (65.7) из (65.!) и (65.8), получаем (и!е,р — емехгхр) А'В = О, а поскольку это соотношение сохраняет силу для всех поверхностных векторов, заключаем, что (65.9) УмножаЯ (65.9) повсюдУ на иаа и замечаЯ, что е'Риаз = 2, находим искомый результат П вази Хг ХЕ 2 !гааз' (65.
! 0) й 66. Теизориые производные В $ 67 мы выведем вторую фундаментальную квадратичную форму (65.6) аналитически, операцией тензорного дифференцирования тензорных полей, являющихся функциями как поверхностных, так и пространственных координат. Плодотворная идея тензорного дифференцирования была введена А.
Дж. Мак-Коннелом, и мы будем близко следовать найденному изящному методу исследования поверхностей в этом н в нескольких дальнейших параграфах этой главы'). Рассмотрим кривую С, лежащую иа данной поверхности 3, и вектор А', определенный вдоль С. Если ! — параметр С, мы можем вычислить внутреннюю производную бА'15! вектора Аг, а именно (66, !) В формуле (66.!) символы Кристоффеля ( , ) относятся к прои(гй! страиственным координатам хз и составлены из метрических коэффициентов дм. Это указывается левым индексом-пристав. произведению АВ!з1п В!. Если А и  — поверхностные компоненты А и В, а р в таком случае АВ Мп О = вавА"В .
Этот результат следует непосредственно а из формулы для синуса угла между двумя векторами, приведенной в е 54. ') См, айсС о пи е11 А, з,, Аррнса1юпз о1 1пе аьзо!Ше о!1!егеп1!а! са1- сн!нз, 193!, главы Х!Ч вЂ” ХЧ! (имеется русский перевод, см. Библиографию), Из структуры этой формулы ясно, что пг — пространственный вектор, не зависящий от поверхностных координат. Это обстоятельство очевидно также и из чисто геометрических соображений. тензоРные пРопзводпые 195 кой д к символу. С другой стороны, если мы рассматриваем поверхностный вектор А', определенный вдоль той же самой кривой С, мы сможем образовать внутреннюю производную по переменным поверхности, а именно Га 1 В этом выражении символы Кристоффеля ~Р ~ сформированы .'46т 4' из метрических коэффициентов а з, соединенных с координатами и" гауссовой поверхности.
Геометрическая интерпретация этих формул не вызываез затруднений, если поля А' и .4" таковы, что 6А'/бг = О н 6А"/6~ = О. В первом уравнении векторы А' образуют параллельное поле относительно кривой С, рассматриваемой как пространственная кривая, между тем как уравнение 6Л"/61 = О определяег параллельное поле относительно кривой С, раггматриваемой как поверхностная кривая. Соответствующие формулы для внутренних производных ковариантных векторов А; и Л„ имеют вид 6А~ ЛА~ Г Ь 1 Вх) 61 Лг е'(1/)' Ь И (66.3) „„в Рассмотрим теперь тензорное поле Т„представляющее собой контравариантный вектор преобразования пространственных координат х' и ковариантный вектор преобразования поверхностных координат и". Примером такого рода поля может служить тензор х',=дх'/ди', введенный в 5 64.
Если Т,' определен для поверхностной кривой С и параметром С является /, то Т„'будет функцией С Введем параллельное векторное поле А; вдоль С, рассматриваемой нак пространственная кривая, и параллельное векторное поле В' вдоль С, рассматриваемой как поверхностная кривая, и образуем инвариант Ф(/) = Т~А В . Производная от Ф(/) по параметру 1 дается выражением сап ат~~ ЙА и — = — Л~В + Т,— В'+ Т .41— йс в'1 йЕ Ж (66.5) являющимся, очевидно, инвариантом как относительно пространственных, так и поверхностных координат. Но поскольку поля Аг(/) и В" (г) параллельны, ГЕОМЕТРИЯ (ГЛ И( (96 в силу чего (66.5) преобразуется в Так как это выражение — инвариант для произвольного выбора параллельных полей А( и В', правило частного гарантирует, что выражение в квадратных скобках в формуле (66.6) представляет собой теизор того же типа, что и Т,.
Мы назовем этот тензор, следуя Мак-Коннеллу, внутренней тенэорной производной от Т„ по параметру (, обозначив Если поле Т,' определено по всей поверхности 5, мы можем доказать, что, поскольку является тензориым полем, а йит(((( — произвольный поверхностный вектор (для произвольной кривой С), то выражение в квадратных скобках является тензором типа Т,т. Обозначаем его поэтому через (66.8) ди" е( ((( / ( ау ) и назовем Т,,„ тензорной производной от Т, но и, т Распространение этого определения на более сложные теизоры зависит, очевидно, от структуры формулы (66.8). Так, на( т пример, тензорная производная от Т,э по и примет вид Таз т — — — ",, + ( (Т'(зхт — ( > Тээ — < (Т ь.
(66,9) т Зау (,Ь) ( ) (р ) а Если поверхностные координаты некоторой точки Р на В геодезические, а пространственные — прямоугольные декартовы, то мр( видим, что в этой точке тензорные производные сводятся к обычным производным. Это позволяет нам заключить, что операции тензорного дифференцирования произведений и сумм подчиняются обычным правилам и что тензориые производные от й(ь а,в, еоэа еаа и связанные с ними тензоры обращаются в нуль.
В соответствии с этим они ведут себя в тензорном дифференцировании как постоянные величины, е ет] ВТОРАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ 197 й 67. Вторая фундаментальная форма поверхности Аппарат, построенный в предшествующем параграфе, позволит нам теперь получить легко и в самой общей форме важную группу формул, выводом которых мы обязаны Гауссу. С их помощью мы построим также и вторую фундаментальную квадратичную форму поверхности, с которой мы уже встретились в 3 65'). Начнем с вычисления тензорной производной тензора х„ представляющего компоненты поверхностного базисного вектора а„. Имеем х! р= а + ( ~х!ха а— ~ )х' (67,1) и отсюда выводим (67.
2) йс..х! х' = 0 ст а.з т Это — соотношение ортогональности, констатирующее, что х,' в является пространственным вектором, нормальным к поверхности и потому направленным по единичной нормали и'. Следовательно, здесь должна существовать группа функций Ьар, обладающих свойством (67. 7) Функции й„а — компоненты симметричного поверхностного тензора, а дифференциальная квадратичная форма зт = й„р с(й с(и" (67.8) — искомая вторая фундимзнтальная форма, ') Ср. М с С о пи е !1 А, а., Арр!!сапопа о! 1Ьс аьао1о!е Шиегеп!1а! са1си1оа, 1931, стр. 200. Ха,р=хр,а Поскольку тензорная производная от а„а обращается в нуль, получаем после дифференцирования соотношение а, =д! х!х1, (64.6] (67.3) Циклическая перестановка сс, (), у приводит нас к двум формулам (67.4) (67.5) Если теперь сложить (67.4) с (67.5) и вычесть из суммы (67.3), приняв во внимание соотношение симметрии (67.2), то мы получим (67.6) ГЕОМЕТРИЯ 1Гл.
и! 198 Для того чтобы доказать эквивалентность определений тензора Ь„В и данного в $ 66, а именно ! Г дп дг дп дг 1 2 (, диа диВ диз диа / дав заметим, что векторы и и а = дг1диа ортогональны, в силу чего дг дг и — =0 и п — =О. ди диВ Дифференцируя эти два скалярных произведения по ив и соот- ветственно по и", а затем складывая, получим 1гдп дг дп дг1 д'г 2 (, ди диВ диВ диа ) диа див Отсюда д'г Ь =и. диа диз (67.9) С другой стороны, — =а =Ьх', дг диа а ( а и следовательно, д г дха дэ| — =Ь,— + — х' = диа див див див а диВ дхг В диа див «1)й ) —  — — Ь~ ~ха' В+ ( ) ХВ). (67.10) Умножая уравнение (67.10) скалярно иа и и замечая, что векторы Ь,.х' =аВ и и ортогональны, находим с помощью формулы (67.7) д'г Ф Ь Х Х РП Ь диадиВ 4 аВ а В ~ аВ' Этим заканчивается доказательство эквивалентности двух определений второй фундаментальной квадратичной формы.
Уравнения (67.7) известны как форндлы Гаусса. Важное значение формы (67.8) в дифференциальной геометрии заключается где в заключительной операции мы используем формулу (46.4) для производной базисного вектора Ьь Если мы внесем в правую часть последнего равенства выражение из уравнения (67.1), то получим УСЛОВИЯ ИНТВГРИРУВМОСТИ 199 в том факте, что тензоры а В и Ь„В, удовлетворяющие уравне- ниям Гаусса и Кодацци (которые выводятся в 5 69), определяют поверхность с точностью до движения как твердого тела н про- странстве. Задачи 1. Показать, что Ь«В уиха, В" й е ямаха Вхтха. 2. Показать, что в обозначениях $ 65 1) да дг дв дг'1 Ь вЂ” — ( — — + — — ~ — уг п«ха, «В 2 (, дп«д«В д«е д«« / где и — единичная нормаль, а г — радиус-вектор точки на поверхности. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
