1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пользуясь п. символами, мы можем представить синус угла 9 между двумя единичными векторами 1Р, рв выражением а,рЛ'р =з(п9, а р количественно равным плошади параллелограмма, построенного на единичных векторах й" и р'. Полученный результат можно сформулировать следуюшим образом: необходимыл! и достаточным условием ортогоналоности двух поверхностных единичных векторов )ь и р" является !п ргп!хв) = 1. Задачи 1. Показать, что косинус угла 0 между координатными кривыми п' н пт на 3 равен соза=п|еггУп!готе. 2.
Найти элемент плошадн на поверхности сферы радиуса г, если уран. пенна поверхности заданы выраженнвмн у' -г Мп и' соз и', у' = г Мп и' а!п и', у' гсов и', где у' — ортогональные декартовы координаты, (Обратить внимание на то, что в данном случае ап = гг, ом = О, вез = газ!и' и',) й 55. Основные понятия вариационного исчисления Наиболее общеизвестной задачей внутренней геометрии по. верхностей является определение кривых наименьшей длины, соединяюших две заданные точки поверхности. Это задача геодезических линий. Она столь глубоко связана с формулировкой фундаментальных принципов оптики, динамики и механики де* формируемых сред, что ее желательно было бы рассмотреть в более широком плане, чем если бы ее значение исчерпывалось лишь геометрией поверхностей, вложенных в Ез.
С этой целью зм) основные понятия варнхцноиного нсчнслсния )63 мы привлекаем сюда некоторые понятия вариационного исчисления. Поскольку нам придется заняться изучением экстремальных свойств интегралов, напомним важнейшие сведения, относящиеся к максимумам и минимумам функций от нескольких независимых переменных. Пусть )(х', х', ..., х") — непрерывная функция я независимых переменных х*', определенных в ограниченной замкнутой области )т'.
Наша цель — найти такую точку Р(х) области )т', в которой 1 достигает экстремального значения в сравнении со значениями ) в ближайшей окрестности точки Р(х). Нет сомнения в том, что такое максимальное или минимальное значение функции ) существует, поскольку известно, что любая функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает своих максимального и минимального значений либо внутри, либо яа границе области' ).
Кроме того, если 1(х', ..., х") — дифференцируемая функция, то во внутренних точках области, где функция достигает своих экстремальных значений д)/дх' = О (~' = 1, 2, ..., я). Обращение в нуль производных от 1(х1, х', ..., х"), очевидно, не является достаточным условием для экстремума. Назовем точки области Р, в которых д))дх' обращается одновременно в нуль, стационарными точками функции 1(х', ..., х"). Определение стационарных точек функций рассматривается в курсе математического анализа, и мы полагаем, что наш читатель с этим вопросом близко знаком.
Вариационное исчисление точно так же имеет дело с определением экстремальных или стационарных значений некоторых выражений, но здесь имеется существенное рйзличие, заключающееся в том, что в вариационном исчислении мы имеем дело с экстремумами функционалов, а не функций от конечного числа переменных. Под функционалом мы понимаем функцию, зависящую от изменений одной нли нескольких функций, играющих роль аргументов, т.
е. независимых переменных. В качестве примера функционала рассмотрим формулу м з = ) )т 1+ (йу/йх)т йх, х, которой определяется длина плоской кривой у = у(х), соединяющей точки с абсцнссами хе и хь Здесь значение з зависит от поведения аргумента у(х) функционала, причем класс функций у(х), от которых зависит функционал в, остается в известной ') Это теорема Вейерштрасса. ГБОметРия ~гл. п~ мере произвольным. Так, например, можно представить себе задачу определения экстремумов з и в том случае, когда у(х)— произвольная непрерывная функция с кусочно-непрерывной первой производной.
При изучении экстремальных значений непрерывных функций ~(х', ..., х") от конечного числа независимых переменных х' мы должны указать область й, в которой определена функция ), в то время как при изучении экстремальных значений функционалов мы обязаны указать класс допускаемых функциональных аргументов. Например, мы можем потребовать, чтобы аргументы функционала обладали теми или иными свойствамн непрерывности, или вели себя тем или иным предписанным образом в конечных точках интервала и т.
п. Мы будем иметь дело с относительными экстремумами функционалов, т. е. экс. тремумами относительно некоторой «окрестности» аргументов функционала, для которой функционал принимает экстремальное значение, точно так же, как если бы мы имели дело с относительными максимумами и минимумами функций. Для того чтобы ввести точность в понятие окрестности функции, мы формулируем Оп ре дел ение. Функция д(х', хэ, ..., х") принадлежит 6- окрестности функции )(х', ..., х"), если выполняются условия; (~ — д! < й, й > О, для всех значений независимгях переменных х' хэ ..., х" внутри )с. С помощью этого определения мы сможем сформулировать основную задачу вариационного исчисления следующим образом; найти в классе допускаемых функциональных аргументов такие функции г", которые для рассматриваемого функционала дают значения, экстремальные по сравнению с функциями, принадлежасцими некоторой й-окрестности функции ).
Здесь уместно обратить внимание на трудности, присущие этой задаче. Мы уже заметили, что в теории максимумов и минимумов непрерывных функций нескольких независимых переменных существование экстремальных значений гарантируется теоремой Вейерштрасса. В задаче же вариационного исчисления может случиться, что, будучи сформулированной, пусть даже и без всяких внутренних противоречий, она окажется неразрешимой в силу ограничений„налагаемых на класс допускаемых ар гументов функционала. Положим, например, нам требуется соединить две заданные на оси Х точки кратчайшей кривой непрерывной кривизны так, чтобы кривая была ортогональна к оси Х в конечных точках. Эта задача неразрешима, так как длина каждой допускаемой кривой всегда больше, чем длина прямолинейного отрезка, соединяющего заданные точки.
Мы всегда можем найти кривую допускаемого типа, длина которой отли. чается от длины прямой линии сколь угодно мало, так что все- 6 66~ уРАВнение эялеРА В пРостеяшем случАе 1И гда существует низшая граница функционала, но зта низшая граница — не тот минимум, который должен быть достигнут кривой, принадлежащей к классу рассматриваемых.
Из приведенного примера явствует, что любая вариационпая задача ставит нас перед вопросом о возможности существования решения этой задачи. Чтобы вывести дифференциальные уравнения, из которых мы могли бы извлечь систему необходимых условий для экстремума функционала, нам потребуется следующая Фундаментальная лемма варна ционного исч и ел е н и я. Если интегрпл )' е(~) М (г) Ж, где М (1) — неарерывяая функция 1 в интервале (~(( '16, обрпщпется в нуль при люболг вьчборе функции В(() класса С" в интервале (, ~ 1 "~в которая удовлетворяет условию с((~) = е(16) = О, то в такал случае МЯ тождественно обращается в нуль в интервале 11 Ю4)т. Докажем лемму, допустив, что М(1) чв О, и придя к противоречию. Допустим, что М(П чь 0 в некоторой точке Р интервала (,<(<(, и что М(гу) >О. Так как М(~) непрерывна, существует число 6 > 0 такое, что М(~) ) 0 в интервале (У вЂ” 6, ('+ 6).
Определим функцию $(1) следующим образом: $(г) =— 0 в интервале 1~ <. ( <ть где т1 = у — 6, 6(1) = 0 в интервале тз (1 <(и где тз = У + 6, с(~) =— (~ — т~)6 "'(г — тз)6"эз в интервале т1 < ~ < ть Функция 6(1) принадлежит, конечно, классу С" в ((ь гт) и ~((,) = = ~(~6) = О. Для этой функции, однако, ь т) ~(~)м(()а= ~~(~)м(~)д()0, поскольку подынтегральное выражение всегда почожительно в т~ < ( < ть Таким образом, мы приходим к противоречию, и потому наше допущение того, что М(~) чь О, должно быть отвергнуто. $ 66.
Уравнение Эйлера в простейшем случае Простейшая задача вариационного исчисления заключается в определении экстремальных значений функционала т(х) = ) г" (1, х, х) гй, (56Д) с, 1гл, пт ГеОметРия 166 где г" (Г, х, х) — заданная вещественная функция вещественных аргументов 6 х и х = с(х/Ж. Положим, что эта функция Р(йх,х) принадлежит классу Ст в некоторой области )г плоскости (х,() для всех значений х'). Что касается класса допускаемых функций (х, У), то мы полагаем, что значения х(тг) и х((з) заданы заранее и что х(!) также принадлежит классу Са в интервале О ( 1"= (з Наша задача найти функцию х = У ((), (, (~ У ( 1м называемую экстрелалвю для интеграла (56.1), такую, чтобы У(х) для х = У(1) приняла экстремальное значение в сравнении с теми, которые даются функции У допускаемыми функциями в достаточно малой й-окрестности функции х = У(У).
Иными словами, допускаемые функции х(г) таковы, что (х(() — У(Г) 1< й для 1, ( М(е. Выведем теперь необходимое условие экстремума У. Рассмотрим функцию 5(г) класса С', удовлетворяющую условию $(О) = $((е) = О, и образуем ряд функций х (1) = х (Г) + ез (г):.ие х + бх, где в — произвольный численный параметр, близкий к нулю. Функции х'(() принимают, очевидно, те же значения в конечных точках интервала (Гь Гг), что и х((). Назовем х(У) варьируемыми функциялти, а величину ее(~) — = бх — вариицией функции х = У(У). Для достаточно малых значений в все варьируемые функции зч(Г) войдут в Й-окрестность экстремали х = )(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
