1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 26
Текст из файла (страница 26)
А'А)) Ед,.А4 — . д( П 41 Ь( дА4 дА) 2. Показать, что Аь 1 — АЛ, дхт дхг ЬА4 4 ЬВ 3, Показать, что — (Е..А Вт) у — В)+у А д( И Н Ьг Н Ь( 4. Показать, что если А; = 34)А', то Аг а =УгоА А. а д 5. Показать, что — (у. А)В() = А Вз+ А4В 6. Доказать, что если А — числовое значенае Аг, то А,у= 4, Г44/А. 7. Показать, что если у1 — прямоугольные декартовы координаты, то в В, дту4 ду1 ( у 1 дтуг дхт [ар, у) = — н 1 — 4. Зтн формулы часто дх дхв дхт (ай) дх дха ду зываются более удобными для вычисления символов Кристоффеля, чем опре- деляюшие формулы, приведенные в (31.1) и (31.2). 5 48. Параллельные векторные поля Рассмотрим кривую (рис. 20) С: х'=хз(1), (4(1~(з (4= Е2,3), располо>кенную в некоторой области пространства Ем и вектор А, берущий свое начало в точке Р кривой С, Положим, что функции хз(1) принадлежат классу С'.
Если мы построим в каждой точке С вектор, равный А по длине и ему параллельный, !Гл. еп ге о иетРи я 144 то получим то, что называется параллельным полем векторов на кривой С. Выясним необходимые и достаточные условия для того, чтобы векторное поле было параллельным. Если А — параллельное поле на С, то векторы А не изменяются вдоль кривой ни по длине, ни по направлению, и мы выразим это равенством г(А!г!! = О. Из него следует, если учесть (47.1), что компоненты А' вектора А удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 6А')6! = О, или в развернутом виде Š— +) ~ А' =О.
д е (48.1) И обратно, можно по- Р А А' казать, что каждое значе- гг иие системы (48.1) пора- а ждает параллельное векторное поле на С. Лействительно, из теории дифференциальных уравнений известно, что эта система трех уравнений первого порядка имеет единственное решение, если значения компонентов А' указаны в точке С. Но ранее нами было показано, что векторное поле, полученное построением семейства векторов фвксированных длин, параллельно заданному вектору, удовлетворяет этой системе уравнений. Отсюда следует, что любое решение уравнения (48.1), удовлетворяющее начальным условиям, образует параллельное векторное поле вдоль С.
Пусть А'(!) и В'(!) — два каких-либо решения системы (48.1). Мы убеждаемся в том, что длины векторов А' и В дей. ствительно не изменяются при перемещении по кривой, Кроме тога, угол О между векторами А' и В' остается постоянным, в то время как параметр ! изменяется, Чтобы это доказать, заметим, что ($ 44) А ° В= АВ сов 8 = дмА'В4, и если ймА''В! остается ьостоянным вдоль С, то г (лмА'В ) =О. Но йиА'В! — инвариант, а поскольку лм ведут себя как константы в процессе ковариантного дифференцирования, мы вправе заключить, что а г М г аву — „(диА В ) = — (д„А В ) = ди — В + диА— Поскольку, в соответствии с принятой нами гипотезой, поля А' и В' удовлетворяют уравнениям (48.!), 6А'/6! = О и 6В ~6г = О, 145 гаоматпня кгнвых в пгостгхпства заключаем, что й,,А1В1 постоянно вдоль кривой С.
Это следует непосредственно из того, что если А'=В', то величина доА'А1= = А', постоянна на С, а это приводит к выводу, что и О также константа. Понятие параллельного векторного поля вдоль кривой можно распространить и на определение параллельных векторных полей на трехмерных евклидовых многообразиях. Рассмотрим для этого некоторую точку Р(х) и вектор А, берущий начало в Р. Если мы посгроим в каждой точке многообразия вектор, равный А по длине и параллельный ему по направлению, то в пространстве трех измерений возникает параллельное векторное поле. Если провссти линию С через Р, то векторы А' поля, лежащего на С, образуют параллельное поле на С и, таким образом, будут удовлетворять уравнениям (48.)).
Но так как векторы А~ определены в каждой точке (х') многообразия, то, опираясь на выражение 0А' дА' 0х" М дхх Ж мы можем привести уравнения (48.!) к виду Это равенство должно оставаться верным для всех кривых, проходящих через Р, иными словами, для всех значений производной охх/с18 Таким образом, параллельное векторное поле в Ез удовлетворяет системе уравнений — +1 1А =О, или А ь=О.
дх" (ах) Обратное следует, как и ранее, из существования и единственности решений таких систем дифференциальных уравнений. Условие для параллельного перемещения ковариантвого вектора А~ имеет вид — — 1А„=О, или Аль=О. дА~ ( ау дх" И Это следует из равенства А, а=дгаА" справедливого во всех случаях, когда А, = йоА1. $49. Геометрия кривых в пространстве Пусть кривая С задана нам в пространстве Ез параметриче-. скими уравнениями С: х'=х'(~), 11(1(1з (г=(,2,3). ГЕОМЕТРИЯ !ГЛ. Н1 146 Квадрат длины ее элемента равен Нз' нн Ых' 4(х~, длина дуги з кривой С определяется интегралом (49.1) Ых' Рх! у ! — — и'й 44 (49.2) Переписав (49.!) в виде Рх Ых! 1=у ! —— Р'Х ЫХ (49.3) н положив г(х'/~(з = й', преобразуем (49.3) в ЩИТА =!.
(49. 4) дмХ'р' = 6. (49.6) Любой вектор и, удовлетворяющий уравнению (49.6), называется нормальным к С в точке Р, Вектор Х с компонентами Х' является, таким образом, единичным вектором. Кроме того, Х касателен к С, поскольку его компоненты Х' (если кривая С отнесена к прямоугольной декартовой координатной системе у) выразится производными х4= 4(у'/~Ь вЂ” эти последние как раз и передают направление косину- РФ! г кй сов касательного вектора к кривой С, На протяжении всего нашего изложения мы 4М будем принимать, что криг вая С принадлежит классу С' и, следовательно, во всех точках имеет непрерывно вращающуюся касательу ную. ряс. 2!.
Рассмотрим пару еди- ничных векторов Х и !х (с компонентами Х' и соответственно !х4) в каждой точке Р кривой С (рис. 21). Положим, что Х касается С в Р. Косинус угла 6 между Х и р дается формулой соз 6 л;4Х'!хг, (49.5) причем, если Х и !х взаимно перпендикулярны, то условие (49.5) требует, чтобы ГеомвтРия кРиВых В ВРостРАнстВВ $ 491 Если мы возьмем от квадратичного выражения (49.4) внутреннюю производную по параметру дуги 5 и вспомним, что д5! ведут себя в ковариантном дифференцировании подобно постоянным величинам, то получим ьл', ьл! а! — „Л +8 ! — „Л5=О. Поскольку д5! симметричен, полученный только что результат ьл! может быть записан в виде д!!Л вЂ” =О.
Мы видим, что векЬз ьл7 тор — либо обращается в нуль, либо нормален к С; в этом Ь5 последнем случае мы обозначим единичный вектор, параллелььл! ный —, через р! и запишем 1 ЬЛ!' 15 х ь5 (49,8) и мы вправе поступить с этой квадратичной формулой так же, как мы поступили с выражением а5!Л5Л! = 1, т.
е. вывести из пнх ьи! ! ! ьи! ортогональность векторов — и р, т. е. д5!р! — = О. Ь5 ' ' ' ЬР Дифференцируя внутренним образом соотношение ортого- нальности (49.6), получаем далее ЬЛ! ! ! Ь15! а„— „р'+ д,!Л' — „= О, или ьи! ьл' ! и Л Ь В5! Ь5 15 хв!!15 Р где мы воспользовались уравнением (49.7) и квадратичным со- отношением (49.8), В результате, таким образом, ! Ь'Р! й л — = — х, 5! (49.9) где х > О выбрана таким образом, чтобы 15! был единичным вектором.
Вектор р5, определенный формулой (49.7), называется главным нормальным вектором к кривой С в точке Р, а х — кривизной С в названной точке. Плоскость, определяемая касательным вектором Л н главным нормальным вектором р, называется соприкасающейся плоскостью по отношению к кривой С в точке Р. Так как 15 является единичным вектором в!!Р 15 = 1 ! / 148 ГЕОМЕТРИЯ (Гл. И1 поскольку же дггйз).1 = 1, мы вправе преобразовать (49.9) к виду йг11)гз ( йр + х) 1) = О, (49.10) то вектор я окажется ортогональным одновременно и к ), и к )й. Условимся выбрать знак для т таким образом„чтобы )/д еий),14(т" = 1, (49.! 1) т.
е. так, чтобы триада единичных векторов Х, р, и образовывала в каждой точке Р кривой С правую систему осей '). Из того, что е;;й — относительный тензор веса — ! (9 41), а д= ~ —.~ заключаем, что еи„— = 'уд еи„— абсолютный тен)ду' Р ! злу( зор, а потому левая часть равенства (49.!1) представляет собой инвариант. Алгоритм деления указывает, что тй в (49.11) определяется формулой ч = а'(~лз)з;, (49.!2) гДе )1з и )йз — ассоциативные вектоРы дг до и Уги)зо, а е — = =е' Ой 1 ий Уа — абсолютный тензор. Законность этого выражения следует из замечания, что (49.!2) удовлетворяет условиям ортогональностн дгфуу = О, йтн)41т1 = О, и уравнения (49.11), определяющего ориентацию единичного орта ч по отношению к )с и (й.
Число т, входящее в уравнение (49.!0), называется кручением кривой С в точке Р, вектор же т представляет собой бинормадь. Чтобы привести эти определения в соответствие с общепринятыми определениями главной нормали и кривизны, принятыйзп в элементарном векторном анализе, вспомним формулу (46.6): ') Из формул (4!.2] и из определения тройного скалярного произвсдения (й 45) следует формула р' у' )г „„г чг )„з 1 =="')й Х ч. Фа еззй),з)с чй = 1 й откуда обнаруживаем, что вектор — +х) ортогонален к йй бит йз Отсюда следует, что если мь1 определим единичный вектор т с компонентами уу формулой ФОРМУЛЫ СЕРРŠ— ФРЕНЕ 149 дА/дхс = Аа са„и заметим, что если векторное поле А определено на кривой С, то дд дхс а сгх' —,— =А, — а. ,! а' дхс дх ' сгх Воспользовавшись определением внутреннеи производной ~яа дх а дх = А с — „, упрощаем это выражение: ,11 д 1а — = — а. 11 а (49.13) Пусть т — радиус-вектор точки Р на С; тогда касательный вектор Х определится выражением сгт — =ла,=л, с15 и (49.!3) дает для вектора кривизны с12т дх ЬЛа — = — = — а = — с, асс д Ох а— (49.14) аЛ 1 ОЛа И= — — = — — а =раа к стх к дх где на последнем этапе мы учли формулу (49.7).
5 50, Формулы Серре — Френе В этом параграфе выводится группа трех замечательных формул, известных в основном как формулы Френе и описывающих в сжатом виде все существенные геометрические свойства пространственных кривых. Две из этих формул были уже выведены в $49. Приведем их здесь: — =хгс, х)0, ОЛс (50.1) — '=., —.л. 61с~ с с Ох (50.2) ') Поскольку Л ° Л 1, 1 ° дЛНГх = О где с в вектор, перпендикулярный ') к Л, С каждой точкой Р кривой С мы можем ассоциировать константу х, для которой с/х = 1х является единичным вектором. Равенства (49.14) перепишутся при этом в таком виде: ГЕОМЕТРИЯ !гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
