1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Ги Первая из них дает скорость вращения касательного вектора Л при движении точки по кривой, вторая — то же самое для главной нормали 1а. Третья формула бт! — = — т!! (50.3) к выводу которой мы сейчас переходим, дает скорость вращения бинормали при перемещении точки Р по кривой. Если мы применим операцию внутреннего дифференцирования к уравнению (49.12): оа = е!таЛ,.р, ! то гочучим бча !та бЛ! а!а, бр! — =в — р+е' Л бэ бэ ! ! бэ (50.4) гак как ковариантные производные от еа!" равны нулю '). Опуская индексы в (50.!) и (50.2), получаем — =хр! и —- бЛ! бр! бэ ба =то! — хЛ!; вводя эти значения в (50.4), находим — = в хр!р! + в Л! (тт! — хЛ!) те Лтт! = — тр, бча на.
ца на а поскольку ва!"ЛтЛ! = Етта1ьтр! = О, так как в!!а кососимметричны, а ра = ватаЛттл Таким образом, установлена справедливость третьей формулы Френе. Формулы (50.1) — (50.3), будучи представленными в развернутом виде в символах Кристоффеля, принимают вид лл! гт! таха оэх! ! ! ! !гх! мха — +! . 1Л вЂ” =кр или — +! . 1 — — =хи, !гаэ 1 тй 1 оа На — +с. тп — = — кЛ вЂ” ™), нр! ! !' 1 ! нх» (тй 1 (50.5) ') Поскольку а!уй в декартовой системе являются константами, то е!! О, причем это уравнение тензорное.
.! Если система уравнений (50.5) и не устанавливает положе ния кривой С в пространстве, то она все же определяет эту кривую однозначно при условии задания непрерывных функций х(з) и т(з) на кривой С. Мы закончим этот параграф примером, иллюстрирующим применение формул Френе. Рассмотрим кривую, определенную в цилиндрических координатах уравнениями л'=а, к'= О(з), ха=О. ФОРМУЛЫ СЕРРЕ-ФРЕНЕ Эта кривая — окружность радиуса а. Квадрат элемента дуги в цилиндрических координатах определяется уравнением г/н~ =(г(х') (-(х') фхз) +(г/хз)2, так что йц —— 1, Лгзз=(х')2, дзз — — 1, йц — — О, если 1~/„и легко установить, что не обращающиеся в нуль символы Кристоффеля сводятся к следующим: Компоненты вектора Л, касательного к окружности С, имеют вид Л = Ых'/г/з, так что Л' = О, Лз = дО/г/з, л' = О.
Так как Л вЂ” единичный вектор, то ггцЛгЛ1 =! во всех точках С, для чего тре- буется, чтобы ")'©'="М)'= Следовательно, (г/О/агу)2 = 1/а' и первая формула в (50.5) дает ни' = — + ( . ~ Лу — = О. нз ' )/й) лх Так как )2 — ЕДИнИчнЫй ВЕКтОр, йц)г')21 = 1, то отсюда следует, что н = 1/а, а )г' = — 1, р' = О, р' = О. Полностью аналогичное вычисление обнаруживает, что т = О, у' = О, уз = О, уз = 1.
Задачи 1. Найти кривизву и кручение в точке круговой винтовой лиани С, уравнения которой в цилиндрических координатах имеют вид С: х' = а, х'=О, х' АО. Показать, что касательный вектор Л в каждой точке С образует постоянный угол с направлением оси Х'. Исследовать также кривую С, представленную уравнениями в прямоугольных декартовых координатах ч' = а соз О, уз - а згн О, у' = йО.
2. Показать, что 62Л~ ак — — р + х (тт — кЛ'). 62' ах бр ат г 2 2 г Йн (,Ф )рг — — Л, 622 Нз Лх 62 г — = т (кЛг — тч') — — РЛ йз' ах 3. Учтя решение задачи 1, показать, что отношение кривизны к к «Руис" йию т остается постоянвой величиной. Показать на основании формул Френа, ГЕОМЕТРИЯ (гл. и! !52 где у' — ортогонавьные декартовы коордиввты, а з — параметр дуги, показать, что х' = [(у')"[' -» [(у')"[' -» [(у')"[' и что у)~ (уз) ( э) тхз (ф) (уэ) г (уз) (у1) ~ (уз) ( з)" 5.
Переписать уравнения задачи 2 в декартовых координатах у' и показать, что при т = 0 н х = сопи на кривой С уравнения этой кривой С при. нимают вид у' А' соэ ха+ В' Мп хэ+ С', где А'А' = В'Вэ = !'х', А'В' О. Таким образом, кривая С является окружностью. б. Пусть кривая С представляет собой цилиндрическую винтовую ливию, описываемую уравнениями у' = ~р (а), С; у'= эр(а), у' = Ьа, Ь сопз1, где а — параметр дуги директрисы кривой С' в плоскости у'уз, так что (г(а)з = (Ну')э + (г(ут)'.
Учтя, что (г(з)з = (1 + Ье)(ба)э, показать, что (э~ эу Ь зу 0 ф"' тР"' О 1 х' (1-1- Ье)з ' х= 1+ й' Установить, что т)х = й. ф 51. Уравнения прямой линии Пусть дано векторное поле А, определенное на кривой С в Ез при параметрическом задании С: С: х'=х'(з), з,(а~~аз (г=1, 2, 3), где з — параметр. Если векторное поле А! параллельно, то нз выкладок й 48 следует, что ОА'16з = О, нлн — ~А" — „=О, [51.1) что если т/х = сопз1, то в декартовых координатах Р' = с).' + Ь', где с и Ь'— константы.
Этот результат приводит к заключению, что к'Ь' — константа и что кривая, следовательно, образует постоянный угол с линиями направлений Ь'. Иными словами, кривая оказывается цилиндрической винтовой ли. иней. Эту теорему доказал Ж. Бертран. 4. Если кривая С описана уравнением С: у' - у'(.), кгивол!и!си!!ые ковали>ыты нх повеахности 153 З м1 Воспользуемся уравнением (51.1) для того, чтобы получить уравнения прямой линии в общих криволинейных координатах. Характеристическое свойство прямых линий заключается в том, что вектор )., касательный к прямой линии, направлен по прямой линни так, что вся совокупность касательных векторов 1.
образует параллельное векторное поле. Поле касательных векторов У = г(х!/г(з должно, таким образом, удовлетворять уравнению (51.1). Поэтому Искомое уравнение принимает вид (51.2) В декартовых координатах символы Кристоффеля обращаются в нуль, и мы приходим к знакомой форме дифференциальных уравнений прямых линий. От геометрической интерпретации кривизны к, как меры скорости вращения касательной к кривой, мы пришли к выводу, указывающему, что кривизна прямой линни равна нулю.
Это определение совпадает с первой нз формул Френе (50.1). й 52. Криволинейные координаты на поверхности В остающейся части этой главы мы займемся изучением свойств поверхностей, расположенных в трехмерном евклидовом пространстве. Мы покажем, что некоторые из этих свойств могут быть исследованы независимо от пространства, заключающего в себе эту изучаемую поверхность, и что эти свойства связаны со структурой дифференциальной квадратичной формы для элемента дуги кривой, проведенной па поверхности. Все такого рода свойства поверхностей называются внутренними свойствами, а геометрия, основанная на изучении дифференциальной квадратичной формы, называется внутренней геометрией поверхности.
Мы находим удобным относить пространство с расположенной в нем поверхностью к системе ортогональных декартовых осей У и рассматривать геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению Р(у', Ф, у')=б, (52.1) как аналитическое определение поверхности 5. Мы предполагаем, что только две из переменных у! в (52.1) являются независимыми н что указание, например, у! и у' в какой-либо обла. сти плоскости у'у' определяет однозначно вещественное число ГЕОМЕТРИЯ 1гл.
Еп у"", так что левая часть уравнения (52.1) обращается в нуль. Если предположить, что г" (у', у', у'), рассматриваемая как функция трех независимых псременных, принадлежит классу С' в некоторой области )т в окрестности точки Р,(у', у„', у,'), причем дР/ду'1р ~0 и Р(у', у'„у'„)= О,то основнаятеорема о неявных функциях гарантирует существование единственного решения у' = 1'(и', уа) такого, что у,'= ((у,', у,').
Определение поверхности единственным уравнением (52.1) несколько более кропотливо в сравнении с методом Гаусса, предложившим определять поверхность как геометрическое место точек, удовлетворяющих трем уравнениям типа у' = у'(и', и'), (52.2) где и,'(и' ..и,' и из(и'«-и„.', а у' — вещественные функции класса С' в области определения независимых параметров и', и'. Для того чтобы совместить эти два различных определения от функций у'(и', и') следует потребовать, чтобы матрица-яко. биан ду' ду' ду' ди' ди' ди' (52.3) ду ду' ду ди' диэ ди' была второго ранга, так чтобы ие все составленные из этой мат. рицы детерминанты второго порядка обращались тождественно в нуль в области определения параметров и'. Это требование гарантирует возможность решения двух уравнений в (52.2) для и1 и из, выраженных в парах переменных у'.
Подстановка же этих решений в остающееся третье уравнение приводит к уравнению типа у" = у'(у', у'). Следует заметить, что если два каких.либо детерминанта, образованных из матрицы (52.3), обращаются в нуль, то при этом обращается в нуль также и третий, если только поверхность О' не является плоскостью, параллельной одной из координатных плоскостей. Так как и' и и' — независимые переменные, то геометрическое место, определяемое уравнениями (52.2) — двумерно, причем этн уравнения дают координаты у' точки на поверхности„ в то время как и' и и' принимают конкретные частные значения С такой точки зрения поверхность приходится рассматривать как двумерное многообразие 5, помещенное в трехмерное обволакивающее пространство Ез.
Мы, таким образом, можем исследовать поверхности, ие относя их к окружающему пространству, и рассматривать параметры и' н и' как координаты точек на поверхности. Знакомым примером такой практики является $ хя кгнволинвпныв коогдннхты нх поввгхности 155 применение широты н долготы как координат пунктов, расположенных на поверхности земного шара. Если мы придадим координате и' в (52.2) определенное фиксированное значение и' = с (рис. 22), то получим геометрическое место точек, образующих одномерное многообразие у'=у'(с, иг) (1=1, 2, 3), и' и'(й', й') ие иг (у йе) (52.4) где и"(й', й') принадлежат классу С' и не обращают якобиан У= в,', в нуль в какой-либо области переменных й', то д(й', и~) значения (52.4) можно ввести в (52.2) и получить иную систему параметрических уравнений у~ = ~'(й', йе) (1 = 1, 2, 3), (52.5) определяющих ту же поверхность 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
