1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Заметим, что любой вектор А можно записать в виде произведения А = й г(г, где й — соответствующий скаляр. Так как г[г = (дг[дхз)г[хз, то получаем А = — (л с[х') = а, А', дх' где А' йах'. Числа А' — контравариантные компоненты вектора А и векторов А'аь А'аз, А'а,, образующих ребра параллелепипида, диагональю которого является А. Поскольку аз вообще пе являются единичными векторами, мы убеждаемся, что длины ребер этого параллелепипеда, т. е.
физические комлонентог А зпределяются формулами А' )згйн, А')ззпзз, Аз )/д~ ГЕОМЕТРИЯ ЕГЛ. и! 138 (а'азаз1 =1Даза,аз), в силу чего (а'аза'1=1/)l д. Кроме того, аз Х аз аз Х а' а' Х а' а = ! (аздздз) 2 (дзазаз) 3 [а!а!аз) ( ' ) а = а = (45.9 что легко можно проверить с помощью формул (45.8). Учитывая это, естественно назвать систему векторов а', а', а' взаимной базисной системой.
Заметим, что если векторы аз, аь аз — единичные векторы, отнесенные к прямоугольной декартовой системе координат, то взаимная система векторов определяет ту же систему координат. Пользуясь взаимной базисной системой, мы можем записать дифференциал вектора» в виде й» = азйхь где йх! — компоненты й». Мы получим в результате йз' = й» с(» = (а' йх,) (а! йх!) = а! а! йх, йх! — — уд йх! йхЕ, е гя д' — = а! а' = йз". (45.10) Нетрудно установить, что коэффициенты дз1, определенные формулой (45ЛО), совпадают с ранее определенными величинами яз!.
Таким путем с помощью формул (45.8) и (45.9) легко по- казать, что узду! =6!!, а х решение этой системы уравнений для д!'" дает » — ! 1 ) л у!а=СЕ!' (у, где Ст!а — алгебраическое дополнение лз ! г гг элемента д)„в детерминанте Едз!). Таким образом, приведенное в 9 44 определение дЕ! следует а з,! РР- как теорема из определе- Е' ни я (45. 1О) . р Система базисных векторов, определенных из (45,8), может быть нспольРис. !9. зована для того, чтобы представить произвольный вектор А в форме А = азАО где А! — ковариантные компоненты А.
Если мы образуем скалярное произведение вектора А,а! с базисным вектором а; и заметим, что последний направлен по координатной линии Х», то придем к следующим равенствам: А,а . а; = ЛЕ6! = Ле. Таким образо)!, АЕ/У дЕ! (без суммирования ! по !) представляет собой длину ортогональной проекции вектора А на касательную к координатной кривой Х! в точке р (рис. 19), вектор же А')сд~; представляет длину ребра параллелепипеда, диагональю которого является вектор А, $46! О ем!леле ковАРНАнтн4лх НРоизводных Так как А = а,А! = а'Ао то мы вправе установить равенство а, агА! = а! агАО и следовательно, д .А'=б!А = А.
4! 4 ! !' Мы видим, что вектор, полученньш" опусканием индекса в А',является ковариантным вектором Аь Два ряда величин Аг и Аь очевидно, представляют один и тот же вектор А, отнесенный к двум различным базисным системам. Как уже ранее было отмечено, различие между ковариантиым и коптравариантпым компонентами А исчезает в тех случаях, когда базисные векторы а, ортопормальпы. Подобным же образом, если рассмотреть коэффициенты Аме в полилпнейпой форме А4;Ха!а!а" и потребовать, чтобы Аиьага4а4 = А'4Аа4а;аА, то совокупность величин (Аць) представит тот же самый тензор А, отнесенный к базису (аг). Все ассоциированные тензоры (см.
й 30) представят этот же тензор А в соответствующих базисных системах. и 46. О смысле ковариантиых производных Пусть А — вектор, берущий начало в точке Р(у', у', уз) про. странства рн отнесен к прямоугольной декартовой системе ко. ординат У. Если в каждой отдельной точке области й! в окрестности Г мы сможем индивидуализировать каждый отдельный вектор А, то такую полную совокупность векторов в )г мы называем векторным полем, Мы предполагаем, что компоненты А являются непрерывно диффереяцируемыми функциями от у' в Р, а если мы введем криволинейную систему координат Х путем преобразования Т: х'= х'(у', у', у'), то соответствующие компоненты А'(х) станут непрерывно дифференцируемымн функциями точки (х', хе, х'), определяемой радиусом-вектором «(х', хз, х'). В обозначениях й 45 базисными векторами в координатной системе Х являются а4 = д«/дх, так что вектор А записываетдя произведением А= А'ао (46.1) Вычислим приращение ЛА длины вектора А с переменой положения точки Р(х', х', х'): Р'(х4+Лх4, х'+Ах', хз+Ахз).
!гл, гн ГЕОМЕТРИЯ 140 Из (46А) находим ЬА (А'+ ЬА') (а, + Ла,) — А'а, = ЛА'а, + А' Ла, + (ЬА') (Ла,). Как и в обычном дифференциальном исчислении, мы обозначаем главную часть приращения через АА: ОА = а, 0А'+ А' Нае (46.2) Эта формула показывает, что приращение в А возникает из двух источников: (а) приращений в компонентах А', вызванных изменениями значений (х', х», х'); (б) прира1ценнй в базисных векторах а;, являющихся результатом изменения положения точки (х', х', х»). Частная производная А по х' определяется как предел отношения ЛА дА )пп — = —, ,б д 1 1' а из выражения для приращения ЛА следует, что дА дА' да,. — = — а,+ — ' А'.
(46.3) дх1 дхГ дхГ Покажем теперь, что вектор, определенный формулой (46.3), тождествен ковариантной производной вектора А'. Установим сначала тождество (46.4) Вспомним, что дм = а; ап Отсюда ддп да да1 — — а1+ —, а,. дх» дх» дх Произведя в атой формуле перестановку индексов, получим да~» да~ д໠— — а,+ — ао дхТ дхт дх1 да1» да1 д໠— — а» + — лп дх~ дх' дх' Приняв, что Т входит в класс функций С', находим') да да, дхг дх~ Построим ' /даи дл1» дип1 (11, Ц = — ~ — + — ~ — — ») 2 ~ дх1 дх дх дг да~ д у дг ) д 1' дг 1 да ') Ибо а — и — — ~ — ~) — 1 — ) дх дх1 дх1 дх дх 1 дх1) дх О смысле кОВАРиАнтных пРОизВОдных !41 и получим да, — ах [Ц, и].
дхг (46.6) Из (46.5) следует, что — '= [11', Й]и . дх! Таким образом, да Га! , Па [Ц Ь]па . Па [Ц А]а,ха дхг !! откуда следует, что и подтверждается тождество (46,4). Вводя этот результат в (46.8), получаем — —,+[ ]А', [ —,-~-[']А] Выражение заключенное здесь в скобки, и представляет собой не что иное„как ковариантную производнуюА';. Таким образом, — =А,! аа. дА а (46.6) дхг А = Аапа (46.7) то — = Аа, Гаа. дА дхг (46,8) Из а' а,=б' получаем да! да! — а!+а — =О. дхь дх~ Следовательно, в силу (46.4) — ° а! — а' — — а' а 1.
' ''(и1' Из (46.6) следует, что ковариантная производная А",! вектора .4" являетса вектором, компоненты которого в точности совпадают с компонентами дА!дх1, отнесенными к базисной системе пь Мы можем, следовательно, показать, что если А представить в виде Геометрия 1гл. г!1 142 Поскольку а'. а„= б,', полученный результат эквивалентен ниже- следующему: Отсюда (46.9) Дифференцирование (46.7) по х" и подстановка из (46.9) приводят непосредственно к (46.8).
Заметим, что если символы Кристоффеля обращаются в гс тождественно в нуль, то координатная система, ассоциированная с этими символами, должна быть декартовой (слг. $ 39,теорема 1) и в этом случае базисные векотры аг не зависят от ко- дА дАг ординат. Тогда формула (46.3) дает, что — = —.а и, сле- дхГ дхг длг довательно, Л'.= — .
дх! $47. Внутреннее дифференцирование Положим, что в некоторой области пространства Ев определены векторное поле А(х) и кривая С: х'-х'(!), !г(~7~(тв. Векторы А(х), определенные на одномерном многообразии С, зависят от параметра 1, и если А(х) — дифференцируемый вектор, а хг(!) принадлежит классу С', то дА дА дхг дг да! дг Пользуясь формулой (46.6), записываем Вектор 6А")61, определяемый формулой 6А" г!Ае (п ) дх! — = — +~.,~А — (а=1, 2, 3), 61 = д! '!1!) д! (47.!) называется абсолютной или внутренней производной от А" по параметру й Следуя Мак-Коннелу'), мы будем свободно пользоваться внутренним дифференцированием в исследовании геометрии кривых и поверхностей.
') См. МсСоппе)! А. !., Аррпса!!опв о! 1ие аьвоййе д!11егепиа1 са)сп!мв, !931, стр. 156 †1 (имеется русский перевод). 143 пАРАллельные ВектОР44ые пОля 4 4з1 Если векторное поле А" определено не только на С, но и в окрестности С, то можно утверждать, что ЬА и дха — = А',3 —, Ь( ' д( и следовательно, обычные правила дифференцирования сумм, произведений и т.д. остаются в силе также и для внутреннего дифференцирования. Если А — скаляр, то, очевидно, 6Аа/бт = = с(А('гтй Отсюда следует непосредственно и обобщение операции внутреннего дифференцирования на тензоры, ранг которых больше единицы, а именно Заметим, что, поскольку бот)/64 = О, фундаментальные тензоры п4; и д41 могут быть вынесены за знак внутреннего дифференцирования. Задачи , ЬА( 1. Доказать, что — (у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
