1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 31
Текст из файла (страница 31)
х")=О (1=1 ... Ф). (57.22) Если матрица дср;/дхс имеет ранг й, то система дифференциальных ургепеннй для экстремали примет вид с!0хг — — 6„г О, (57.23) где 6 = 7г+ Хг (!) сР) (х) (1 = 1..., Й). Заметим в заключение, что в ограничительные связи (57.22) не входят производные х . Такие связи называются аолонолг> ыми, в отличие от связей вида срг(г, х, х) = О, (57.
24) ') Заметим, что если оба делителЯ Чга = О и Чт = О, то УРавневие !57.! )) уже не определяет поверхности. Геодезические длины и н, ГТЗ называемых неголопомными. Неголомолгмосе связи возникают в изучении диссипативных динамических систем, и мы встретимся с ними в главе 1Ч. Из вышеизложенного ясно, что уравнения (57.23), имеющие неголономные связи, должны содержать в себе нс только множители л»((), но также и производные ).; ((). Задачи 1.
Исследовать вариапионные задачи в (56.!) с применением уравнении (56.6) Эйлера. Заметить, что если Г(5 х, х) не содержит х явно, то (56.5) сразу же приводит к первому интегралу в ниде Г» сопя(. Показать, что в тех случаях, когда Г(Г, х, х) не содержит 1 в явном виде. первый интеграл (56.6) примет вид Г-ху =сонм. Указание. Положить Г = Г(х,х); вычислить — (Р— хр.) н воспользоваться уравнением (56.6).
Ж х 2. Учесть указание к задаче 1 и показать, что уравнение Эйлера (56.5) может быть представлено в ниде (Г хр») Гг' г(( 3, Уравнение Эйлера (57.!6) становится тождеством в тех случаях, когда У'(х, у, у') М(х, у) + Ф(х, у)у' при Мз — — бю При атом (57.!3) принимает вид х* !7- ~ М их+ ЛГ Ну, х~ причем интеграл становится независимым от пути. Таким образом, любая кривая, достигая заданной конечной точки, становится экстремалыо для (57ЛЗ). 8 58. Геодезические линни в 11„ Теперь мы в состоянии обсудить задачу нахождения кривых минимальной длины, соединяющих пару заданных на поверхности точек. Проведем все выкладки для случая и-мерных многообразий Римана, поскольку полученные результаты будут интересны не только для геометрии поверхностей, ио также и для изучения динамических траекторий в главе 1ьг.
Пусть метрические свойства и-мерного многообразия Йн определяются квадратичной формой с(зт=йгг(с(хгс(хl (г, /= 1, ..., а), (58.!) где 81! = К!1 — известные функции переменных х'. Предположим; что форма (58.!) положительно определенная, а функции 811 входят в класс Ю.
Длина кривой С, представленной в )7н уравнениями С: х' = хг ((), г1 ~ «У ( (», !74 геометгия !гл. гм определяется функционалом ь 3= 1 [//т, х"хв Ж (а, 5= 1, ..., и). (58.2) и для того чтобы сформулировать уравнение Эйлера (57.7), нам надлежит вычислить Р„и Рх/. Такое вычисление не представляет затруднений. Из (58.3) выводим 1/, дяаг Р / = — (/» Х'хв) ' — хаха дх/ Р,/=(л, х хв) /*8,/ха.
Подстановка этик выражений в уравнения Эйлера дает дяаа .а,г а д [ аа/х 1 дх/ = О. Так как»Ь/»//= [/д хахв, уравнение (58.4) можно упростить: дааа а.а а — хах д ~аа/х ~ д./ " и/ '» Нх/и/ / 2 и»/д/ (58.4) и, выполнив указанное дифференцирование, получить даа/, . ! дааа, . аа/» д х/и/ д, ха + х'х!' — — — х'2в дха 2 дх/ дх/д/ Так как взорой член в этом уравнении допускает запись в виде суммы двух членов, мы пользуемся этим приемом: ! / дяа/ дяа/ дяаа'!, . да/Х д Х/д/~ аах + [ + /! х'хв = 2 [, д~а дха дх/ ) дх/д/ ! / дда/ дав/ да аз ~ Вспомнив, что [ай, /[ — — ~ — + — „— — //, приходим 2 ~ дха дха дх/ / к дальнейшему упро/нению полученных уравнений: д»х/д/» Ь»а/ха [- [ай /)хна = 8'а/ ха (58.5) Экстремали функционала (58.2) мы будем называть геодезическими линиями в /7„.
Функция Р в 2 57 в таком случае принимает вид Р )7да хаха, (58.3) Геодгзические длины в я« 17« Они и являются искомыми уравнениями геодезических ли- ний. Если мы примем в качестве параметра / длину кривой з, т. е. положим — 'у'д х«ха = 1, Ыа и «з система (58.5) примет еще более простой вид: у«1х + (ар, /] Х "ха = О. (58.6) Точки над буквами в этом уравнении обозначают дифферениирование по параметру з. Если мы умножим уравнение (58.6) на тензор ди и просуммируем произведения, то придем к простой форме уравнений геодезических линий в /7« (1=1, 2, ..., и), х +~ /х«х О (58.7) Форма этих уравнений, как замечаем, тождественна с уравнениями (51,2), определяющими прямую линию в Еа Поскольку (58.7) — обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, оно имеет единственное решение, если значения х (з) и первые производные бха/е/з произвольно выбраны в заданной точке х'(зе) Если рассматривать заданную поверхность 5 как двумерное рнманово многообразие /7а с наложенной на него гауссовой координатной системой и", то (58.7) примет вид — „, +~ "р~ — — „=О (а, 5, у=!, 2).
(58.8) ') См. например, Е 1 а е и Ь а г ! Е. Р., О!11етеп!!а1 Кеоае!ту, 1940, стр. 175, Через каждую точку 5 проходит при этом одна-единственная геодезическая линия произвольно заданного направления Х« =- = ди«/бз. Нетрудно доказать, что если существует единственное решение и"(з), проходящее через две заданные точки 5, то кривая и" (з) окажется линией наименьшей длины, соединяющей эти две точки'). Если многообразие /7« — евклидова, то в нем возможна координатная система, для которой символы Кристоффеля обращаются в нуль.
Уравнение (58.7) при этом принимает вид бах!/дза = О. Общим решением этого уравнения будет х1 = = Ааз + В'. Таким образом, геодезическими линиями в Е„являются прямые линии В качестве другого примера рассмотрим задачу определения геодезических линий на произвольном цилиндре, расположенном в Е,. Координатную ось Уа направим параллельно !76 геомвтеия игл гн образующим цилиндра, и пусть проекция цилиндра на плоскость у'уз задана уравнениями у' = <р(а), С: у'-ф(а), где а — длина дуги кривой С (рнс. 25). Так как (г(а)' = (г(у')' + (г(у')' элемент дуги г(з геодезической линии задается формой (гЬ)' = ((а)'+ (гЖ', так что ан = аья = 1, ам = ам =.
О. Таким образом, уравнения (58.8) приводятся к Фа н,1 =О для у=1 ,Раа —,=О для у=2. 4$~ Отсюда получаем Рис. 25. где С1 н Сз — произвольные постоянные. составят, таким образом, си- уз=С,а+С,, описывающую пространственную кривую, в данном случае винтовую линию, шаг которой определяется ьоястантой Сь Константа Сз определяет начало для параметра дуги о. Аналогичным путем можно было бы показать, что геодезические линии на поверхности сферы являются дугами больших кругов (см. задачу 1). Но для того чтобы проиллюстрировать применение уравнений (57.23), рассмотрим функционал ь У= ) )'л"х'гВ (1=1, 2, 3), (58.9) ь Уравнения геодезических линий стему у' = <р(а), уз = ф(а), а=Аз+В, уз=А,э+Вн Если А Ф О, то этн уравнения примут внд у'=С,а+Се, геодезические длины в е„ (77 где центр сферы совпадает с началом координат.
Введенная в 3 57 функция 6 = Р+ Ьр преобразуется в б = )/х'х' — Л (!) (х'х' — а'), а уравнения (57.23) получают вид — — +2Л(()х'=0 (1=1, 2, 3), (58,12) (58.11) где ~Ь = )/к'х' Л. Исключая Л (1) находим из первых двух уравнений группы (58.12), ЧФ) — х'Д(Ы) =О, или Откуда ИХ 1 ИХ х — — х — =Со нх (58.!3) где С, — постоянная интегрирования.
Подобным же образом исключение Л(г) нз последних двух уравнений группы (58.!2) дает после инче~рирования ., Нх~, Нх~ х — — х — =С,, ЕХ ЛХ где С, — постоянная. Из (58.!3) и (58.14) находим х' дх' — х' ех' С х' дх' — х' лх' (х~)~ Х (х~!е или (58. 15) а интегрирование уравнения (58.!5) дает С,х' — С,х'+ С,ха= О. (58. 16) т. е. уравнение плоскости, проходящей через начало координат. Уравнение (58.16) вместе с уравнением связи (58.10) показывают, что решением системы (58.!2) является дуга большого круга.
представляющий длину дуги кривой С в декартовых координатах. Если С лежит на сфере радиуса а, то уравнение связи (57.10) принимает вид ~р = х'х'-а'= О, (58.! О) ГЕОМЕТРИЯ 178 !ГЛ. П! Задачи 1. Сфера радиуса а определена в прямоугольной декартовой системе координат у уравнениями у' = а сов и' сов и', у'= асози' з!низ, у' аз!и и'. В этом случае дзз = аз (дн')э+ аз (сов и')з(диз)г и ! я (Гтк ' ВР Ы.
ив где и' = диПди'. Показать, что геодезическими линиями будут здесь дуги больших кругов. 2. Найти геодезические линии на поверхности у' и' сов и' у' и' шп и', у'-О, расположенной в Ез, Координаты у' — прямобчгольные декартовы. 8. Показать, что, приняв ч) = ооэ и й, где й дне!дз, геодезические линии (58.8) в йз можно будет представить уравнениями Решения этих уравнений для йт должны дать — ) гй ир, как это можно т .ар ) р) увидеть нз (58.8). Этим подсказывается использование различных способов (у) вычисления синволов ! ! в любой частной координатной системе. Приме- !.81 ныть этот метод в вычислении символов Кристоффеля для координатной системы в задаче 1 путем определения коэффициентов й й в решениях для вторых производных от и" по з, $ 59. Геодезические координаты Мы установили (см.
Э 39), что если риманово пространство )тг„ является вместе с тем и евклидовым, то в таком пространстве существует координатная система, для которой компоненты дп метрического тензора остаются постоянными по всему пространству. Отсюда следует, что в такой координатной системе дд;,/дхь = О. Обращение в нуль этих частных производных эквивалентно обращению в нуль всех символов Кристоффеля, но! г'дузэ дуть дуг! '! скольку ') !(), Ц вЂ ~~~ †— ~. Если пространство )(„ 2 ( дхг дхг дх" ) не евклидово, то символы Кристоффеля не обращаются в нуль во всех точках гг,, Но при этом остается возможным найти такую координаи!ую систему, и даже бесконечно много таких систем, в которых они обращаются в нуль в любой заданной !) См. также теорему 1 й 39. Геодезические кооодииАты 179 точке Р просзранства Р .
Такие координаты называются геодезическими, или локально-декартовыми, для донной конкретной точки. Рассмотриы некоторую поверхность с сеткой координат иа и точку Р(и', и') на 5. Если о — координаты какой-либо иной сетки иа 5, то иа иа (о! оэ) (а (59.1) Вторая производная от формулы (32.5) дает соотношение Но если существует такое преобразование координат (59.1), что символы Кристоффеля 1 1 обращаются в нуль в точке Р, то для этой конкретной точки до до" а1 Рт) до доа иа иа 1.
Оа ~ о оа Р 2(ЛИ )Р (59.4) 1 а1 Где иа — значение и в Р, а ) т — значения символов Кри'1 ла 1'Р стоффеля в Р. Для того чтобы установить, что (59.4) удовлетворяет (59.3), вычислим д2аа ( а) доь доя 1ла1р (59.6) Из (59.4) обнаруживаем, что точка Р в новых координатах определяется уравнением о" = О, в силу чего в точке Р уравнедиа ние (59.5) дает — ~ =б'. Вводя значения из этого уравнения и из (59.6) в (59.3), находим, что оно удовлетворяется в точ. ке Р. Заключаем на этом основании„что новые переменные действительно являются геодезическими координатами в Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
