1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Укажем теперь решение этого уравнения, дающего преобразо. ванне (59.1) в координатной системе о", в которой символы Кристоффеля обращаются в нуль в точке Р. Это — полипом второй степени гяомнтртгя (гл гн )80 Заканчивая этот параграф, отметим, что Ферми расширил полученный здесь результат, доказав, что в любом римановом многообразии Я„возможна такая координатная система, что ее координаты являются геодезическими во всех точках произвольно заданной аналитической кривой ').
9 60. Параллельные векторные поля иа поверхности Понятие параллельных векторых пол«и вдоль кривой, размещающейся в пространстве Ез (з 48), было обобщено ЛевиЧивита на кривые в и-мерных римановых многообразиях. Полсзность этого понятия мы пронллюстрнруем на одном примере. Рассыотрнз! для этого поверхность 5, располомсенную в Ез, и кривую С на 5. Представим эту кривую уравнениями С: ив=ив(Г), Г!и. (((з, н предположим, что метрические свойства 5 выражаются тен- зором а,р.
Если А" — векторное поле на поверхности, опреде- ленное вдоль С, то мы можем вычислить для этой поверхности внутреннюю производную бА аА +~ а~ я а'ит (60.1) (60.2) определяющее векторное поле, в котором компоненты вектора указаны в произвольной точке С как определение параллельного векторного поля вдоль кривой С на поверхности 5. Если параметр ( выбран как длина дуги з, то уравнение (60.2) принимает внд (60.3) и если А" понимается как единичный касательный вектор к С, так что а г(и а а А и'з 1) Детальный вывод уравнений преобразования для этого случая, куда входит и (89.4) в качестве частного слччая, был выполнен Леви-Чивита в работе «О геодезическом расстоянии», Матйепза)!зеве Аппа)еп 91 ()928 — )92?), 29! — 320 («Бнг Гесаг! яйобез)япе»).
Это выражение тождественно по виду с левой частью уравне. иня (48.1), описывающего параллельное векторное поле вдоль пространственной кривой. Вводим поэтому дифференциальное уравнение Г>АРАллсльныв ВвктоРные поля нА повеРхиости >в> при а, т."к~ = 1, то (60,3) дает (60. 4) В этом уравнении мы узнаем уравнение геодезической линии на 5 и на этом основании сформулируется Т е о р е м а. Вектор, полученный параллельным переноса,и вдоль геодезической линии касательного к ней вектора, остается касательным к этой линии.
Из единственности решения (60.4) следует, что свойство касательности параллельного векторного поля к поверхностной кривой является одновременно и необходимым и достаточным условием для геодезической линни. В евклидовой плоскости геодезические линии суть прямые линии, и параллельное векторное поле, образованное касательными к прямым линиям, направлено вдоль тех же прямых линий. На поверхности сферы геодезическая линия является дугой большого круга, соединяющей две заданные точки на сфере, и соответствующее векторное поле представляет собой поле касательнь>х к геодезическим линиям. Из последнего примера ясно, что параллельность к поверхностной кривой отличается от параллельности к пространственной кривой, расположенной в Ев так как векторы, полученные параллельным переносом вдоль поверхностной кривой С, необязательно должны быть параллельными в евклидовом смысле.
Однако нетрудно доказать, что длины векторов, образующих параллельное по отношению к С поле, остаются постоянными. В самом деле, дословное повторение доказательства, изложенного в $48, приводит к закл>очению, что угол между двумя векторами, распространяющимися параллельно, остается неизменным, а отсюда следует, как это было и в з 48, что векторы, образующие параллельное поле, имеют постоянную длину. Этот вывод позволяет сделать заключение, что векторное поле, полученное параллельным переносом поверхностного вектора вдоль геодезической линии, образует равные углы с геодезическими линиями. Следует заметить, что понятие параллельности в римановых ь>иогообразиях определяется по отношению к заданной кривой.
Поверхностный вектор А', определенный для точки Р поверхности 5 при параллельном распространении вдоль заданной кривой С к точке Ц, не обязательно должен совпадать с вектором, параллельно распространяющимся вдоль иного пути, со. единяющего Р и ф Кроме того, если замкнутая кривая С ограничивает односвязную область 5, а параллельное векторное поле переносится из некоторой точки Р на С, то вектор, получающийся в результате пересечения замкнутого ко>мура, не обязательно должен совпадать с начальным вектором. Угол )гл гм ГеОметРия )82 между начальным и конечным положением вектора измеряет другую внутреннюю характеристику 5, известную как гауссова кривизна 5.
Эта характеристика вводится несколько иным спо- собом') в 6 62. й 6!. Изометрические поверхности Свойства поверхностей, которыми мы занимались до сих пор, были связаны всецело с изучением первой фундаментальной квадратичной формы азе = а, йи' с!из. аа (61.1') у' = и' соз п', и'з)п пе, оз уз = а агссЬ вЂ”, о ~) Сравните: Е!еепьаг! ).. П., !п)годпе))оп )о о!)!егепна! Пео~пе!Гу, стр. 200. Эти свойства составляют содержание раздела геометрии, именуемого внутренней геометрией поверхностей, И онн не имеют никакого отношения к тем различным характеристикам поверхностей, которые может различить наблюдатель, находящийся в' окружающем пространстве и связанный с системой отсчета этого пространства.
Две поверхности, например цилиндр и конус, представляются совершенно различными, если их рассматривать из окружающего пространства, и тем не менее их внутренние геометрии совершенно неразличимы, так как метрические свойства цилиндра и конуса могут быть описаны тождественнымн выражениями для квадрата элемента дуги. Если на каждой из этих двух поверхностей существует такая координатная система, что линейные элементы этих поверхностей характеризуются одними и теми же метрическими коэффициентами а В, то такие поверхности называются изометрическими. Поверхности цилиндра и конуса, очевидно, изометричны с евклидовой плоскостью, так как эти поверхности могут быть развернуты на плоскости без изменения длины элементов дуги и, следовательно, без изменения углов площади.
В следующем параграфе мы введем имеющий большое зна. чение скаляр-инвариант, именуемый гауссовой кривизной, который позволит нам определять условия, прн которых та или иная данная нам поверхность может быть развернута на плоскости, т. е. оказаться изометричиой с евклидовой плоскостью, Как на пример нзометричной неразвертывающейся поверхности укансем на катеноид: 1гл. 1п Гвометьия 184 ))апомним, по этот тензор кососимметричсн по двум первым и двум последним индексам, так что для поверхности 5 )~им = Атп~ = — Ртпт = — ймм (62.3) н~~зт = )~~атт = 0 Поэтому каждый, не обрашак>щийся в нуль компонент рима- нова тензора равен либо Ямы, либо отрицательному значению этого компонента.
Определим величину К формулон нмм К=— а где а = )а„а), и назовем ее гауссовой кривизной или полной кривизной поверхности 5. Так как в это определение входят лишь метрические коэффициенты а„в, то свойства, описываемые коэффициентом К, являются внутренними свойствами поверхности 5. Если мы введем двумерные е-тензоры ,ьВ е = 1/ае и е'а= — ' ГдЕ Еьа — аЛЬтЕринрушщнЕ Е-СИСТЕМЫ (СМ. 3 40), И уЧтЕМ СООтношения (62.3), то сможем записать уравнение (62.4) следующим образом: )'„зть = Кеьзеть (62.6) так как еьае, =2, то мы можем решить (62.6) н определить из него К = — )с де'аеть.
(62.6) Эти уравнения показывают, что гауссова кривизна — инвариант. Теперь, поскольку поверхность 5 изометрнчна с евклидовой плоскостью, можно утверждать, что на 5 существует координатная система, для которой имеют место равенства ап = о а„ = О. Очевидно, что в этом случае в этой частной координатной системе Йиатг — — О, а так как Й„ать — тензор, он должен обратиться в нуль в любой координатной системе. И наоборот, если тензор Римана обращается в нуль во всех точках поверхности, то теорема !! в 8 39 гарантирует, что на поверхности возможны координатные системы, для которых ап — агт — ), вы О.
На этом основании формулируется Теор е л1 а. Необходимым и достаточ ным условием для того, чтобы пгверхность 5 была изометрична с евклидовой плоскостью, является тождественное обращение в нуль риманова тензора или гвугсоьой кривизнся 5, 4 З2) ТЕНЗОР РИМАНА — КРИСТОФФЕЛЯ Н ГАУССОВА КРИВИЗНА !йй Рассмотрим теперь инвариант Я аит Хз где а Ацл )тит = )~и,з = а зтлито (62.7) (62.8) представляет собой тензор Риччи' ), введенный в $ 38. Если (62.8) умножить на аит и просуммировать, то получим аичд аксаи )2 (62.9) а вспомнив (62,3), убеждаемся, что (62.9) эквивалентно )1 =- — 2)(„н (ана" — а'за") (62.10) Поскольку и ОН 22 О11 а = —, а о о ан — "ы о получаем )т = — 2— Й121з и (62.11) Сопоставляя (62.1!) и (62.4), мы видим, что )г = — 2К.
Инвариант Я иногда называют эйнштейновой кривизной Я, В дальнейшем (см. $72) мы приведем более содержательную интерпретацию гауссовой кривизны, где поверхность 5 рассматривается из объемлюшего ее пространства. Задачи П Использоаать формулы (б2.2) и (62.4) и показать, что если система ноординат прямоугольная, то 2. Вычислить полную кризнзну многообразия, квадратичная форма которой имеет аид йзз озюпзи'(2)из)з+ и'!уи')'. где 1 прннздлеигнт классу Сз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
