1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 40
Текст из файла (страница 40)
вал, что понятие силы воспринимается интуитивно и не требует дальнейших объяснений. Ныне мы видим, что первый закон в действительности является следствием второго. Второй закон движения также вводит кинематическое поня* тие движения и динамическую идею силы. Для того чтобы по. нять его смысл, следует заметить, что Ньютон применяет термин движение (шо(1оп) в смысле количества движения, т. е.
произведения массы на скорость. Таким образом, «изменение движенияв означает темп изменения количества двизкгния на единицу времени, поэтому в векторном обозначении второй закон можно представить формулой % гг! УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЧАСТИНЫ. РАБОТА. ЭНЕРГИЯ 227 Р=й —,г, М1Му Г' (77.3) где й — универсальная константа, а г — вектор, направленный от массы М, к массе Мь Если принять, как это обычно делается, что гравитационная и инертная массы равны, закон (77.3) дает практический способ сравнения масс с помощью»коромысловых весов. Для того чтобы развить науку механики для системы, состоящей более чем из двух частиц, к ньютоновым законам необ. ходимо присоединить принцип суперпозиции сил и ввести дальнейшие гипотезы, относящиеся к природе связей. 5 78.
Уравнения движения частицы. Работа Энергия Пусть положение движущейся частицы Р определяется вектором г Если криволинейные координаты конечной точки вектора г обозначить через х'((), то движение частицы по проходимому ею пути С можно представить уравнением С: х'=х'(!), (78.!) в котором кривая С называется траекторией частицы. средствами одного лишь третьего закона. По этим соображе. пням наилучшим, по-видимому, выходом из положения было бы оставить один из краеугольных камней здания механики— массы нли силы — без определения и включить его в состав науки механики на тех же правах, на которых математика принимает «богом созданные» целые числа.
Третий закон движения констатирует, что ускорения возникают всегда попарно, Пользуясь термином силы, мы вправе утверждать, что если сила действует на данное тело, то это тело оказывает равное противоположно направленное воздействие силы на какое-либо иное тело.
Ньютон называл два аспекта силы действием и противодействием (реакцией) — терманами, вошедшими и в обычные формулировки закона. Масса, входящая в формулировку законов Ньютона, называется иногда инертной массой (или просто инерцией) для того, чтобы отличить ее от гравитационной массы М, входящей в закон тяготения Ньютона. Этот закон утверждает, что сила притяжения между частицами пропорциональна произведению их масс, обратно пропорциональна квадрату расстояния г между ними н направлена по прямой линии, соединяющей частицы. В обычных обозначениях закон формулируется таким образом; лнллипнескля мехл!и!кх 228 !Гл г« Скоросзь то и!и Р представляет собой вектор и = с/г/с/!, компонентами которого являются а„! о' —— Ж (78.2) Ускорение а = а!и/а!! = с(!г/Ю имеет компоненты (см.
Ц 46 и 47) х»! д2»! ! 1 ! дх! ах" ь| а!! (/Ф) ж ш (78.3) г!'! где бп!/б! — внутренняя производная, а~ . !-сг!к!волы )йристоф'(/ь )' феля, вычисляемые из метрического тензора д!ь связанного с снсземой отсчета Х. Если масса точки Р равна т, то второй закон движения Иьютопа дает уравнение Р = туг/л(!» или э»! Р =т — =та. л! В прямоугольных декартовых координатах уравнение (78.4) принимает обычный вид Р' = т л(зу'/!/!э.
Введем теперь понятие энергии, которое позволит нам облечь теорию в более изящную формулировку. Понятие энергии употреблялось еще Галилеем, заметившим, что «выигрыш в энергии есть проигрыш в скорости», однако впервые четко понятие энергии как количества, равного произведению массы на квадрат скорости частицы (ч!з ч!ча — «жнвая сила») было введено в механику Гюйгенсом в ХИ! столетии. Полное же использование этой идеи и обнаружение ее связи с понятием работы заставило себя долго ждать и реализовалось лишь в Х)Х веке.
Определим алел!енг Работы, произведенной силой Р на перемешении с/г, инвариантом ЫК = Р л(г, и так как компонентами Р и г/г являются соответственно Р' и л/х!, то это скалярное произведение равно сЛг' = япР! г/х! = Р! г/х!, где Р! = а!гР! — коварнантные компоненты вектора Р. Мы будем предполагать вообше, что функции Р!(х), определяющие векторное поле Р, принадлежат классу С', Работа, произведенная на перемешении частицы по траектории С, соединя!ошей пару точен Р, и Р„выражается криволинейным интегралом Р1 (78. 6) ж 2 28] уРАВнения дВижения чАстицы.
РАБОТА энеРГия 229 Воспользовавшись вторым законом движения Ньютона (78А), преобразуем (78.6) к виду ь )р'= ~ тпди —,йх = ) птиц — о йт. (78.7) Но о (д~,о'от) ооо2 'а =2йи а " а поскольку ано о — инвариант, г ! з (еи о' от) ы сн (йн и отсюда —,(дио о ) 2йн — о . Подстановка этого результата в подынтегральное выражениее (78.7) дает ,Р, %'= ) 2 ~~ (дно'о )йг= 2 дио'о ~ = Т2 — Т„(78.8) 1 где о~; ~ то' Те— м — у~о о 2 ' 2 Мы приходим к результату, что работа, произведенная силой Р на перемещении частицы от точки Р~ до точки Рэ, равна разности значен2)й величины Т = — гпо в конце и в начале пе- 2 2 1 ремешения. Мы определим величину Т= — гпо', составляюшую в точности половину «живой силы» (о(з Унта) Гюйгенса, как кинетическую энергию частицы, Формула (78.8) может быть интерпретирована как Т е о р е м а.
Работа, произведенная на перемещении частицы по ее траектории, равна изменению кинетической энергии частицы. Может случиться, что силовое поле Р, таково, что интеграл (78.6) не зависит от пути. В этом сл) чае подынтегральная величина Р,йх' является точным дифференциалом й(Р' =Р,ах' (78.9) функции работы йт. Отрицательное значение функции работы Ф' называется силовым потенциалом илн потенциальной энергией, АнАлитическАЕ мехАникА 1гл. 1У 230 Мы обозначим потенциальную энергию символом У н заключим из (78.9), что (78.10) д'г' Р, дх поскольку эти производные предполагаются непрерывными функциями'). Но дхг (1'1 1Ф) поскольку жс 1 . 1 симметричен относительно г и 1, заключаем, 1111 что условие (78.1!) полностью эквивалентно устанавливаемому вышеприведенной теоремой.
В заключение отметим, что параллельное силовое поле й 48 необходимо консервативно, так как условием для того, чтобы векторное поле Рг было параллельным, является равенство Рь;=О. й 79. Уравнения движения Лагранжа Иную в сравнении с ньютоновым законом (78.4), выражен- ным в терминах кинетической энергии частицы, формулировку получил этот же закон у Лагранжа, исходившего из принципа, с которым мы познакомимся в $84. В настоящем параграфе мы выведем эти уравнения непосредственным вычислением, опи- раясь на второй закон движения Ньютона. 1 Кинетическую энергию Т= — пгоз можно представить таким 2 выражением 7= — 28пх ', (78.() ') Если рбласгь многосвязна, условия (78.1!) еще продолжают гарантировать существование потенциала 1', связанного с рг формулой (78.11), но в агом случае функция )г вообще многознанию Силовые поля, для которых существуют потенциальные функции, называются консервативными.
Имеется простой критерий установления консервативности силового поля. Теорема. Оеобходилгым и достаточным условием для того, чтобы си.голое поле Рь определенное в односвязной области, было консервативным, является равенство Рг, = Р1 г, Доказательство этой теоремы следует непосредственно из замечания, что необходимое и достаточное условие для того, чтобы выражение Ргггхг было точным дифференциалом однозначной функции )', сводится к равенству дг"г др1 (78.! 1) дхт дхг 9 991 УРАВНЕЙИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛАГРАНЖА 221 так как х' = ой Если продифференцировать (79.1) по х', то мы получим д7/дх' = тднх~. Производная этого выражения по У получает вид = л9 йнхч+ — х~х~ . Вычтя из нее производную (79.1) по х', а именно дТ т дам — = — — хх, дх~ 2 дх9 находим = и(пнхч+(//9, 1) х'хх) = тди(хн+~ ., ~хивах).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
