1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 43
Текст из файла (страница 43)
си ж Теперь можно показать с помощью (81.4), что 6(Р+ Ф) = 6Р+ 6Ф, 6 (РФ) = Р 6Ф + Ф 6Р, где Р и Ф вЂ” некоторые функции, удовлетворяющие наложен- ным условиям, а знак вариации 6 распространяется на ту же совокупность траекторий С'. В 8 57 мы исследовали функционал ь 7= ~ Р(Г, х', ..., х", х', ..., х") дт, где функциональные аргументы хг(Г), Г~ (Г 4(г, принадлежа- ли к й-окрестности экстремали У.
Мы изучили поведение инте- грала У на траекториях х'(Г, е) = х'+ е$'(1). Пользуясь урав- нением (81.4) настоящего параграфа и обращаясь к формуле (57.6) убеждаемся, что последнюю можно преобразовать в 67= ) ~ — бх + — дх!дГ Г/дР г др,у~ дх' дхи так, что для пары фиксированных пределов Г, и гг а 67 = ) 6РГ(Г— = 6 ) РГ11. Полученное уравнение показывает„что вариация интеграла с фиксированными пределами равна интегралу вариации подын- тегрального выражения. Введенную в настоящем параграфе систему обозначений мы используем в формулировке принципа Гамильтона. $82.
Принцип Гамильтона Рассмотрим частицу массы т, движущуюся в трехмерном евклидовом многообразии, отнесенном к криволинейной системе координат Х. Частица находится в состоянии движения под воздействием силы Р, и наша задача заключается в определении ее траектории С: х' х'(4) (Г= 1, 2, 3), Ю,(Е(1„ где Г обозначает время. хихянтпческля миха!Пн(х !Гл.
!ч где бх'(1) = еэ!(1) и $!(1!) = $'(1х) = О принадлежат й-окрест. ности С, то мы можем говорить о вариации Т, а именно дТ .; дТ ЬТ =- — бх! + —. Ьх', дх! дх! (82Л) причем мы сможем сформулировать Принцип Гамильтона. Если частица находится в точке Р„в мо,кент времени 1! и в точке Рх в момент 1м то двиэтение частицы происходит таким образом, что ~ (ЬТ + Р,бх ) с(1= 0, (82.2) где х' = х!(1) — координаты ~истицы на траектории, а х' + + бх' — координаты на варьируемой траектории с началах! в Р! в момент 1, и концом в Рх в иол!ент 1в Теперь мы покажем, что этот принцип эквивалентен уравнениям движения (79.2) Лагранжа и, следовательно, законам Ньютона.
Доказательство не представляет затруднений. Подстановка (82.!) в (82.2) приводит к ( —. Ьх + —. Ьх + Р; Ьх! ) т(1 =- О. й )— ! дТ .! дт (, дя! дх! !! Интегрируя первый член под знаком интеграла (82.3) по частям ~ —, бх' !11 =- —,. Ьх! ~ — ~ — ( —,. ) Ьх'Ж д.х' ! д! дх' и замечаЯ, что Ьх'(1а) = бх! (1,) =- О в силУ обРащениЯ в нУль Ь!(1з) и х!(1,), уравнение (82.3) цреобразусм в Й вЂ” — )'= ~Р! + —. — — —.)бх! тД = О.
дТ д дТ ! (82.4) дх! ьц дх! Так как этот интеграл обращается в нуль для произвольного бх', рассуждения, использованные в ч 57, показывают, что — — —,=Р! (с=1, 2, 3). (82.5) д! дх! дх~ Кинетическая энергия частицы (имеющая физический смысл лишь на траектории С) задается формулой Т= — тд!,хх'. Если мы определим семейство траекторий С': х!(е, 1)= х!(1)+бх!(1), ИНТЕГРАЛ ЭНЕРГИИ И, обратно, если уравнения Лагранжа (82.5) справедливы, то справедливы также уравнения (82.4) и (82.2). В вышеприведенной формулировке принципа Гамильтона нс дается никаких указаний о природе силового поля Гв Если, в частности, это поле консервативно, то существует потен- циальная функция )г(хг, хз, х'), отвечающая условию д)ггдхУ =- = — г"!. В этом случае уравнение (82.2) принимает зид У, (бТ вЂ” — бхУ) ууу = О, д*т' дх! а поскольку 6)г=(д)г/дхУ)бх', то мы получим У» ~ б(Т вЂ” ) )дг=о.
(82.6) Но в $79 мы определили функцию Лагранжа 7. =. Т вЂ” )г тз. ким образом, что уравнение (82.6) допускает представление в виде ) бу'.дг= О, а поскольку пределы интегрирования фик. сированы, мы получаем сжатую формулировку принципа Га- мильтона для консервативного поля в виде б ~ (.й(-О. (82.7) Содержание уравнения (82.7) мы можем сформулировать слс- дующим образом. В консервативном силовом поле частица дви- жется таким образом, что интеграл )' Т, йг, вычисленный на УУ траектории х = хУ(!), !! 4 1 ( Гм имеет стационарное значе- ние в сравнении с его значениями для всех окресгных траекто- рий, берущих свое начало в точке РУ в момент у = у! и завер- шающихся в точке Рг в момент г = гь Уравнения дан>кения вида (79.5), а именно выводятся также непосредственно и из формулировки (82.7), 8 83.
Интеграл энергии В этом параграфе доказывается важная обшая Теорема, Сумма кинетической и потенциал ной энергий »уасгицы, движущейся в консерватионоч сплавал! поле, постоянна. АИАлитическАя мехАникА !Гл. ш 246 Установим сначала тождество, из которого следует доказательство этой теоремы. Так как кинетическая энергия ! Т = — тдих х' — инвариант, то дт дт д Гт И.!1 т Гдха д . дхд! — = — = — ~ — (к "х х )) = — ди( — х +х — ) =птд!!а о Ш д! д! Г 2 " ) 2 ! д! д! ! так что дт — = пта,о 1 (83.1) где о' — скорость н а; — ускорение частицы. Для консервативного силового поля та! = Р! = — д е/дх!, и потому (83,1) мы можем представить в виде дт д1I дх! Ш дх! Ш нли (83.2) Интегрирование уравнения (83,2) приводит к результату Т+У = 6, где й — постоянная интегрирования.
й 84. Принцип наименьшего действия История науки изобилует попытками уложить законы природы в структуру теологии. Некоторые из этих попыток, исходившие из представлений о минимальных значениях, например учение Герона (100 лет до н. э.) о кратчайшем пути илн принцип минимального времени распространения Ферма (1601— 1665) произвели на математиков глубокое эстетическое впечатление. Самой знаменитой нз таких попыток в области механики была доктрина наименьшего действия, высказанная французским ученым Мопертюи (Р. М.
1.. Маирег1н)з) около 1740 г П, Мо пертюи утверждал, что все виды проявления активности природы совершаются с наивозможно меньшей затратой «действия», которое он определял как произведение из массы, скорости и расстояния. Для того чтобы согласовать свой принцип с известными результатами механики, Мопертюи был вынужден изменять определения величин, входивших в произведение массы„ скорости, расстояния (тоз) так, чтобы это соответствовало каждой отдельной из рассмотренных им задач. Так, например, в ана- пгинцнп нлнмвньшвго двпствия 247 А=) твс(в, я, (84. 1) вычисленный иа пути С: х' = х (г), г~ цм г <~ гт где С вЂ” траектория частицы массы и, движущейся в консервативном силовом поле.
Положим, что ни кинетическая энергия Т, ни потенциальная энергия )7 не являются функциями ') Этн любопытные факты служат хорошей иллюстрацией нравов н миро. созерцания того времени. (Прим. ред,) лизе неупругого соударения двух частиц с массами т1 н тм движущихся со скоростями ог и о„он уменьшал произведение тов, где в было расстоянием на единицу времени.
В результате «действие» получалось пропорциональным кинетической энергии. Мопертюи получил известное правильное выражение для окончательного значения общей скорости в = (т~о, + тапа)/(т~ + та). С другой стороны, в задаче преломления света, при переходе из одной оптической среды в другую, он пользовался фактической величиной расстояния в и получал постоянное (но неправильное) значение для отношения синусов углов падающего и преломленного лучей. Доктрина Мопертюи, верившего в то, что он представил научное доказательство существования бога, возбу.
дила воображение Даниила Бернулли и Л. Эйлера, выступив. ших в защиту ее'). В 1744 г. Эйлер показал, что интеграл тв с(в имеет стационарное значение на траектории частицы, движущейся в центральном силовом поле. В 1760 г. Лагранж расширил результат, полученный Эйлером, доказав, что инте. л, грал А = ~туг(в имеет стационарное значение на траекториях Р частиц, движущихся в консервативном силовом поле, если только связи не являются функциями времени. Эти соображения привели его к формулировке принципа наименьшего действия. Но она оставляла желать еще очень многого с точки зрения требований ясности, н Гамильтон пытаясь понять формулировку Лагранжа, вывел более широкий и отличающийся от лагранжева принцип (1827), разъясненный в $82.
Логически четкое доказательство принципа Лагранжа было дано в работе Якоби. Рассмотрим интеграл Лагранжа Р~ АиАлитпческхя меххннкА (ГЛ. (Ч 248 времени. В криволинейных координатах интеграл (84А) принимает вид ! (Р,! йх! ! ! с(х! с(хт А = ) тд(! — йх = ) тй — — й!', с(г,) '! с(! й! Р, ,(РВ а поскольку т Нх Ыхд Т= — йч —— 2 ' й! й! находим .4 = ) 2ТЛ.
(84.2) б ~ 2ТЖ=О (84,3) с вспомогательным условием Т+)т — А=О на С' (84.4) Здесь важно понять, что ввиду вспомогательного условия (84,4) мы не можем определить экстремалн интеграла действия, подставляя в уравнение Эйлера (57,7) вместо Р функцию 2Т Поскольку Т вЂ” функция скорости о, а й — функция только положения, отрезки времени ((Ра) — с(Р!), необходимые для перемещения по траектории С', будут вообще различными. Таким образом, верхний предел ((Ра) в интеграле (84.4) нс фик- ') Строго говоря, зтот нрннннп следовало бы назвать нринцинон стаиио.
ирноео действиц. Этот интеграл приобретает физический смысл, лишь будучи определенным на траектории С, но значение его вычисляется на любом пути, соединяющем точки Р, и Р,. Рассмотрим какую-либо частную совокупность допустимых траекторий С', вдоль которых функция Т + $' для каждого значения параметра 4 принимает одно и то же постоянное значение й, Определенный таким образом функционал А называется интегралом действия, и в отношении его мы сможем сформулировать Принппп наименьшего действия'). Из всех кривь(х С', проходя(цих через Р, и Ра в окрестности траектории С, при любых значениях ~, Т + тт = 6, единственной, для которой интеграл действия А принимает стационарное значение, является траектория частицы. Будучи сформулирован как вариацпонное уравнение, этот принцип принимает вид пщ1нцип наименьшего дьпствия 4 вт) 249 сируется.
В настоящем случае мы встречаемся с задачей вариационного исчисления с переменными конечными точками и с одним вспомогательным условием (84.4). Процедура, используемая в решении этой задачи, опирается на ив~од множителей Лагранжа для задач с негологюмными связями, на которых мы вкратце останавливались (см. ч 57). Построим функцию Р = 2Т + )ир, где гр = Т + )г — й и найдем решение системы четырех уравнений . — — ( .)=О (г'=1, 2, 3),! дхг г)Г ) дх' / ? Т + )г — й = О. — ~ —.)- —.= — — (г= 1, 2, З).
и гдТт дТ М' (84.5) д) (, дх' ~ дхг дхг Полученные уравнения и представляют собой уравнения движения Лагранжа. Иной и несколько более поучительный способ подхода к этой задаче заключается в приведении ее к рассмотрению вариационной задачи с фиксированными конечными точками путем замены переменных. Так как кинетическая энергия т дх' дх) щ ) да1т 2 и г) дг дг 2 1 дг ) ' (84.6) Отсюда следует, что интеграл действия (84.2) может быть за- писан следующим способом '): в2 А = / ')Т 2гн(й — (т) ггз, а, (84.7) поскольку по всем допустимым путям Т = 6 — (г. Подынтегральное выражение в (84,7), очевидно, не зависит от й Введем теперь для наших траекторий С' параметры так, чтобы С: х' =х'(и), и,~ и (.и„ ') См.
й 88 и В о)х а, Чог)еэопкеп бьег уапапопэгесйпнпп, стр. 586. ') Форма (84д) интеграла действия была использована в работе якоби. См. исслелование этого интеграла и его обобщений у Каратеолори: Сага. 1п е о б о г у С., Чаг)анопвгесппнпк, стр. 255, 290. Исследование этой системы показывает, что ') й()) = — 1, а отсюда следует, что траектория С определяется решением системы АНАлиТнческАя мехАнйкА 1ГЛ. 1ч где Р,: х'(и,) и Р;, х'(и,), вспомнив, что г(з=) д11х'х' аи, где х' = г(х'/с(и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
