1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Непосредственное, но несколько громоздкое вычисление использующее формулу дх"/дф = дх /дф дх' д'х' дх д дх и соотношения — = д, а также —,= — —., выводидд' дд! дч! дну~ дГ дд' мыс из уравнения (86.2), приводит к результату а АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА 1гл, !т Уравнения (86.11) известны как уравнения Лагранжа а обобщенных координитпк, Онн дают систему и обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка н координатах д'. Решения зтих уравнений С: д'= д'(1) представляют дпнамнчегкрю траекторшо системы, Если существует функция $~(д', ..., д"), обладающая свойством д'г' —. = — Ян дч' то такая система называется консервативной н уравнения (86.11) принимают для нее вид (86.12) где Е =— Т вЂ” к' представляет собой кинетический потенциал. Так как 1.(д,д) — функция как обобщенных координат, так и скоростей, то Ый дь,ч да .ТЧ +; Ч.
Д дйь дд! Введя сюда выражение из уравнений (86.12) Лагранжа полу- чаем Но так как Т. = Т вЂ” )г и потенциальная знергия )г не является функцией д', то дд .г дт .с — д= — д=2Т, дд~ д4~ поскольку Т - — апд д . Таким образом, уравнение ! можно представить в виде ы(т — ят) ы(т+к) 0 ж ш (86.13) из которого ясно, что Т + Х = Ь (константа). Таким образом, вдоль динамической траектории сумма кинетическойой и потенциальной энергий остается пос т о я н н о й.
Л зе! злавнсння лагранжа в ововшкнных координатах 257 Зааача Показать, что динамические уравнения в ментом дуги дзз = (г(г) з + гз (г(В) + г принимают вин гн (г — га' — гф' з(пз В) сферических координатах с ззе. з!и' В (д р)' дк дг ' ! дк г дВ' ! дк гази а дм' Г ! ю ~ — — (гзО) — гф' Мп О соз О~ ! дг ! н (,з-,ш В)1 [ гз(нВ дг 9 Н, С Сыск« инков Из приведенных выкладок следует, что исследование натуральных голономных систем с п степенями свободы люжет быть приведено к исследованию движения единственной частицы в и-мерном пространстве. Задачу определения динамической траектории системы мы можем сформулировать на языке вариационного исчисления. В самом деле, содержание принципа Гамильтона и принципа наименьшего действия, освещенные в Я 82, 84, могут быть повторены слово в слово, если термин «точка» толковать как совокупность и параметров д', ..., дв, характеризующих конфигурацию нашей динамической системы в определенном и-мерном пространстве.
В этих обозначениях принцип Гамильтона принимает внд ~ (ОГ+()збд') ((=О и если силовое поле Яч консервативно, то он выражается и в еще более сокращенном виде б ~ й ((=О. г, Эти вариационные уравнения подтвержда>от, что уравнения Лагран>ка (86.(!) и (8б.(2) удовлетворяются. Из формулировки принципа наименьшего действия в обобшенных координатах (см. (84.3) и (84.4)! непосредственно следует, что динамические траектории в консервативном поле являются геодезическими линиями в и-мерном римановом многообразии, в котором элемент дуги с(5 дается выражением 05з = 2 (й — )г) а» с(д' с(д(. Тот факт, что динамическую траекторию можно рассматривать как геодезическую линию, открывает возмо>кность геометризации динамики. АНАЛИТИЧЕСКАЯ МГХАНИКА )гл. !ч в цилнндрическя: же координатах, где злемент дуги равен лаз- (ар+. (дв) з+ (да)з.
оии имеют вид дУ т (г — га') дг ' ) дУ т — — (гзй) ~ ° ж ! гдв дУ тз = дз й 87. Виртуальная работа и обобщенные силы В предыдущих параграфах ничего не было сказано о характере сил г„, действующих в точке (х') жесткого тела. В изучении механики сплошных сред принято классифицировать действующие силы по .г" трем категориям '): (а) внутренние силы, обусловленные ср физическими свойствами материальной среды; (б) силы реакции, вызванные связями; (в) внешние приложенные силы.
Мы можем наглядно представить себе материальное тело составленным из большого числа частиц, взаимодействующих между собой по достаточно сложным законам. Пока внутренние силы относятся к типу действия — противодействия, нет нужды Рис. Зт. учитывать их в динамических уравнениях, поскольку их результирующая в любой точке тела Р обращается в нуль.
Таким образом, силы г„входящие в формулы 5 8б, сводятся к реакциям связей, и извне приложенным силам. Для того чтобы уяснить смысл сказанного мы должны представить себе твердое тело закрепленным неподвижно в какой- либо точке О гладким штифтом и подвергнутым действию приложенной силы и', (рис. 37).
Штифт в точке О связывает движение тела, сводя его к вращению относительно точки О. Реакция )с„действующая в точке О, не производит работы, если тело смещается, не нарушая связей в точке О. Мы будем обозначать все реакции, не производящие работы на произвольном перемещении, не нарушающем связей, неработающими силами.
Всякое перемещение точки тела совместное с наложенными свя- ') Силы реакции, вызванные связями, также являются внетниии силами, ВИРТУАЛЬНАЯ РАБОТА И ОБОБЩЕННЫЕ СИЛЫ В Вч] 959 зями называется виртуальным (возможным) перемещением '), и мы обозначим такое виртуальное перемещение в точке х" через 6х'. Работа, произведенная внешними силами Р„на виртуальном перемещении бх", выражается формулой ]р'В= ~'.~ Р,бх', (87.!) где суммирование распространяется на все частицы тела; эта сумма будет полной работой, если реактивньге силы будут не.
работающего типа. Определим ]ага как виртуальную работу на виртуальном перемещении бх", если реакции не работающие. В противном случае в состав )ага будут включены также и реактивные работающие силы. Необходимо тщательно помнить, что виртуальное перемещение бх" не обязательно является действительным перемещением стх", совершаемым точкой Р(А ) под воздействием указанных сил.
Оно — лишь некоторое возможное перемещение, допустимое для тела без нарушения связей. Если данная голономная система с и степенямн свободы описана в обобщенных координатах в', тогда х" = х (с)', ..., ан) и виртуальные перемещения бх' связаны линейно с Обобщенными виртуальными перемещения,ии 6дг, именно г дхг бх' = — бд].
двl В формуле (87.2) перемещения бдг произвольны, но необходимо совместны с налонсенными на систему связями, поскольку коор- динаты ве независимы '), Если мы введем в (87.]) выражение из (87.2), то получим дх' Ж'ь =,~, Р, — ба'= (),ба', ' ддl где на последнем этапе используется определение обобщенной силы 9Ь Из этой формулы следует, что действующие на систему обобщенные силы ];), можно определить, вычисляя работу КВ, произведенную перемещением системы посредством виртуального перемещения бг] чь О (] — фиксированное) при бдт = 9, г'чь/. Тогда Яс = ]у'В,Мг)], Мы обратимся к этому методу вычисления обобщенных сил в иллюстративных примерах $ 89. ') Виртуальные перемещения, нарушающие связи, также используются в динамике.
в частности в тех случаях, когка прихоинтся иметь дело с вычис.ченнем реактивных сил. т) Обрапчаем внимание на различие межяу анртуальнымн перемещениями дяг н хейстщнтельнымн перемещениями дд', имеющимн место на линамическогг траектории д' = Чг(Г). АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАИИКА ГЛ Ю 260 й 88.
Неголономные системы где коэффициенты с!и являются непрерывно дифференцируе- мыми функциями переменных д'. Систему т уравнений (88.1) можно представить кратко: сА! ди Ь1 = О, а так как д!Ь1 = бд', то мы получим т соотношений сА!Ьд =О, ! в которых вариации бд' вообще не независимы. Для того чтобы вывести динамические уравнения из вариа- ционного уравнения Гамильтона ь ~ (ЬТ+ ~Ущ!) д1 = О, (88.3) где бд! связаны т соотношениями (88.2), мы вводим (см. 6 57) т неизвестных функций ЛА(д!, ..., д"), а затем образуем с по- мощью (88.2) сумму Л сыбд'=О (й=1, ..., т, !=1, ..., и).
(88.4) Поскольку ЬТ = (дТ)дд!) Ьд! + (дТ~дд!) Ьд', уравнение (88.3) дает ( дт Ьд!+ дт Ьд!+абдТ~д1 =О. (88.5) ! дд! дд' !, Но бд! = дбд!/пг, и интегрирование по частям первого члена в подынтегральном выражении (88.5) дает (см. 82.3) ( — — — —, + а) бд д(- О, й — ) ! дТ !Г дТ дд! д! дд' (88.6) Вывод уравнений Лагранжа в й 86 основывается на той предпосылке, что динамическая система голономна и что ее конфигурация описывается и независимыми обобщенными координатами д'. Если д! не независимы, вывод соответствующих динамических уравнений из принципа Гамильтона (86.!4) зависит от общих соображений, представленных в $57.
В тех случаях, когда приходится иметь дело с неголономными динамическими системамн, принято исходить из предпосылки, что обобщенные скорости д! входят в уравнения связей линейно. В соответствии с этим предположим, что и обобщенных координат д' удовлетворяют т ( и условиям типа с,!(д', ..., д)д!=О (й=1, ..., т), (!'=1, ..., и), (88,1) ивголономныв системы если мы вспомним, что бдг(11) = 6~7г(1т) = 0 по каждой из траекторий. Перепишем теперь (88.6), введя в подынтегральное выражение член Ласд,бд' = 0; ( — — — —.+Р,+Л сы)бд а=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
