1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 54
Текст из файла (страница 54)
рт уз, уз= рз, Т=й~(- Р р!), (99.4) Оценка длины с, стержня наблюдателем, находящимся в системе У, будет соответственно меньшей, чем Е в отношении ')/1 — ра/1. Поэтому наблюдатель в системе у придет ') Заметим, что для светового импульса оо = О, ') Эти уравнения выводились многократно различными способами. См., например, Н!се Л., !1е!а11чцу, стр, 89; То!гиви и., Тьеогу о! ге!а1!ч!1у о! птоноп; Е1пз1е1п А.. Аппа!еп бег Рьузж 18 (1906); Рга п1г, !я п а !оч з.
$с у, ко1Ь е, Агсыч Раг Ма1ьептз11к ппб Р1гу»18 !7, !8; $ упит з. 1., Яе1анЫ1у. Твс зрес!а! 1Леогу, 1966, стр. 69. где /г= — 1г!)/! -Рт, й= — и/с, оставляет квадратичную форму с(оз = сз Жз — г(р~г(у' (99.5) инвариантиой. Эти уравнения отвечают условиям, в которых система у перемещается относительно у со скоростью О вдоль оси') у'. Уравнения (99.4) известны как уравнения преобразования Лоренца — Эйнштейна' ). Мы не будем входить в дальнейшие сложные исследования этих уравнений и в получаемые из них выводы, поскольку большая часть выходящих ныне руководств по теоретической физике и в особенности по теории относительности уделяет этим вопросам большое место, и нам здесь нет необходимости дублировать зту тему. Остановимся лишь на одном примере, имеющем непосредственное отношение к «сокращению» Лоренца — Фитцджеральда, о котором было упомянуто в ~ 58.
Рассмотрим стержень, движущийся вместе с системой Конечные точки стержня имеют координаты (у!, О, О), (у1, О, О) так, что его длина, будучи измерена наблюдателем в У-системе, полУчитсЯ Равной Х=Ут' — У!,. Так как Уз'=/с(уз' — О() и У,' = й (р! — О1), то / -Уг-Р~ = Р'1~-б'(Р~-Р!). РРлятивистсКАя мехАникА (гл. ч к заключению, что движущиеся объекты испытывают сжатие в длине.
Величина этого сжатия — та самая, которая была выведена Лоренцом и Фитцджеральдом в связи с их изучением электрического поля движущегося сферического заряда. В то время как Лоренц и Фитцджеральд представляли себе обнаруженное ими сжатие как «реальное сжатие», произведенное перемещением объектов сквозь покоящийся эфир, в предыдущем вычислении это сжатие обнаруживается как свойство пространственно-временного иногообразия, подвергнутого преобразованию (99.4), где пространственные переменные ус таковы, что элемент луги 4(з задается формулой 4(зя = с(у! 4(у!.
Если бы вместо декартовых переменных у' мы избрали криволинейные х', отнесенные к декартовым у' формулами у = у (х', х', х'), тогда форму (99.5) следонало бы прочитать как сЬз = ст Жт — д„т(х' 4(х! (д4! - — ". ( — 1. дх' дл) ) Заметим, что детерминант из коэффициентов этой формы принимает значение — сзд. Только что приведенные формулы могут быть преобразованы к симметричному виду, если положить 1- хч; тогда 4(аз=а, 4(х«с(ха (а, р=!, 2, 3, 4), (99.6) где а4( = -дс( (!', ( = 1, 2, 3), аы О, а44 с' и а-! а,а1= — с'д. Если мы теперь введем класс допустимых функциональных преобразований Т в четырехмерное многообразие Х Т: х'=Хч(х4, хт, хз, х4) (а=1, 2, 3, 4) (99,7) и потребуем, чтобы форма (99.6) была инвариантной для класса преобразований (99.7), мы сможем провести вычисления в тензорах, как это мы делали в главе )Е Задачи !. Показать с помощью уравнений (99,4), что событии, являющиеся одновременными с точки зрения наблюдателя в системе У, вообще не одновременны в системе У.
2. Исследовать замедление хода движущихся часов. 3. Продифференпировать уравнения (99.4) н установить отношения между компонентами скорости и4 движущейся точки, измеренными наблюдателем в у-системе, с соответствующими величинами ш', измеренными в сястеме Т. Ыу! ш! + о дро Йа Ответ. —,, — „, (о 2, 3). СОБСТВЕННЫЕ ИЛИ ЛОКАЛЬИЪ|Е КООРДИНАТЫ 3|! е |пл Ю Ю е агс!и — агсгь — — агс|Ь вЂ” .
с с с $100. Собственные или локальные координаты Рассмотрим точку Р, пространственные координаты которой в некоторой системе отсчета Х обозначены через (х', хз, х'). Пусть скорость точки Р, отнесенная к этой системе в момент времени 1, равна О. Введем галилееву систему отсчета Х, движущуюся совместно с точкой Р так, что каждое мгновение ! точка Р находится в покое относительно системы Х. Назовем такую систему Х локальной или собственной координатной системой. Выбор локальной координатной системы, очевидно, не однозначен, поскольку только что высказанное определение требует лишь того, чтобы скорость собственной системы не отличалась от скорости частицы.
Это условие приводит к тому, что отсчеты времени (измеренные часами, принадлежа|цнми каждой из двух различных местных координатных систем) получаются одинаковыми. По этой причине преобразование от одной собственной системы Л к другой Х' принимает вид х' = х' (х', х', хз) В=1. Интервал г(п определяется формулой сЬз = а, с(хо г(х" ст г((т — етг! с(х! г(х! так, что' (100.1) йп !з, сгхг йху — 1 =сч — ач — — -— с — о, с!! ! ' ЕГ |т'г (100. 2) где и — величина скорости и точки Р относительно координатной системы Х.
Если местная координатная система У вводится в Р, то относительно Х о = О, и уравнение (100.2) дает — =с (100.3) в собственной системе Определим вектор скорости Минковского и" формулой и" = — (а=!,2, 3, 4) (! 00.4) йт 4. С помощью формул, приведенных в задаче 3, показать, что если ы и о — обе меньше с, то м/с < !. Так, например, если о 0,9с, и = 0,9с, то м.= 0,994с вместо 1,йс, как зто получается в обычном законе сложения скоростей. б.
Выражение агс!!| м/с иногда называется быстротой. Показать, что обычный закон сложения скоростей выполняется также и для быстрот. Так, напрамер, РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА 1гл, ч 312 н заметим„что его компоненты') в собственной системе Х имеют вид (О, О, О, 1/с). Поскольку а = (а„а( = — с'й' чь О, мы вправе построить взаимный тензор ааз, символы Кристоффеля 1 /даат даз да В 1 1а(), у] = — 11 — + — — — ), 2 (~ д~а дха д»Ч ) ©= "И 6) и определить операции ковариантного и внутреннего дифференцирования, как это мы делали в главах Н и Ш. Это позволит нам определить вектор ускорения Минковского )а формулой биа дтха 1 а ! дхв д»ч )а= — — = — +т( ~ — — (а, р, у=1, ..., 4).
(100,5) Ьв дав 1 РЧ г! дв дв Если наша собственная система отсчета Х декартова, для которой с(ов = свг)гв — с)у1с(у', то компоненты ) ускорения Минковского, отнесенного к этой системе, примут вид так что — — (1= 1, 2, 3), д'У' ~'=О, поскольку у'=1. Пока!кем теперь, как можно будет представить второй закон Ньютона в инвариантной форме относительно всех галилеевых систем отсчета.
Рассмотрим формулу, подсказываемую вторым законом Ньютона (птв"') (а= 1, 2, 3, 4), 6 ,1 а ! Ра (ГП 1 а) 61 Йт г'св — оа 61 ~ де / ~) Так как а а» дха и Ыха 1 дг 'г' св — вв Р2 )Гст ог' до (свд!в — Руд» дх!)'Ь о'=о' о' О, х' 1 в собственной системс, где иа = с(хагт(о представляет скорость Минковского, а тв константа, значение которой обнаружится из нижеследующих выкладок: УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ЭЙНШТЕЙНА 9 ге!! з!з где мы пользуемся соотношением (100.2) и вводим р = о/с. Если определить Ргг ~/ ! 11! то предшествующее уравнение примет вид (100.6) и, поскольку в собственной координатной системе г р = 0 и т = гпг, Ег -гг (100.7) Эта формула имеет вид второго закона Ньютона классической механики.
Инвариант т, представляет массу частицы Р, отнесенную к собственной системе отсчета. Он называется покоящейся (или собственной) массой частицы. Так как уравнение (100.7) — тензорное уравнение, то уравнение сил можно признать действительным во всех галилеевых системах отсчета Р =тг~. Перепишем (100.6) в сокращенной форме: 1Р'" = — ( ', ), (100.8) где о'=Нк'1Н!' и йГ"= — с 1'1 — 6'Р', и примем его как уравнение движения частиц в специальной теории относительности. й 101. Уравнение энергии Эйнштейна Завершим наш краткий обзор элементарных основ специальной теории относительности установлением важной связи между массой и энергией. Ради упрощения записи положим, что координаты к', используемые в настоящем параграфе, прямоугольные деларговьг, вспомнив вместе с тем, что работа, произведенная силой Р! (! = 1, 2, 3) на перемещении Нк', равна изменению кинетической энергии.
В самом деле, классическая теория дает г и Т- Т, = ~ тоНо = ) т — Н1 — ) = Ы»г ! гГ»г ! т '(н!)= юг Ог Р г!»! Р~' Г Ф»' — — Ж= ж гг'Н .) НМ г,' Р. Рг овщля теория относительности 315 й !02! Мы убеждаемся в том, что масса т зависит от кинетической энергии. Если допустить, что этот результат сохраняет силу для диссипативных систем, то убыль массы гп должна быть приписана потерям энергии через радиацию'). Из вышеизложенного мы приходим к выводу, что принципы сохранения энергии и сохранения массы, которые в классической теории казались совершенно различными, не имею- шими между собой ничего общего, ныне объединяются в один общий закон специальной теории относительности.
Из уравнения (101.2) мы убеждаемся также, что если частица принимает некоторое количество энергии !зТ, то ее инерциальная масса гл увеличивается на ЬТ!(св. Таким образом, инерциальную массу гп можно рассматривать как меру энергии частицы, а закон сохранения массы надлежит признать имеющим силу в том, и лишь в том случае, когда частица не приобретает и не теряет своей энергии. Эйнштейн ассоциировал с каждой массой гп определенное количество энергии Е = птсв. На этом основании уравнение (101.2) может быть записано в форме Е = левое + Т„ где ги,ся предстает как внутренняя энергия, а Т вЂ” как кинети.
ческая энергия. й !02. Общая теория относительности. Возникновение и перспективы развития В нашем изложении механики четырехмерного многообразия специальной теории относительности мы сохраняли различение между пространственными координатами х! (г = 1, 2, 3) частицы и временнбй переменной ! = х'. Метрика пространства принималась евклидовой. Но новыми существенными пунктами в теории являются отказ ат концепции универсального времени и утверждение, что масса частицы изменяется определенным образом вместе со скоростью при условии, что ньютонов закон движения должен сохранять инварнантность относительно группы преобразований Лоренца — Эйнштейна, Различение между пространственными и временными пере.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
