1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В следующем параграфе будет показано, что перигелий совершает поворот на угол бтвп/йв рад за время каждого полного оборота планеты по орбите. Но это значение, как обнаружилось, оказывается слишком малым для всех планет Солнечной системы, за исключением Меркурия, для которого он исчисляется приблизительно в 42" за столетие. Это смещение периге. лия Меркурия не нашло удовлетворительного объяснения на основе теории Ньютона, но мы увидим, что вычисления, основанные на релятивистском уравнении (105.13), дали результаты, необычайно хорошо согласовавшиеся со значениями, полученными из наблюдений.
Закончим этот параграф замечанием, что если бы предшествующие вычисления были выполнены на основе квадратичной формы дз'- с у(а) — — — г'1(дв)э+ з!пэ Е (Ьр)е), У то мы пришли бы к уравнению') о'и йлн ЗЬп,и' — +и= — +— лев йэ ев я где т, = 1,98 Х !Оке г (масса Солнца), й =* 6,7 Х 10-в г-' см'/секх, с = 3 Х 10" см/сек.
'1 В этом уравнении секторивльивв скорость Л вреде»являет собой сек. ториальиую скорость классической теории, смешания певнгелия Для движения Меркурия член йт4йз имеет порядок величины 10-а, между тем как Зйт,иЦс' — порядок 10-'», Эти результаты оправдывают попытку решить уравнение (105.13) методом последовательных приближений (мы проведем его в нижеследующем параграфе). й 106.
Смещение пернгелия Сопоставление аналитических результатов этого параграфа с астрономическими данными наблюдения — наилучшее возможное свидетельство, подтверждающее общую теорию относительности. В $ !07 мы коснемся вопроса об искривлении луча света Солнцем и смещении линий Фраунхофера к красному концу спектра, но количественное согнасование для этих явлений между наблюдениями и теоретическими предсказаниями пока еще остается под некоторым сомнением. Релятивистское уравнение для орбиты планеты — „,", +и = а, (!+Зй' '), (106. !) выведенное в % 105, допускает интегрирование в замкнутой форме с помощью эллиптических функций, но получаемое таким путем решение неудобно для сравнения с соответствующим результатом, полученным в э 97 иа основе теории Ньютона.
Мы заметилн в $ 105, что величина члена Зй'и', появляющегося в правой части уравнения (106.1), мала в сравнении с единицей, и это побуждает нас к попытке получить решение этого уравнения методом возмущений. Следуя ему мы пренебрегаем членом Зти' и получаем для нашего первого приближения и, уравнение Ньютона е'и~ а — +и,=— ~р з решением которого является и, — „, [! + е соз (~р — а)1, (106.2) где е — эксцентриситет орбиты, а а — долгота пернгелия. Введение уравнения (106.2) в правую часть уравнения (106.1) дает Ри — + и — 11+ Зйзи') = ,ьрй т бпр зт' за' = — „, + —, е сов (<р — а) + — „, ез11 + соз 2(<р — а)1 + — „, .
(106.3) Так как орбиты планет близки по своей форме к окружности (для Меркурия е' = 0,04), то влияние пертурбационного члена, содержащего е', будет пренебрежимо малым. Точно так же и член Зтч1Й' не окажет заметного влияния на форму орбиты, !гл. ч еелятивистскАя мехлникл Решение этого линейного уравнения составляется, очевидно, из решения и1 и решения уравнения Е55 Заэ , +и = — „, есоз(ф — в). Результат простых вычислений дает второе приближение из в виде а г З,» из = — 5 [! + е соз (ф — в) + —,, еф з(п (ф — в)].
(106 4) г — Л5 '! Для наших целей достаточно будет оборвать ряд шагов в схеме последовательных приближений на указанной в формуле стадии, рассматривая и» как величину, представляющую решение уравнения (!06.1) с достаточно высокой степенью точности. Если мы положим ба 55и — „5 ф (106.6) и заметим, что соя (ф — в) + Ьв з ш (ф — а) = )/! + (ба)5 соз (ф — а — а), где а=агс1пба "- ба, то мы сможем записать (!06.4) как ия = и и, 11+ е соя (ф (106.6) пренебрегая членами порядка (бв)5, малыми в сопоставлении с единицей, Из уравнений (106.6) и (106.6) выясняется, что когда планета совершает один оборот по орбите, то перигелий опережает это движение на угол Згиг а= — „, 255 Рад.
(106.7) Уравнение (106.6) описывает замкнутую орбиту, лишь приблизительно элтиптическую по форме, по той причине, что ба— функция ф. Поскольку и = !/г, имеем Ь2/»5 ! + е 505 (ф — в — Ьв) так что «прямолинейная полусторона» (зепи!а!ця гес!цгп) — ! = -йч . но второй член, содержащий соз(ф — а), может оказать явно выраженный суммарный эффект иа смещение перигелия, В связи с этим упростим уравнение (106.3): Е»и»г Зггг5 — -г-и = — + — есоз(ф — а). е,» Л5 И $ км) смещение пегигелия Вспомнив из геометрии конических сечений, что а(1 — ез), где а — большая ось конического сечения, находим йз= пт! = пта(1 — ез).
Вводя то.чько что полученное выражение в уравнение (106.7), определяем ') Рпш» бпт е»» аш (! — е») а (! — ет) ' В этом выражении и — масса Солнца. Для Меркурия величина е получается равной 4,90 Х 10-' рад. Этот угол весьма мал, но в нашем распоряжении имеются данные набл!олений о положении Меркурия за последнее столетие, а поскольку период обращения этой планеты исчисляется в 88 дней, оиа совершает 4!б оборотов в столетие. Суммарное смещение перигелня за 100 лет должно поэтому исчисляться в 41бе = 2,04 Х 10-ь )тад = 42". Для других планет соответствующее смещение слишком мало для точного экспериментального определения. Например, для Венеры оно достигает всего лишь 9", для Земли 4", для Марса 1". Действительная траектория Меркурия, описываемая им вокруг Солнца, конечно, не эллипс — по причине возмущающих воздействий других планет. Мы по сугцеству не можем говорить здесь строго о задаче двух тел.
Однако возмущения, производимые другими планетами, могут быть учтены, и отклонения от эллиптической траектории допускают вычисление. Такого рода вычисления были произведены с высокой тщательностью, и в результате их было установлено, что смещение перигелия Меркурия должно выразиться величиной около 42" за сто лет. Ньютонова теория неспособна предсказать это значение, а замечательно близкое совпадение между релятивистским расчетом и наиболее тщательно измеренным значением едва ли можно признать случайныма). Следует обратить особое внимание на то, что вычисления, основанные на специальной теории относительности, обнаруживают также эффект прецессии, если принять, что частица движется в силовом поле с потенциалом )г = йт/г, Однако прецессия, определенная на основе таких вычислений, приводит к результатам, не столь близким к эмпирически определенному значению, какие дала общая теория.
') Иной путь вывода значения е см. 57 и яе 3. )., ке)а1)ч!)у. Тье яепега! (ьеогу, !960, сгр. 294 — 296 (кмеется русский перевод, см. библиографию) н (1 а ! и )с Ь Сг. У., Ма(весов(!сз о! ге)абецу, 1960, стр. 162, '! Клнменс (С1егпепсе С. М.) дает 42",ббш0,94 в Кеч!етчв о( Модегп Рйуз!св, 19 (1947), 361. См, также Мс Ч1111е Сг. С., Сепега! ге!а!!ч)(у апб соыпо1ояу, !966. Этк авторы прнводят прокккательные комментарии относи.
тельно трудкостн выполнения решающих астрономических наблюдеккй. ~/ 11 И. С. С\»»зьымл»» 7» !гл. ч РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ззо й 107. Заключительные замечания Закончим эту часть книги небольшим упоминанием об отклонении лучей света Солнцем и о сдвиге к красному концу спектра спектральных линий света, порождаемого в плотных звездах '). Так как свет материален по своей природе, он должен подвергатьсн воздействию гравитационного поля Солнца, и отклонение от прямолинейного пути светового луча, порожденного отдаленной звездой, когда этот путь слегка касается поверхности Солнца, может быть легко вычислено.
Отклонение лучей света, проходящих близ большой массы, можно наблюдать при солнечных затмениях, когда неподвижные звезды в кажущейся близости к Солнцу приобретают видимость, но из-за невозможности оценить величины экспериментальных ошибок, обусловленных трудностью получения четких фотографических снимков, принято считать, что эти результаты не подтверждают, но и не опровергают общую теорию. Можно отметить, что вычисления, основанные на ньютоновой теории тяготения, способны учесть лишь около половины наблюденных значений. Из области других эксперпментальньгх доказательств, приводимых в пользу общей теории, указывается наблюдаемое смещение спектральных линий света, излучаемого звездами, к красному концу спектра.
Элементарные соображения указывают, что частоты вибраций света, излучаемого отдаленной звездой, меньше соответствуюшей частоты, наблюдаемой на поверхности Земли' ), Если эта частота ассоциируется со светом, излучаемым Солнцем, линии солнечного спектра должны были бы слегка смещаться в сторону длинных волн спектра в противоположность соответствуюшим линиям спектров Земли. Ожидаем»ш сдвиг для света, излучаемого Солнцем, оказался весьма малым, но для спутников Сириуса он определен приблизительнои величиной, большей почти в 30 раз, чем для Солнца, и наблюдающейся с удовлетворительной точностью.
В 1925 г. Эдамс измерил «красный сдвиг» для спутника Сириуса') и нашел его равным бХ = 0,27 для линии с длиной волны )с 4000 тч. Такое измерение позволяет оценить диаметр ') См 5 у п яе Л. 1, Пе1апм1у. Т)ге яепега! 18еогу, 1960, стр, 298-308, а также йй 36, 37 книги и а )п! с )г 0. 7„Магьегпабсз о1 ге!а1гецу, !960. См, также В е г я гп а п п Р, О., 1п1гойнс1!оп 1о Ше Шеогу о1 ге)а1!ч!)у, !942, гл. Х!Ч; Е 6 6 ! п 6 1 о п А. 5., Ма1ьегна1!са! Шеогу о) ге!а))ч)!у, !924, стр. 90- 93 Критический обзор значимости прогнозов теории Эйнютейиа прнводитсн у Мак-Витти: Мс Ч)11! е С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
