1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Ь] с помощью (113.3) и вычтя Ьп=а, а) из результата, находим йс — Ь, = —. — + а; +а] . — — — 2еа (113.4) дй дй дй дй дх' дх) дху дх] в силу (!10.1). Уравнения (!13.4) можно рассматривать как группу дифференциальных уравнений для компонентов 5 при указанных функциях еп. Эта группа уравнений принимает очень простой вид, если вектор перемещения 5 выражен через коварнантные компоненты и] или вь таким образом: $ = ига), $ = в(Ь], (113.5) причем а] и Ь] — взаимные базисные векторы, введенные в $45, Формулу (112.3) можно выразить в зависимости от одних лишь (); дте 1 )Я+2ео! )/]+2во+46~+зеве если инварианты б; выразить в функциях от бс как в задаче о 2 !! 1.
Если деформации малы, то из (!12.6) следует, что де — дте а так как для малых деформаций ес = еп б~ - "бь то обе форо о мулы — (!!2.5) и (112.7) — дают для удельного расширения одно н то же значение. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД сгл чс 344 Дифференцируя (113.5) по х', получаем (см. 9 45) — = иссса', — = исс, сЬ, д$ с дй дхс дхс (113.6) где ди (Ь) дхс «~ !с (113.7) является коварнантной производной от и; по метрическому тен- зору Ь;; начального состояния, а дсе (Ь) дхс ~ !с (113.8) — коваРиантнаЯ пРоизводнаЯ от шс по метРическомУ тензоРУ асс конечного состояния.
Левые нижние индексы в символах Кристоффеля в (113.7) н (1!3.8) указывают, что эти символы в (113.7) построены из тензора Ь,ь символы же в (113.8) — из асс. Если мы введем первую из формул (113,6) в (113.4), то полу- чим 2еи=(иссса и»с;а )+(а, а и»1с+ас а иыс)= с»» » » = исс си»с а а + б»иы, + Ь и, = и» и,, + ип + и,, поскольку а' а»= Ь'». Таким образом, 2е, =и,,+и с+и,',и (113.9) Ьсс = ас ас- (Ь, — — '; ~ (Ь, — — ",). Подстановка в ннх из второй формулы (113.6) даст 2е, =ис +ис,с — ш сш, (113.!О) Формулы (113.9) позволяют нам вычислить компоненты деформации-напряжения ео из компонентов и; вектора $, отнесенного к базису а; начального состояния. С другой стороны, в формулы (113.10) входят компоненты $, отнесенные к базису Ь; конечного состояния. В свою очередь, если указаны функции еы, то дифференциальные уравнения (113.9) и (113.10) позволят определить компоненты вектора перемещения $.
С другой стороны, если вектор $ представлен в виде $ = ис Ьс, то, учтя (113 3), мы придем к выражениям УРАВНЕНИЯ СОВМЕСТНОСТИ $ / Н] 345 В тех случаях, когда система отсчета Х прямоугольная декартова, мы полагаем у/ = х/ и получаем на основании (113.9) н (1 13.10) ди, ди диа дие 2е, = — + — + —;— (113.11) / дуо дуо дро дуо / дм дм/ дмо дм 2е,/ = — + — —— (113.! 2) Ц ду/ ду/ ду' ду/ ' где знаками уо/ обозначены декартовы координаты в начальном состоянии. В специальных задачах производные компонентов перемещения бывают достаточно малыми, для того чтобы оправдать пренебрежение их произведениями в сопоставлении с членами первого порядка в этих производных.
В этих условиях уравнения (113.11) и (113.12) становятся линейными и теория деформации, основанная на изучении получающихся линейных дифференциальных уравнений, называется линейной теорией. В линейной теории обычно предполагается, что вектор перемещения 5 достаточно мал, для того чтобы оправдать отождествление координат у/ и у/ начального и конечного состояний.
Получающаяся в результате теория называется инфинитезималвпой теорией деформации. В инфинитезимальной теории формулы (113.11) и (113.12) превращаются в единственную 2е,/=и, /+и/ н (113. 13) где е„— ипфипитезид/алони/е компоненты тензора деформации з/р В классической теории упругости тензор деформации е;; принимается в форме (!13.13). Инвариант деформации 0 = ен + + еао + еао, как это следует из (!13.13), получается при этом равным дивергенции вектора перемещения и/ и отсюда — расширению тг/ = (/(т — /1т )/'йт = и/ . $114.
Уравнения совместности Уравнения (113.10) или, в декартовой форме, (113.12) можно рассматривать как систему шести дифференциальных уравнений в частных производных для определения трех компонентов перемещения по заданным значениям тензора деформации. Очевидно, что если решение этой системы должно существовать, то компонентами тензора деформации не могут оказаться произвольные величины. Для того чтобы обеспечить интегрируемость системы, необходимо наложить некоторые ограничения на выбор функций аи. Такие условия вместе с доказательством их необходимости' ) '1 Локазательстно необходимости и достаточности условий Сен.пенана пРиводитсЯ а книге автоРа; 5 око!п1йо11 1. Ьи Ма/ичпа11са/ ШеогУ о1 е!оапспу, 1946, стр 24 — 25.
12 И. С. Сокольников 346 1гл ш мех!ППКА сплошных сРед для линеаризованного случая, выраженного уравнением (113.13), были выведены Б. Сен-Венаном в 1860 г. Покажем здесь, каким образом эти условия интегрируелгости илн совлгестносги могут быть выведены в общем случае.
Напомним, что пространство, в котором имеют место деформации, является евклндовым, и потому рнманов тензор, ассоциируемый с метрикой евклидова пространства, определяемого квадратичной формой г(з,'= йцг!к!г!ху, обращается в нуль (см. 9 39). На этом основании Кзцзг = ''„[71, ![ — —, [7)г, г) + ~ ~[г(, а) — ( т~[!й, а] = О, (114.1) о где риманов тензор )с!1„построен из метрических коэффициентов йц. Если вспомнить, что (см. (110.1)) йц =дц — 2ец позволяют вычислить символы Кристоффеля, необходимые в (!14.1) в функциях от дц и е;„и использовать то обстоятельство, что Риманов тензоР )зцз!, основанный на йц, также обРашается в нуль, получаем условие ецед+ й (е!з в1,„— ег!йем ) = О, ай (114,2) где вцзг= — ен,ы+в„1, — ец ы — вы ц, е !з= — вм;+ее!, — еле, нар 6" =— й ГдЕНой — аПГЕбраИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ' ) КОЭффИцИЕНтай В В [йц[.
Если мы лннеаризуем (1!4.2), опустив члены, содержащие произведения ецм то придем к уравнениям совместности Сен-Венана ец, ы+ ем, ц — е!з, !! — еп, м — — О, (1! 4.3) знакомым нам в линейной теории деформации'). Из того обстоятельства, что в трехмерном пространстве ри. манов тензор имеет шесть независимых, не обращающихся в нуль компонентов, следует, что в (!14,2) и (114.3) содержится шесть независимых уравнений. ') Заметим, что контравариантиый тензор йц является ассоциированным теизором й„ относительно метрвческого теизора ац.
См. й 30. ') В атой связи отсылаем к статье 5е! я ! ~ пи %. и., Ашегкап вайс. шапса! птопШ1у, т. 57, !950, стр. 679 — 681, См. также Ми г п а я Ь а п, Г. !),, г!п!!е йе!отша!!оп о1 ап е!азпс зо!Ш, !951 и Седа в Л. И., Введение в меха. нику сплошной среды, 1962, стр 128 †!30, % 1И1 Анклит нАпРяженнОГО ГОГТОяния 347 и !15. Анализ напряженного состояния В исследовании напряженного состояния деформированного тела естественно принять в качестве независимых переменных переменные х' конечного состояния. Докажем, что напряженное состояние в точке Р(х) тела, находящегося в равновесии под приложеннымн поверхностными н объемными силами, х' тир характеризуется симметричным тензором — тензором ТААв напряжений.
и Пусть тело т отнесено к криволинейной координатной системе Х, и мы рас- ту Ъ сматриваем элемент площагэг Х г ди поверхности в некоторой р' точке Р' тела. Образуем мар ь лый тетраэдральный объем. Т иый элемент йт координатными поверхностями в близкой точке Р и поверхност- г хг ным элементом йв (рнс. 52). ТАхае Если т — единичная нормаль Рис.
Ек к с(а, то элементы площади аа, лежащие на координатных поверхностях, определяются формулами (115.1) где Ач — ковариантные компоненты т. Обозначим вектор напряжения (силу, отнесенную к единице площади), действующий на с(О, через Т, где верхний индекс я отмечает зависимость вектора напряженийоториентации элемента 4(в.
Векторы напряжения, действующего на элементы поверхно- 1 сти йпь обозначаются через Т, а их положительными направлевиями мы будем считать внешние нормали к объемному элементу. Мы можем написать Т = — тиЬН (1!5.2) где Ь; — базисные векторы, направленные вдоль координатных линий, а тп — контравариантные компоненты Т. Если теперь Р = Р'ЬА обозначает силу на единицу объема, действующую на массу, содержащуюся в с(т, то первое условие равновесия требует, чтобы Рс(т+Тйо+ Т йа; = О. (115. 3) !гл ш 348 МГХХНПКЗ СПЛО1ВНЫХ СГЕД Если учесть определения (115.!) и (!15.2) и заметить, что Нт = !2!и, где ! — надлежащий коэффициент, зависящий от линейного размера объемного элемента, то условия равновесия (! 15.3) примут вид Р'Ь11 в1о + Т!Ь; г(п — тпч; 2(оЬ! = О, где Т~Ь2= — Т.
Если точку Р' мы будем теперь сближать с точкой Р таким образом, чтобы направление ч оставалось постоянным, то 1- О, и первый член в вышеприведенном соотношении будет обращаться в нуль всякий раз, когда объемная сила Р ограничена. Это приводит к тому результату, что компоненты Т' напряжения Т, действующего на поверхность элемента с направлением ч, выразятся формулой Т~ = 2 2чп (115. 4) Так как Тз — вектор, а 21 — произвольный ковариантный вектор, то можно заключить, что т11 — контравариаитные компоненты тензора — именно тензора напряжения.
Формула (!15.4) позволяет нам вычислить вектор напряжения, действующий иа поверхности элемента определенного направления, если нам известен комплект девяти функций т11, В Э 116 мы увидим, что введение остающегося условия равновесия приводит к заключению, что тензор напряжения симметричен. Формулу (115.4) можно, очевидно, представить в виде Т! = 211ч1. (115.5) Компонент У вектора Т в направлении нормали 22 запишется как Т.22 = ТГ2'; введя же (115.3), получим йг = тзргзч!. (115.6) В отношении квадратичной формы (115.6) мы можем поднять вопрос об определении направлений ч1, приводящих форму й! к экстремальным значениям. Как и в э 111, это влечет за собой исследование характеристического уравнения )т' — тб1 ~ = — тз+ 0 22 — 0 т + Вз — — О, (115.7) где ~1 21+ 22+23 ~2 22тз + тзт1 + 2122 Вз = '2122тз, а тз — корни кубического уравнения (115,7).
Ортогональные направления 211, отвечающие главным напряжениям ть определяются из системы линейных уравнений [см. уравнение (1!1,4)] (тз! — тб~) ч! = О (115.8) 4 нн ДИФ4'ЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРХВНЕННЯ РАВНОВЕСНЯ 349 и называются главными направлениями напряжения. Если мы выберем прямоугольную декартову систему отсчета у, оси кото- рой совпадают с главными направлениями в Р, то квадратичная поверхность т, ч'ч = сопз! / (1 15.9) примет вид т (уу+т (Уэ)4+тэ(У~)4 =сонэ! (115.10) Квадратичная поверхность (115,9) была введена Коши и называется квадрикой напряжений. Из уравнений (1!5.!0) очевидно, что компоненты тн для 1Ф ! обращаются в нуль, если соответствующая система отсчета выбрана в Р. Компоненты тц, теь тм называются нормальнь4ми коли понентами напряжения, остальные же — компонентами сдвига.
По аналогии с формулами (110.10) мы можем здесь выписать выражения для инвариантов напряжения 6с Они принимают следующий вид: 6 =т', 6 = — бит'та 6 = — б''ьтчтйт". (115.11) ! ! 3291аа~рэ31Фт~!ю $1! 6. Дифференциальные уравнения равновесия Пусть тело т находится в состоянии равновесия под воздействием заданных объемных и поверхностных сил. Так как каждая часть тела пребывает в равновесии, результирующая всех сил и результирующий момент этих сил, воздействующих на каждую подобласть У тела т, должны обратиться в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
