1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 63
Текст из файла (страница 63)
е. условия т 0 при е'=О, то такой ряд примет у нас следующий вид; ро»р = оде+ сэда+ сзд', + сд да + сдз + ... (1203) Если в этом выражении мы сохраним лишь члены третьего порядка относительно в', то обнаружим из (120.2), что выражение для напряжений т' в зависимости от деформаций а' будет содержать пять упругих коэффициентов со Из принципа сохранения массы слцдует, что Ро»(тв = р»(т а формулы (1:Ю.З) и (112.4) приводят к результату 1 2 Р=РоР1 2д»+4да Зда= Ра[1 д» вЂ” д»+2дз), 2 если пренебречь членами третьего порядка относительно е'.
Подстановка из этой формулы и (120.3) в (120.2) дает нижеследующее выражение для отношения между напряжением и деформацией ..в котором мы ограничиваемся в деформациях членами поря»ака не выше второго ,т'. = [2с д, + (Зс — 2с ) д; + с»дз) б'+ [с + (с» — с ) д»[ бфа~— — 4с,д,е' + — саб(Цвозва — 2сэба!'ече».
(120,4) Оно заключает в себе пять упругих констант. Если, однако, мы удержим в (120.4) лишь члены первого порядка относительно в', то придем к линейному закону т! = (2с, + сэ) д»б' — с,в'. (120.5) Мы отождествляем этот результат с обобщенным законам Гука для изотропных сред т' = М б»+ 2рв', д, = е'„ ! 1 ! (120.6) ключаем, что »чае Ьд-2ва Л!ел »! Поставов этот результат в (а), получаем формулу (120.21., МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 362 !ГЛ Ч! где Л и )э — константы Ламе, связанные с модулем Юыга с и коэффициентом Пуассона а отношениями Ео Е (1+о)(1 — 2о) ' ! 2(1+о) ' Мы видим, что с, = — (Л+ 2)г), с, = — 2)ь. 2 Если мы заменим с, и сз в (120.4) этими значениями и положим сз = 1, сэ = лт, с, = и, мы сможем переписать это в виде ;=!Л0,+(3!+ — Л)0';+ 0,16,'.+ + 12)с — (лт+ 2Л+ 2Р) 0!ДЕ! — 4Ра'а'+ ай ф',, (120.7) где ф,'.
определяется формулой ц!г — йгбтвеаа 1 1 29э («абт Новые упругие константы 1, лт и и, появляющиеся в (120.7), подлежат определению экспериментальным путем точно так же, как и константы Ламе Л и )э!). Превосходное исследование модели термоупругой изотропной среды содержится на стр. 234 — 124 книги Л.
И. Седова «Введение в механику сплошной среды», 1962. 9 121. Уравнения упругости Если соотношения напряжения — деформации (120.6) переписать в.виде ти —— Лиг)0 + 2рвы, (12!.1) где ()=пг)еы е,', и использовать уравнения равновесия (116.3) в виде йг'~т,(М + Г'Г О, (121. 2) ') Допущения различной степени достоверности относительно возможных соотношений между новымн константами (1, т, и) н старыми (л, р), предлагались различнымн авторами, Ф. Д, Мариэгаи достиг хорошего согласия с экспериментальными результатами (на твердых телах, подвергнутых высо.
кому гидростатическому давлению), положив 1= гл и = 0 в формулах (120). Обсуждение этого вопроса имеется в статье Ф. Д. Марнэгаиа «Сжимаемость твердых тел под высокими давлениями» (Миг паяй а п и. О., Тйе сощргеэ- МЫШУ о1 эопаэ нпг)ег ех1гегпе ргеээнгеэ, ТЫ щ Кагщап Апп(нег»агу чо1пще, 1941, стр. 112 — 136. См. также Риз П. М., Доклады АН СССР 29 (1938) и Р и з П. М. и 3 в о л ы н с к и й Н.
В., Журнал прикладной математики и механики АН СССР 2 (1939), ! 12п урлвнвннп упругости збз то мы сможем выразить линеаризованные дифференциальные уравнения равновесия в векторах смещения, вспомнив, что (см. (113.13)] еа = — (иь !+и!, 1). (121.3) Вычисление производится в нижеследующем порядке. Подстановка из (121.!) в (!2!.2) дает до уг«(Луг! — +2реа, «) + Р! С дх" или Л вЂ” + 2!«йг~ег 1, «+ гог = О.
дхг (121.4) Но на основании (12!.3) Г«! гм ! Г«1 до е,г,«= — д (иьг«+иг,,«)= — у иь!«+ — —., 2 ' ' 2 ' 2 дх! так как 31«и! г = и'„, и и' =6. Таким образом, (121.4) преобразуется в (Л + !«) —, + !«31«иг, 1„+ гг = О. (121.6) Если вспомнить обозначение (92.7) ймиь и = т'и„ то получим (Л + 1«) †, + !гЧеиг + гог = О.
(!21.6) следуют непосредственно из (121.6) по принципу Даламбера. Дифференциальные уравнения (12!.6) и (121.7) для вектора перемещения и! дают, как зто можно показать, единственные решения при задании надлежащих граничных и начальных условий. Интересующихся читателей мы отсылаем к трактатам по математической теории упругости, в которых подобного рода задачи граничных значений обсуждаются детально'). ') См., напРимер, Ь о!го ! п1 к о !1 1. $., Ма1иегпа11са! 1Ьеогу о1 е!аМ!сиу, 1!ьюййорк, !956, а также 1.о ее А Е. Н., А ггеа11«е оп цхе гпа1ьегпапса1 1иеогу о1 е!ааисну, Кембридж, !927, Это — знаменитые уравнения Навье в классической теории упругости.
Уравнения движения: (Л+!г) — +Феи;+р =раг, (12!.7) дх' МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 364 1гл. Хч $122. Гидромехаиика, Уравнения неразрывности Вернемся теперь к формулировке уравнений, описывающих течение жидкостей и газов. С точки зрения механики жидкости представляют собой сплошные распределения материи, не способной выдерживать скалывающих напряжений в состоянии покоя. Из этого определения следует, что вектор напряжений Т' на элементе поверхности с(О жидкости, находящейся в покое, нормален к этому элементу. В математических символах мы выражаем это формулой Т = — рч, 1 где тл — единичная нормаль к элементу поверхности, а р(х', хз, х', 1) — инвариант, называемый гидросчатическим давлением.
Вообще давление р является функцией времени 1, равно, как н координат х'. Так как вектор Т' может быть выражен в компонентах тензора напряжений тп и тг = а*'~тз мы видим, что Т' т' чг — ря чр Отсю а рв (122. 1) Из (122.!) следует, что гидростатическое давление р связано с инвариаитом напряжения 6 = апти 1см.
(1!5.11)] формулой р — — 3 вп 1 и (122.2) Когда, однако, жидкость приводится в состояние движения, то в дополнение к нормальным напряжениям, в результате взаимодействия движущихся частиц, возникают новые косые напряжения. Например, если жидкость, находящаяся в покое, помещается между двумя большими параллельными пластинами и одна из Ряс 53. этих пластин приводится в состояние движения в направлении, параллельном другой пластине (рис. 53), то частицы жидкости, сцепляющиеся с поверхностью движущейся пластины, передают свое количество движения частицам, заполняющим внутреннее пространство между пластинами, Таким путем жидкость между двумя пластинами приводится в состояние движения, и эксперименты показывают, что тормозящая сила на единицу плошади пластины, производимая пла- т 122~ ГИдромехАникА. уРАВнения неРАЗРИВности ззз стиной на жидкость, пропорциональна ее скорости и обратнопропорциональна расстоянию между пластинами.
Константа пропорциональности в этом соотношении является мерой вязкости жидкости. Мы будем называть жидкость вязкой, если тензор напряжений для жидкости, находящейся в состоянии движения, имеет вид и п((н где не обращающийся в нуль тензор (и является тензором вязких напряжений.
Жидкость называется идеальной, если рп ви О. Принцип сохранения массы в механике требует, чтобы о(оп = Ра оота = Р йт ро Р в та (122.4) — соотношение, которое можно представить также в виде р (х, () — р (х, Го) Пт — ито (122.5) Р (х Г) вто Числитель в левой части уравнения (!22.5) Лр р(х, ()— — р(х, !о) представляет изменение плотности в малом интервале времени М = à — (а, правая же часть о(т — В то о ж (Го (112.7) — соответствующее малое изменение удельного объема. Так как бе= й(чу=и', (см. $1!3), то мы можем преобразовать ч авнение (!22.5 в .р ) Лр ! иоо АГ р ЬЕ (122.6) поскольку же и' = О'Л(, где через о' обозначены компоненты скорости с$/о(Г, то из (!22.6) заключаем, что — (1/р)(др/а() О', Приходим, таким образом, к уравнению нерпзрьовности (122.7) Напомним, что р(х, Г) — функция координат х' в системе отсчета Х, где хо не зависят от й Если у — фиксированная где р,(х, (а) — плотность материи в элементе объема о(т = = )/Ь дх'йхоо(хо в начальном состоянии, и р(х, () — плотность в элементарном объемео(т = ~/д о(х'о(хоо(хо в момент времени й В таком случае зев мгххц
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
