1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 59
Текст из файла (страница 59)
(! 10.3) Назовем е удлинением вектора ого, и тогда из (1!0.3) увидим, что удлинения е; в направлениях базисных векторов а, задаются формулами ~ Ь, ! = (1+ е;) ~ а;). (110.ч) 2е» = и» вЂ” й». Так как д» вЂ”вЂ” Ь| Ь| и й» = а, ап то мы вправе переписать эту формулу на основе этих обозначений 2е»- — Ь,. Ь> — а, а,=)Ь,~ )Ь )созВ» — )а,~ ~а<)сов 0',, (1102) где 6, — угол между базиснымн векторами Ь, и Ь, а Оз — угол между а, и а;, Если через е обозначить изменение длины на единицу длины вектора Ыг,= Р,Р, '(на рис. 5!) так, что ) дг ) — ( сй'~ ! дз — Ию~ ! Йг~ ( ч50 4 ие! гномвтгичсскзя интвяпянтхцззя тгнзояов г, и а ЗЗ7 Но ! Ь,! ~'д;, и ! а,! = )/Ьи, так что )байи — -(1+е,) ~/пзз (без сУммиРованиЯ по з), (1!0.5) поэтому формулу (1!0.2) можно переписать с учетом (110.4) и (!10.5) в виде 2е11 =(1-1-е,)(1+е)сов ΄— созйз.
(110.6) ран р'а,, Поскольку Ои = 00=0 для 1=1 уравнение (! 10.6) дает о 2е. — (! + е.)' — 1 ~и или е, )~ ! + — — ! (без суммирования). (110.7) 2еи йи Б тех случаях, когда координаты начального состояния прямо- угольные декартовы, Ьи = 1, и мы видим из (110.7), что для 2еи7йзз « 1, е; — еи Соответственно функции юь ееь езз связаны с удлинениями элементов дуги, направленных вдоль базисных векторов аь аь аз. Значение е;, для !чь1 следует из (110.6), если заметить, что когда аз и ат — прямоугольные единичные векторы, Озз= и/2.
Если положить Оп = и!2 — ап, так что ап представляет измене- ние в первоначально прямом угле между парой элементов дуги, направленных вдоль а; и а,, то формула (110.6) дает 2еи = (! + е,) (1 + ег) з!и ан, или 2е,з зшпи = (110.8) )/1+2еи )/1+2е где мы учли (110.7), Если 2еи « 1 и угол аи мал, получаем приближенное равенство ан ж 2еск Таким образом, функции еп для 1Ф1 указывают нам меру уменьшения первоначально прямого угла между элементами дуги, параллельнзями векторам а; и а,. Компоненты еи для ! чь / называются скалыааюи1ими (сдвиговыми) компонентами тензора деформации Ез, компоненты же ео длЯ ! = ! — ноРмальнглми компонентами тензоРа Ез.
Совершенно аналогичные интерпретации могут быть представлены для функций еп, если их рассматривать как компоненты тензора Е = епЬ'Ьг. Действительно, если мы теперь определим относительное удлинение е как изменение в длине, приходящееся на единицу длины в ее конечном состоянии )дг) элемента дуги, то получим из — изо е из (гл.
ю МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 333 и тогда вычисления, сходные с теми, которые привели нас кфор- мулам (110.7) и (110,8), дают теперь 255 е =1 — ~/ 1 — — ". ! аи (1 10.9) или з!п р,( = ' (без суммирования), (110.10) 'уТ вЂ” 25, )/Т- 2е где 8, = 9' — и/2. 5( 5! Мы заключаем, как и раньше, что компоненты ен в (110.9) ассоциируются с удлинениями элементов дуги, первоначально параллельных базисным векторам Ьь в то время как компоненты ео, для (чь) измеряют соответствующие сдвиговые деформации. 2 111. Квадрика деформаций. Главные деформации Определяющая формула (109.12) для компонентов ем тензора деформации Е = е;>Ь'Ь( может быть упрощена: (д5)5 (д55)5 дх дх) =е 2(д5)' '( д5 д5 где 5(х((5(5 = ).' — единичный вектор, определяющий направление вектора г(г в конечном состоянии.
Попробуем определить те направления ).', для которых (111.1) принимает экстремальные значения. Положим в этих целях, что Я(Х) =ем) 2,, (1 1 !.2) дЯ дф — — е — =0 дА' дЛ' нли (е,( — ен,() ),~ = О, (11!.8) где е — множитель Лагранжа. Эта система имеет нетривиальные решения для ),', если и только если ! Ен (х) — ед,( (х) ! = О и найдем максимальное значение квадратичной формы Я(Ь), подчиненной ограничивающему условию ф()~) = д;)),').( — 1 О, требующему, чтобы Л' был единичным вектором, Знакомая уже иам процедура определения экстремальных значений (111.2) методом множителей Лагранжа приводит к си- стеме уравнений $ Нн КВАДРИКА ДЕФОРМАЦИЙ, ГЛАВНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ 339 в каждой точке Р(х) области т.
Для того чтобы привести эту систему (11!.3) к форме (13.10), рассмотренной в й 13, умножим (! 11.3) на д!А, суммируем по ! и получаем (е! — еб!) Л = О, (111,4) (1 ! !.5) где е' а!"е! . ! ! (11!.4) имеет три нетривиальных решения: Лни 1, 2, 3), отвечающих корням е! кубического уравне- Система ! с Л„„Ли! (1= ния )е! — еб'!в = — ез+б,ет — б е+ 6 = О. ! /! ! 2 В (11! .6) Коэффициенты 6! в этом кубическом уравнении являются инва- риантами 6! =е, + ее+ е!, 6, = е,е, + е„е, + е,е„ 6, = е!В,ез (1 1 !.7) В Я 13 — 15 было показано, что корни е; должны быть необ.
ходимо вещественными, а связанные с ними направления Л<п, Л(в, Л!е! ортогональными, Квадратичная форма (11!.2), в которой мы рассматриваем Л! как текущие подвижные координаты, приводится к канонической форме 0(р) =е (9!)'+е- (уе)'+е Ь')' (! 11.8) ! ! ! если при этом глпвные направления Л!и, Лп>, Лв>, приняты как базисные векторы надлежащей прямоугольной декартовой системы отсчета У в т.
Мы можем истолковать эти результаты геометрически, введя сюда поверхность деформации ен (х) Л'Л! ° сопз1, (1 1 1,9) которая в каждой своей точке Р(х) представляет поверхность деформаций, где Л! — бегущие координаты. Главные направления Л!!и совпадают с осями поверхности (11!.9) и из (11!.8) следует, что тензор деформации ем, будучи отнесенным к системе отсчета У, имеет вид 340 МЕХАНИКА СПЛОШР!ЫХ СРЕД !Гл, 3л маг = —, баге! Ео Я! 6 е' + е' + е', = е!, ! а 3 е' га (1!1.10) е, е, ! ! е", еа е'.
е' 3 е' ! ! = — — б!" е'е" е!. е"; еЗ ! Мы увидим в следующем параграфе, каким образом эти инварианты войдут в выражение соотношения объемных элементов дта и дт начального и деформированного состояний. Равным образом мы могли бы рассмотреть квадратичную форму яа=е!!таама!, (! 1!.11) где Л33= дх3/дза указывает направление вектора дта для начального состояния, а ен рассматриваются как компоненты тензора деформации Еа = еоа!ай Для определения главных направлений мы имеем теперь систему уравнений типа (111.4), где е' = й! "е! !р (!!1.12) а значения е — корни характеристического уравнения !е",.
— еб',( = О, (11!.13) в котором е' даны формулой (111.12). Квадратичную форму (1!!.! 1) можно, таким образом, привести к каноническому виду (3 а(у!)3 ! 3(ра)3 ! Еа(рз)3 гДе главные напРавлениа йа3п! 7,',„, ).'а!3! пРинЯты как базис соответствующей ортогональной системы отсчета у, в т,, Из геометрического смысла компонентов ео, ! Ф 1 (см. уравнение 110.10), следует, что главными направлениями явлтотся тг ортогональныг направления в недгформированном состоянии, которые остаются ортогональными после дгформирования.
Деформации еь еь еа называются главными деформациями. Инварианты бь йэ, 63, определенные формулами (111.7), играют важную роль в построении моделей сплошных сред. Если мы развернем детерминант в (11!.6) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е, то получим в результате ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОБЪЕМА 341 4 112] Из формул (1!0.7) следует, что удлинения е,' по главным направлениям выражаются формулами 55 — 555 о= о = У1+2во — 1, 1 ! 5о (111.14) удлинения же еь вычисленные на единицу длины в конечном состоянии (см.
уравнение (1!0.9)), получаются равными 45 Нео е, = = 1 — 1/! — 2е,. 525 (1!1.16) Из (111.14) и (111.16) заключаем, что о Ео 51 (111.16) ! — 251 1 ! 2ео ' Задача Покаоать, что 1 2 3 во+ 4ео+ !2во !+ 2ео1+ 4О,'+ Веео 62+ во~ ! + 2бо+ 4ео+ Вео ' вз Ю о 5 ! 4 2ео+4ОО+ВОО в !12, Относительное изменение элементов объема Исследуем теперь изменения в объемных элементах 5!то н о(т в начальном и деформированном состояниях и учтем их связь с инвариантами до введенными в 2 1! 1. Из определения объемного элемента в $ 44 следует, что (т,= УЬдх'(х2Ыхо н дх= Р; (х'(х2 (х',гдеЬ=~Лд1иу=1д1 )— детерминанты квадратичных форм 5(5', = 61 15х1 дх1 и й52 = =А! 11х15(х~. Отсюда (112.
1) Формулы (11!.16) позволяют нам вычислить инварианты б,' кубического уравнения (!1!.3) в зависимости от инвариантов бо приведенных в (111.7), а инварианты 6; кубического уравнения (!11.6) — в зависимости от 6'„. !гл, ю МВХЛ!4ИКЛ СПЛОШНЫХ СЭВД 342 Группу функций й;, можно рассматривать как комплект компонентов тензора Л = й4!Ь!Ь4, определенного в пространстве пере. менных х! в конечном состоянии, так что и ь д Ь44=Ь! д!4й! = Ьи. 1 Ь!!4й!! = ! Ь4! (, Заключаем, что так что д(й!'(=Ь.
Вследствие этого отношение (112.1) принимает вид ф= $Я~. (112.2) Но из определения (!1О.1) мы знаем, что й,! (х) = д!! (х) — 2е,! (х), выражение, которое с поднятием индексов принимает упрощен. ную форму й! = б! — 2е!. Формулу (! 12.2) мы сможем, следовательно, представить таким образом: — '= У!б! — 2е4( !4т (112. 3) Таким образом, приближенно !4т — !4т, — =бе !тт 1112.5) Эта формула выражает объемное изменение иа единицу объема, по этой причине д! называется удельным расширением.
Чаще всего с этой величиной приходится встречаться в линейной тео- рии упругости и в гидродинамике. Если развернуть находящийся здесь под знаком радикала детерминант, то мы найдем ~ Ь1 — 2е! ~ = 1 — 26! + 46э — 86з где йч — инварианты типа (!11.10). В линейной теории деформации произведениями деформаций е'. можно пренебречь, так что приближенное выражение для со! отношения (1!2.3) получает упрощенный вид — ")'1 — 26, -1 — б, !!'т !' ПЕРЕМЕЩЕНИЯ В СПЛОШРЫХ СРЕДАХ 4 НЗ] З)З (112.7) Задача Вывести формулы (1123) и (112Д] непосредственно из (111.14) и (111.1З). й !13.
Перемещения в сплошных средах Определим вектор перемещения 5 точки Р (рис.5!) разностью адиусов-векторов Р $ь и — го (113.1) и обозначим компоненты $, отнесенные к базису аь через и', а отнесенные к базису Ьь через в'; тогда 4 = и'аь $ = в'ЬР (113.2) На основании (113.1) получаем д4 дг дне — =- — — — =Ь,-аь дх~ дхс дхс откуда дй Ь]=,+ —. дхЮ ' Вычислив дм Ь,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
