1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 58
Текст из файла (страница 58)
С,, Сапега) гыацм1у апй соагпо!ояу, !956 ') См. ссылки на литературу в предюгствующей сноска. а) Сдвиг соответствуюнгей линии в спектре Солнца определен вычислением в Ы = 0008. % 1ен ЗАКЛЮЧИТЕЛЪНЫЕ ЗАМЕЧАШ1Я зз! звезды. Результаты, конечно, не являются строгим доказательством, но вообще рассматриваются как подтверждение теории. Закон тяготения !Аг,= 0 был обобщен Эйнштейном к виду гтгг= = Хди, где А — малая «универсальная константа».
Решения обобщенного уравнения привели к различным космологичсскнм теориям и к построению различных теоретических моделей расширяющейся вселенной. Мы отсылаем читателя за более подробными сведениялги к специальным трактатам по этому вопросу'). '! Е б б ! п и ! о и Л., Майегпапса! йеогу о1 ге!аннну, 1924; Т о 1- гп а п и. С., Ке!а!!»1!у, Ткеггпобупаппсв апй сового!ояу, !934! В е г игл а п п Р., 1п1гобпспоп !о йе !Ьеогу о1 ге!аннпу, !942; !4 а ! и ! с Ь С. У., Майегпапсв о1 ге!агнцу, !950; Л а и д а у Л., Л и ф ш и ц Е., Классическая теория полей, Гостехивдат, !951; Теории паля, «Наука», !967; бу п ие Л 1., Пе!аинну.
Тке врес!а! йеогу, !955; Т!ге иепсга1 йеогу, !950. ГЛАВА И МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 9 108. Вводные замечания Эта часть книги посвящена общей формулировке основных концепций механики сплошных сред и выводу фундаменталь- ных уравнений, описывающих поведение этих сред.
Приводи- мый здесь материал образует введение в нелинейную механику жидкостей и упругих твердых тел, Линеаризованные уравнения классической теории предстают как специальные частные слу- чаи нелинейных уравнений, и во всей главе делается акцент на унифицированную формулировку уравнений механики сплошных сред в наиболее общей форме тензоров. Систематическое построение тензорпого исчисления с точки зрения его применения в механике сплошных сред содержится в заключительном издании пятого тома П. Аппеля') н в книге Мак-Коннела').
В обоих этих трудах широкое внимание уде- лено линеарнзованным системам, Образцовыми и области не- линейной теории упругости являются работы Леона Бриллкг- эна') и Ф. Д Марнэгана'). Сушность внесенного Бриллюэном вклада в нашу науку представлена также в его книге «Теизоры в механике и в теории упругости», впервые вышедшей в изда- тельстве Массон в 1938 г. (Франция) и перепечатанной фирмой Довер в 1946 г. (США) '). Более новыми вкладами в нелинейную теорию упругости являются книги В. В. Новожилова в)„А. Грина и В. Цернат) ') А р р е ! 1 Р, Тганй г)е гпесап!Чпе га1юппе11е, чо1, Ч, 1926, ') М с С оп не(1 А.
й, Арр!ка(!опв о1 !Ье аьвойце йиегеппа) са1сп!пз, 1931. з) В г !! ! о и ! п ь., сев (о!в г)е 1'е!аыкие зопв 1оппе 1епвоиене ча)аше роцг дез соогдоппеез Чне)сопйпез, Аппа!ез йе р)гув!Чпе, 3 (!925), 251 — 296 ') М и г п а я Ь а п Р. )У., Р!п!(е йе1оппа!)опв о1 ап е!ав(1с зо!16, Аюепсап Зопгпа! о! гпа1!гегпа11сз, 59 (1937), 235 — 260. Краткое изложение центральных идей Марнэгана содержится в гл. 14 н 15 книги Майкла: М)сна) А.
О, Ма1пх апо' 1епзог са!сп!пв, 1947. ') В г)!!оп(п 1., ! ез 1епзепгз еп вйсапейпе е1 еп е1азпсйе, Рапв, 1936, Оочег Ргевв В46. в) Но в о ж и лов В. В., Основы нелинейной теории упругости, Гостехнз. лат, Москва 1947. г) О г ее п А. Е., 2 е г п а %., Тьеоге1ка) е1ависцу, Ох1огй 1954 $ !ьв1 двоопмигованив сплошнои сыды и Л. Синьорини'). Исчерпывающий критический обзор основ теории упругости и гидромеханики содержится в двух обширных мемуарах Трусделлав), 1 том в 1952, И том — 1953. Развитие основ механики сплошных сред, прежде всего в рамках линейных теорий (включая применения к механике жидкостей, теориям упругости и пластичности), содержится в книге В. Прагера'), Обобщенное совместное изложение геометрически и динамически нелинейной механики сплошной среды мы найдем в превосходной монографии Л.
И. Седоваа). Монография Седова в значительной части основана на тесном объединении классической механики и макроскопической термодинамики. Такое соединение позволяет строить обобщенные модели газов, жидкостей, упругих и терьюупругих твердых тел и некоторых типов пластических сред с единой точки зрения.
9 !09. Деформирование сплошной среды Рассмотрим континуум различимых материальных точек, заполняющих в указанное время 1 = (е некоторую область пространства те. В дальнейшем мы будем называть !е начальным временем, а те — начальной областью. С течением времени точки Р области те подвергаются перемещениям и в определенное время У заполнят областы. В ходе перемещения начальная область те обычно деформируется, и мы полагаем, что деформированке те в т полностью определяется, если нам известно движение каждой точки Р. Для того чтобы описать движение точек Р, вводим координатную систему Х.
движущуюся вместе со средой таким образом, что координаты (х', хв, хв) любой точки Р, находящейся первоначально в то, не изменяются с й В дополнение к системе Х введем неподвижную фиксированную систему отсчета У, относительно которой задаются координаты точки Р(хе, хв, х'): у'=у'(х', х' хв !). (109.1) Функциональная форма отношений (109.1) явно зависит от природы деформирования те в т. Допустим, что функции р~(х, г) в (109,!) однозначны, кусочно-гладки и обладают для каждого значения времени ! однозначной кусочна-гладкой обратной функцией (! 09.2) х' = х' (у, у, уа, 1) ~) 5)а лог)л) А, апов()оп) д! е!ав1!сца поп 1!пеагехва!а, посла 1966. в) Т го евое!1 С, Мелю)гв о1 е1авцсйу апй Пшд теспап)св, Лап«па) о( гацопа! гпесйапкв апд апа!ув)в, чо!.
! (1962), чо). Н (1963). ') Р га дег ЪЧ., !п1«однсцоп 1о тесйап!св о1 а сопцппа, Воыол 1961. ") Седов Л. И., Введение в механику сплошной среды, Москва, «Наука» 1962. механики сплошных саед ~гл. ш 334 Рис. 3!. Положение некоторой точки Р в области тором г = с;у'(х', х', х', (). т определяется век- (109.4) системе отсчета Х Базисные векторы Ь,. в движушейся даются производными дх ду'(, 0 Ьг= =-с; дху дхд (109.5) причем зтн векторы зависят, очевидно, не только от координат х' точки Р, но также и от й Если Р(х', х', х') находится в тм мы обозначаем базисные векторы Ь; через а;, так что а = — — = ср дхх ду~ (х, Го) дхг дх( (! 09.6) Таким образом, в исследовании деформироваиия сплошной среды мы можем говорить о трех системах отсчета: неподвиж- Фиксировано) ю координатную систему 1' без потери в обшности можно принять прямоугольной декартовой. Чатериальиая точка Р в ти определится относительно этой прямоугольной декартовой системы отсчета У радиусом-вектором (рис.
51) г =с,у,'— = с,у'(х', х-', хз, 1), (109.3) где с; — ортонормальные базисные векторы системы отсчета 1'. ззв щфогмиеовзпив сплошнон сеиды ч!Он ной системе отсчета у, определяемой базисом сь подвижной системе отсчета Х с базисом Ь; и неподвижной системе отсчета Х с базисом аь Обращаем внимание на то, что обозначения (х', х', х') рассматриваемой материальной точки Р в обеих криволинейных координатных системах Х имеют одинаковые значения, но во избежание недоразумений мы будем обозначать точку Р(х', х', х'), если она находится в начальной области тм через Ра.
Пусть Р, '— точка, находящаяся в окрестности точки Р,(х', х', х'). Вектор Р„Р', = вг может быть представлен в виде (109.7) г(гч = п1 дх~, а квадрат элемента дуги дар в то равен (г(зэ)' = дг, . й; = ас . а, в'х' пх', или ((з )'= й; Дх'Дх7, (!09.8) где й;, = а~ а, — метрические коэффициенты в тв Аналогично квадрат элемента дуги дз, определяемый соответствующим вектором РР' = Нг = Ьк(х' в т выразится произведением г(з' = Ь; Ь1 г(х' г(х~, или дзз = дп Их' г(х1, (109.9) где дн = Ь;.Ь, — метрические коэффициенты в т.
Обычно длины и ориентации векторов г(г~ и Иг различны, и мы будем говорить, что среда, занимающая область т, находится в состоянии деформации-напряжения, если г(з,~Из. В качестве меры деформирования мы можем принять разность ( Й)з — (г(зэ)' = (дп — Ь,1 ) дх' яхт, (109. 1С) и если положить дп — Ьп = 2ен, (109. 11) то мы вправе представить эту разность как (Нз)' — (~Ь,)' = 2еп дх' Нх'. (109.12) Поскольку (109.12) — инвариант, а еы = вп, заключаем, что система функций вы(х,() представляет тензор Е, относительно некоторого класса допускаемых преобразований координат Х с базисом аь покрывающих область ть Та же система функций вм(х,1) определяет и теизор Е, относительно группы преобразований координат, определяемых базисом Ь, конечного состояния т.
В обозначениях заключительного абзаца в 9 45 тензор Еп записывается полилинейной формой Ео = воа'а'', тензор же Е мвххникА сплошных сгвд !гл, ч! зза определяется через Е = е»Ь'Ь~. Таким образом, операции ковариантного дифференцирования и подъема — опускания индексов в компонентах Е, используют метрический тензор йп, соответствующие же операции на Е применяют тензор д». В обозначениях сказанное принимает вид Ь»е = ег и д»е = е/. И Ф И Ф' Однако две системы функций е1, вычисленных указанным путем, остаются различными, и для того чтобы указать происхождение системы е1, полученной с применением тензора Л», мы напишем Ь»е =е~,. ы ес В следующем параграфе будет показано, что ни тот, ни другой из тензоров Е, или Е не сможет служить характеристикой деформированного состояния для окрестности точки Р,.
Тензоры Е, и Е называются иногда лаграижевым и соответственно эйлеровым тензорами деформации-напряжения в соответствии с двумя точками зрения гидродинамики, связанными с выбором моординат начального или конечного состояний как независимых переменных в формулировке уравнений гидродинамики. й 11О. Геометрическая интерпретация тензоров Еь и Е В предыдущем параграфе мы определили систему функций е» формулой (~(з)з — (с(з,)' 2е» дх' Их~„ где (110.1) то мы получим ! Нг ! = (1 + е) ! Иго !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
