1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 62
Текст из файла (страница 62)
д. Мы будем предполагать, что функции, определяюгцне различные вилы энергий, зависят от некоторого числа параметров, некоторые нз которых являются переменными (координаты положения, температура, плотности, тепзоры деформации и т. п.), другие же — физическими или универсальными константами. Полная совокупность постоянных параметров с; и переменных параметров о', избранных для того, чтобы описать заданную функцию, не обязательно должна быть единственной. Но какие бы частные системы параметров мы ни подбирали, мы всегда будем полагать, что д'(1= 1, ... ..., и) взаимно независимы. В некоторых особых ситуациях д' могут быть определены, как функции скаляра 1 (обычно время) так, по их можно рассматривать как определяющие кривую С,)' = д'(1), характеризующую определенный процесс.
В предыдущем параграфе мы ввели понятие работы или лчеханической энергии путем рассмотренпя линейных форм типа ЬЮ'=1',1;(д',..., д"; с„..., с,„)бд'. (118.!) Криволинейный интеграл ) Я;Ыд' представляет, таким обс разом, работу, произведенную на пути С обобщенными силами Яь Обычно такие интегралы зависят от пуги С, ассоциируемого с заданным процессом. Положим, что частица массы г(гп = рпт, где р — плотность, а пт — элемент объема, способна приобретагь энергии, кроме МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД 366 [ГЛ У[ механической, еще и иные, отличающиеся от механической, и мы в состоянии представить зти приращения энергии таким выражением: 6Е = р (в[,..., д"; с„..., с,„)бчй (118.2) Если 6Е включает все энергии, без учета механической, то полная сумма энергии, которой располагает частица, определяется интегралом ) (6Ф'+йЕ) = ) (Е~+(„[[)йд.
(1! 8.3) 1 где о — скорость элемента массы дгп. Величина К и= — оз 2 представляет кинетическую энергию на единицу массы, так что полная энергия Мы сможем, таким образом, сформулировать основной закон сохранения полной энергии в такой форме: 6К + 60 = 6Ф' + 6Е, (118.5) где левая часть равенства (1!8.5) представляет собой сумму приращений кинетической энергии К и внутренней энергии О, приобретаемой единичной массой.
Если 6Е состоит лишь нз тепловой энергии 6[,[, то мы пришли к формулировке первого закона термодинамики 6К + 60 = 6Ф' + бф (118. 8) Тепловая энергия 69, как разъясняется в трудах по термодинамике, может быть определена по измерениям температуры Т. Эксперименты свидетельствуют, что тепло иензменно переходит из тел с более высокой температурой в тела с менее высокой температурой, причем этот переход тепла от одного тела к другому полностью определяется температурой ! н, конечно, некоторыми физическими параметрами, зависящими от свойств На основании принципа сохранения полной энергии заключаем, что интеграл (1!8.3) должен обратиться в нуль для произвольного замкнутого пути С, в связи с чем подынтегральное выражение (Р; + 9,)[(у[ должно быть точным дифференциалом некоторой функции 6 (уГ.....
д"; сь ..., с,„), определенной с точностью до константы интегрирования. Мы назовем (Т' лолной энергией на единицу массы и определим внутреннюю энергию У на единицу массы формулой 2 (118.4) УПРУГИЕ СРЕЛЫ 9 !)9) 357 состава тел. Эксперименты, далее, подтвержда)от, что невозможно построить машину, которая преобразовывала бы тепловую энергию в механическую из тела с меньшей температурой. Это является следствием второго закона тер модин ам и к и, гласящего, что для каждого обратимого термодинамического процесса существует функция 5, называемая энтропией, подчиняющаяся условию йЯ олт = —, ЬЯ т * где Т вЂ” абсолютная температура, а бЯ вЂ” приращение тепла, приобретаемое элементом массы йп. В тех случаях, когда среда находится в сосгоянии механического равновесия, кинетическая энергия К исчезает и закон (1!8.6) принимает форму й(/ = бФ' + бЯ.
(118.8) Мы воспользуемся законами (118.7) и (118.8) в $ 119 прн построении механической модели упругого тела. где бФ'= ~ тпбеп йт определяется интегралом (! 17.12). Представим также соотношение (118.7) в виде бЯ= )' 785 йгн (119.2) или бО = ~ рт бз й . $119. Упругие среды Некоторые тела обладают способностью восстанавливать свои первоначальные размеры и формы после того, как приложенные силы, произведшие деформацию, устранены и пере. стали действовать. Среды, из которых состоят подобные тела, называются упругими.
Строя модель упругого тела, мы будем предполагать, что все процессы, имеющие место в таком теле, обратимы, не утверждая, однако, что рассматриваемое тело обязательно находится в состоянии теплового равновесия. Таким образом, наша термоупругая модель будет учитывать влияния температур на деформации. Отправной точкой наших выкладок будет служить первый закон термодинамики в формулировке [см. (118.8)! би = М+ б)гг, (119.1) мгтиннкх сплошных сРел !гл щ Если и обозначает внутреннюю энергию У на единицу массы тела, то ЬУ = )г Ьи с(т = )г рбидт, (119.4) м т где через б(/ обозначено приращение внутренней энергии, приобретенной областью с.
Введение в (119.1) значений из (119.2), (1!9.3) и (119.4) дает ~ р бис(т = )г рТ Ь5с!т + ~ т» Ье» с(т. (1! 9.5) Ьи = Т Ь5+ — т» Ье» Р (119.6) во всех точках т. Формула (119.6) подсказывает нам рассматривать и как функцию независимой переменной 5 и девяти независимых па- раметров е». Поскольку компоненты е» тензора напряжений Ео = е»а'а зависят обычно от выбора координатной системы Х, 1 функция и может также содержать явно метрический тензор й» и координаты х'. И, само собой разумеется, и должно зави- сеть от подбора параметров (с), связанных с физическими свой- ствами среды. Таким путем мы приходим к тому, чтобы рас- сматривать и в виде функции и = и(й», е», 5, (с), х'), где аргументы и предполагаются независимыми.
Соотношение (1!9,6) позволит нам утверждать, что ди ! » ди — = — т и — =Т. де» р дд Первое из этих отношений (! 19.8) де связывает компоненты т» тензора напряжений с компонентами е» тензора деформации. Мы получаем, таким образом, систему соотношений напряжение — деформация, в которой плотность внут енией энергии и служит потенциальной функцией, Д ажно построить и иную потенциальную функцию ~, если определить ее как свободную энергию соотношением ф=и — Т5.
(119.9) т т Положим, что подынтегральные выражения в (!19.5) представляют собой непрерывные функции, а поскольку равенство (119.5) сохраняет силу в произвольной подобласти т, мы заключаем, что УПРУГИЕ СРЕДЫ з пв Звз Из (119.9) находим приращение Ьф функции ф: Ьф = Ьи — ТЬ5 — 5ЬТ и введение сюда значения для Ьи из (119.6) дает Ьгр = — тн Ьз„— 5 ЬТ. (119.! 0) Появление Ьен и ЬТ в правой части выражения (119.10) побуждает нас рассматривать Т и ен как независимые переменные, а свободную энергию ф как функцию следующих переменных (см. (1!9.7)): Гр = (Ьа, еи, Т, (с), х~).
(1 19.11) Из (119.10) заключаем затем, что дф 1 н дф де р ' дг так что соотношение деформация — напряжение принимает теперь вид н дф т =т —. де,.~ ' Таким образом, либо и, либо ф (если они сушествуют), могут быть использованы в выводе огношений между напряжениями и деформациями. Если процесс адиабатический, 5 — константа, и потому ЬЯ = 0 в силу (!19.3), В таком случае удобнее использовать и как потенциал напряжений. В изотермическом случае Т вЂ” констанга и ф представляется более пригодным. Мы говорим, что упругая среда однородна, если координаты х' не входят явно в (!19.7) нли (119.1!).
Среда изотроина, если все параметры в системе (е) — скаляры, так что значения (с) независимы от выбора системы отсчета Х. Если среда одновременно и однородна и изотропна, то параметры (с) имеют постоянные значения во всей среде. Если в исследовании однородной упругой среды мы считаем, что ф(вн, Т) — аналитическая функция ен и ЛТ = Т вЂ” Т,, где Т, — температура начального состояния, то мы сможем разложить функцию ф по степеням з,, и ЬТ. Если начальное состояние отвечает условию ен = 0 и тн = О, разложение начнется с членов второго порядка и ряд примет вид ф = сы"'ензГИ + йнен ЬТ+ х (ЬТ)э + ..
Для малых деформаций членами порядка, превышаюшего второй, допустимо пренебречь, и с помощью (119.12) получить линейное соотношение напряжений — деформаций, учитывающее влияние температуры на тензор напряжений т'~. Выражение последнего приобретает прп этом вид тн = р„(а'1ыеы + lгы (Т вЂ” Тч)). (119.13) МЕХАННКА СПЛОШНЫХ СРЕД [Гл. и! 86О Мы заменили здесь р на рз, т.
е. на плотность начального состояния, и ввели обозначение ем для линеарнзованных компонентов еы. Тензор сиа' характеризует упругие свойства среды, а йг! связаны с коэффициентами термического расширения. Для данной среды тензоры сць' и йг[ должны быть определены из экспериментов. В случае, если Т = Т,, соотношение (!19.13) приводится к знакомому обобщенному линейному закону упругости Гука'), В следующем параграфе мы выведем один частный случай соотношений напряжения — деформации для больших деформаций в однородной изотропной упругой среде и полу.
чим из него знакомый закон линейной теории упругости Гука. $120. Соотношения напряжение — деформация в изотропиых упругих средах (119.12) ') См. Яойо[п[йо[1 1. 3., Ма[пете
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
