1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Условие, выражающее исчезновение результирующей силы в любом направлении, задается уравнением )Г Р'Л,йт+ ~ Т'Л,да=О, (116.1) где Л~ — единичный вектор в произвольном постоянном направлении. Мы полагаем, что компонентами объемной силы Р'(х) являются непрерынные функции и что компоненты Т' вектора напряжений входят в класс С'. Подстановка в Т' из (115.4) и применение теоремы дивергенции (92.3) к интегралу поверхности в (115.1) дает уравнение )' (Р'Л, +(тиЛ,) !) йт = О. Так как Л; — параллельное векторное поле, Ль, = О, то предыдущее уравнение можно преобразовать в ) (Р' + т';) Л~ йт = О.
(115.2) !гл щ збо МЕХАННКА СПЛОШНЫХ СРЕД Поскольку подынтегральная функция в (116.2) непрерывна, а направление Лз произвольно, заключаем, что в любой точке Р тела т т~';+Р =О. (116. 3) Восполазуемся теперь условием,требующим, чтобы результирующий момент тела и поверхностные силы обращались в нуль. Если г = !'Ь| — радиус-вектор точки Р'(х), относительно некоторой точки Р, то компонент момента (Р Х «)с(т в направлении единичного вектора Л будет равен Р Х г Л с(т.
Компонент момента ч ч поверхностных сил Т равен Т Х г Иа. Вспомнив 5 49) выражение тройного скалярного произведения А Х В - С = енАЛ'В'С", мы сможем написать )Г епАР~(УЛ" Нт+ )Г епАТ'1!Л <1о О. Подстановка в интеграл по поверхности из (115.4) и применение теоремы дивергенции дает ~ епАЛ~(И+(т '1!), ]с(т=О, поскольку епв.,„ = О. Если мы выполним предписанное здесь ковариантное дифференцирование и используем уравнения (116.3), то получим нг енат 1 Л с(т=О; У поскольку же') 1, =5~ „а объем к' — произволен, то l ! ЕнзтиЛА = О. П 16.4) Заметив, что ем, = — еда, мы сможем выразить это равенство в следующем виде: — ен„( — тп) Л =О.
(116.5) Поскольку епа —— )/у ема, а )!й Ф О, получим после разложения (116.5) (тзз тзз) Л1 + (тзь тзз) Лз + (ти тм) Лз О Так как направление Л произвольно, то заключаем, что и д (116.6) ') Так как Ьу †. = Р Ь, в силу 14б.б), то 1~! Ь~!. дху у нг! впетуллы!Ая Р ' ко Гл Таким образом, мы пришли к выводу, что тензор напряжений симметричен. Полученные результаты подытоживает Т е о р е м а.
Если тело находится в равновесии под воздействием заданных объемных и поверхностных сил, то компоненты тензора напряжений т'> в каждой точке тела удовлетворяют системе дифференциальных уравнений в частных производных т>+Р =О, где т" = т>'. На поверхности л тела, подвергающейся действию векторов напряжения Т', имеет место равенство тцт = Т' ! причем ч, — внешняя единичная нормаль к л. Опираясь теперь на принцип Даламбера, мы сможем непосредственно же сформулировать уравнения движения.
Нам следует лишь добавить к объемной силе Р' инерциальную силу— ра', где р — плотность, а а' — ускорение. Искомое уравнение дни>кения принимает вид и 1 ! т,;+Р =ра (1! 6.7) где Рн — объемная сила, приходящаяся на единицу объема.
Если Р' представляет силу, отнесенную к единице массы, то уравнения движения принимают вид т, =р(а — Р ). (116.8) Так как уравнения в Я 115, 1!6 приводятся в тензорной форме, они имеют силу во всех допустимых системах отсчета, В ча. с>ности, в системе отсчета Х начального состояния ть ковариант. ные производные в (116,8) берутся по метрическим коэффициентам йц, а а' и Р' — компоненты векторов ускорения и силы— относительно базиса начального состояния. 8 117. Виртуальная работа Пусть сплошная среда поддерживается в состоянии равновесия объемными силами Р> и поверхностными силами Т' Если Р,Р = й(х, !) — вектор перемещения точки Р (на рис.
51), то мы можем рассматривать точку Р' в окрестности Р и обозначить — М 1 вектор РьР' (не показаншяй1 па рис. 51) через $ (х,1). Тогда Г (х, Г) = $ (х, Г) + б,' (х, Г), где вариация (1 !7.1) МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД (ГЛ. Ч! или виртуальное перемещение точки Р является произвольным вектором РР' в окрестности Р.
Будем рассматривать вариацию векторов лишь в конечном состоянии т и скажем, что вариации векторов и тензоров, ассоциированных с точками Р, начального состояния тР равны нулю. Положим, что й принадлежит классу Сх, и определим вариацию д$/дх формулой д6 '1 д$' дй д (6' — $) д (6$) '( )- — '- — — ' — ° дх! / дх! дх' дх! дх! так что вариация производной д$/дх! получается равной производной вариации (см. $81). Поскольку $ = г — го и (117.2) д6 дг дго — = — — — = Ь! — аь дх! дх дх! то мы получим, использовав дистрибутивное свойство символа 6, 6( — ~ = 6 (Ь, — а,) = ЬЬН /да! так, что бд„= Ь, — +Ь,—. д (66) д Щ) дх) дх! (в силу (117.3)).
(117.4) Тензор деформации е» определяется из 2еи = д!! — Ь;;, 1109,11] (117.8) и отсюда к!б поскольку 6 (Ьм) = 6 (а, а!) = О. Произведя подстановку (117А) в (1!7.5), находим 2 бам = Ь, — + Ь) †. д (6$) д (66) (117.8) дхт дх! Но бе =(Ы)! Ь', где (6$)! — ковариантные компоненты вектора 6$, а поскольку — =(6$)!,) Ь, д (66) дх! ибо ба! = О, так как точки в начальном состоянии не подвер- гаются варьированию.
Таким образом, дЬ! =6( — (= —. ! д$ ! д(66) (117.3) (, дх! дх' Метрические коэффициенты конечного состояния даны соот- ношениями А!!!— - Ь, ЬР и мы находим, как в $81, ба, =6(Ь, Ь))=Ь, ЬЬ|+Ь| 66! $ нп ВИРТУАЛЬНАЯ РАБОТА 353 то из (46.8) заключаем, что (117.6) можно записать в таком виде: 26еи =(бче); 1+(6Е)ь н (117.7) Если образовать внутреннее произведение вектора (6",) с двумя членами уравнения равновесия т,~! = — рг", (117.8) где г"' — объемная сила, отнесенная к единице массы [см.
(116.8)), и проинтегрировать его по объему т, то получим ) тп,(63),.от= — ) ргч(6$),г(т. (117.9) Но т'~ (6$)„=(тн(6$),~ — тм(63)!, поэтому (117.9) можно будет записать в виде ~("'(6~),),,~ -~ "(6|)ь,~ =- ~рр Ю,~., либо По определению интеграл по поверхности в (1!7.!О) представляет виртуальную работу, выполняемую внешними поверхностными силами Т' в виртуальном перемещении (6$)ь Интеграл же по объему в правой части уравнения (117.10), с другой стороны, представляет виртуальную работу, выполненную объемными силами г"'.
Если обозначить работу, произведенную как объемными, так и поверхностными силами, суммой 6(Р = ~ Т'(6$); й~+ ~ рТЛ(бх);с(т, (117.1!) то выражение (1!7.10) перепишется в кратком виде бру'= (Г т'тбзидт. (117.12) ~ т" (6$),т,г(о- ~ ти(63)ьгс(т= — ~ рР(Я)ЫТ, х где мы преобразовали интеграл по объему т в интеграл по поверхности Х, охватывающей т. Поскольку тыт!-— Т' в силу (115.4), а тм(бй)ь ! — — — Тм((6$)ь1+(6$)ь ~) =тмбзп на основании (!17.7), то в конечном результате находим ) тмбеис(т=) Т'(63),с(о+) рТН(6$)~ЫТ. (117.!0) мнххннкх сплошных сгед !гл, щ 354 Если в только что приведенном вычислении вместо уравнений равновесия (1! 7.8) исследовать динамические уравнения т'!.
= р (а' — Р'), [116.8! ! Этот член получает простую механическую интерпретацию, как только виртуальные перемещения (6$); превращаются в действительные актуальные перемещения (д$)ь возникающие в теле, движение которого управляется уравнениями (116.8). В этом случае мы записываем (117.13) в виде г1К = ) ра'ф$),г!т. (117.14) Но скорость точки Р в т равна 1 и мы вправе поэтому переписать (117.14) в виде дК = ) ра'о; Нт а'г.
В прямоугольных декартовых координатах ! а' 1 Н(я)' а'о = — — (о'о ) = —— 2 (Й ~ 2 и! и этот интеграл принимает вид г(К вЂ” — г((о) (рг(т), 2 Подынтегральное выражение в нем представляет приращение кинетической энергии элемента массы йи = р г!г, приобретаемое им за интервал времени (1,1+ Ж). Таким образом, 0К предста- Г ! вит приращение кинетической энергии К = ) †, ро'г(т. Соотвегт ственно для движения тела т, подчиняющегося уравнениям (!16.8), получаем важный результат ((К + ЫА = г(!г', (!17.15) то мы получили бы в левой части уравнения (117.10) добавочный член 6К ) ра'М);~И. (117.13) э ьк азиопы тГРмолннмюжи где дА= ~ тийапНт и ДВ'= ) Т'(гЯ)~й~+ ) рР(б1)~~(т.
(117.16) х В статическом случае г1К = О, а ИА = г(Ф'. Результаты, полученные в этом параграфе, в сочетании с некоторыми термодииамическими соображениями, образуют основу для построения теоретических моделей упругих тел, вязких жидкостей и других физических объектов. $ 118. Законы термодинамики Построение матемаз н геских моделей различных типов сплошных сред базируется на концепции энергии, являющейся основным понятием механики н термодинамики. Мы заимствуем из механики понятия потенциальной и кинетической энергий, а из термодинамики несколько менее четко определенныс понятия химической энергии, тепловой энергии, электрической энергии и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
