1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 56
Текст из файла (страница 56)
4 кч1 СФЕРИЧЕСКН-СИММЕТРИЧНОЕ СТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 321 Детерминант и квадратичной формы (104.4). определится произведением д дпдмпзздм = — ех+РТ4 з!Пз 6, а контравариантный тензор дп будет представлен матрицей — е А 0 0 0 0 — —, 0 0 1 Π—, 0 ЫЕ1п2В (аи) = 0 0 0 е-в и получить после громоздких, но простых вычислений нижеследующую систему дифференциальных уравнений: ып= — 2р" — 42'н'+ 4 (и')'- — =О, (104.5) )(м = е ~ (1 + — г (ц' — Х') ~ — 1 = О, 1 2 !!м=з!и 0(е А(1+ — г(1А' — Х)~ — 1(=0, (104.7) 1Гм=ея А( — — 1А" + — Л'1А' — — (1А')т — ~ 1=0, (!04,8) НИ=О, если !Ф1. (104.6) Для того чтобы вывести уравнения (104.1), построим сим- <А! волы Кристоффеля ! ..
! и, поскольку д11— - 0 при !Чь), находим 11 И= ( ) 1,,! дд~ дя А дя!'! 1= — д ~ — + —,— — „! (без суммирования по й). 11! 2 ~ дх! дх дх" / Легко удостовериться, что общее число различных не обращающихся в нуль символов Кристоффеля сводится к нижеследующим девяти: з!и О~ (зз ~ з1п соз 8 (44 ~ 2 ~~ А где знаками ' обозначены производные по г. Мы можем теперь ввести зти символы в формулу д~1од~/!я! д (а~ (а~( р ~ (р~ д!ок) !2! Релятивистская мехлап!кА 322 Уравнение (!04.7) в этой системе представляет собой лишь повторение уравнения (104.6). Таким образом, нам остается рассмотреть лишь три уравнения относительно Х и р.
Из уравнений (104.5) и (104.8» выводим Х' = — р', так что Х = — р + сонэ!. Но поскольку при неограниченном возрастании г - оо, !с и р стремятся к нулю, находим Л(г) = — р(г). Уравнение (104.6) преобразуется, таким образом, в ео(1+гр') = 1. (104.9) Положим, что ео = у, тогда уравнение (104.9) примет вид у + гу' = 1.
Интегрируя это линейное уравнение первого порядка, получаем у = 1 — — — = е", 2т (104.10) где 2т — постоянная интегрирования. Положим, что масса т в $ 105 представляет массу Солнца. Нетрудно установить, что только что полученное решение удовлетворяет уравнениям нашей системы.
Вводя е-а ео = у в уравнение (104.4), получаем искомую квадратичную форму г(э~ = — у ! (г(г)е — г' (дО)г — газ!и' 0 (г(!р)е + у(Ж)', (104.11) где у = 1 — 2т!г. Если постоянная интегрирования 2т обращается в нуль, у = 1 и получаюшееся многообразие оказывается плоским многообразием специальной теории относительности. При тФ 0 это многообразие получается криволинейным. Читатель может почувствовать себя неудовлетворенным решением гравитационных уравнений Эйнштейна, предложенным Шварцшильдом, поскольку оно было достигнуто на основе ряда произвольных случайных догадок с «оглядкой> на результаты классической теории. Ему естественно заподозрить, что иной подход может привести и к иному решению, Подозрения такого рода оказались, однако, неосновательными. Это было установлено Дж.
Д. Биркгофом'), доказавшим, что сферическнсимметричные стационарные решения гравитационных уравнений гсг! = О, обусловливаюших плоскую метрику в бесконечности, т. е. характеризуемую уравнением (104.2), эквивалентны ') В !г !!Во!! О. Р., йе!анену аод о!ооегп рву«|се, сгр. 2ВЗ, опипты плАнет % 1051 323 решению Шварцшильда. Таким образом, полученное памн выше решение представляет интерес, будучи единственным стацио- нарным решением наших уравнений, удовлетворяющих устано- вленным граничным условиям в бесконечности. 9!05.
Орбиты планет Теперь мы в состоянии выяснить траекторию частицы, движущейся в сферически-снмметричном стационарном поле, определяемом квадратичной формой (104.11). Траектория частицы представляет собой геодезическую линию, так что нам требуется решить систему уравнений') .3 0 хз 19 х4 Воспользовавшись таблицей значений символов Кристоффеля, приведенной в 9 104, находим, что, например, для 1= 2 получается уравнение или Изв 2 пг бв 1' с6р 15 — + — — — — Ез( В( — ) =О. 445' г лз лз 115 (105.1) (105.2) (105,3) 115ф, 2 11г Иф лв аф — + — — — + 2 с15 0 — — = О, 445 г 415 пз Из бз 45! 1 419 Ж бг — + — — — — = О.
Изз т пг пз Из (105.4) Последнее из этих уравнений можно преобразовать к более краткому выражению 1бт Ш вЂ” + — — —, 0 451 т Из 415 илн — „', (уф=о. (105.5) ') Элегантная трактовка планеп1ых орбит на основе использования уравнений Лагранжа дана Сайнджем: Б у п ие 4. 1, Не!аптиу. Т14е аепега1 Шеогу, 1980, стр. 289 — 298. Подобным же образом строим уравнения для ! = 1, 3, 4. Результаты получают следующий вид: ивлятивисгскхя мехАникл !гл.
э (105.6) Поскольку НО/дз = О, когда О = и/2, уравнение (105.1) для 9 = и/2 дает (сРО/сЬ')э = О. Для того чтобы получить (~'О/йз')о дифференцируем уравнение (105.1) и вводим в результат значения 0 = и/2, ЙО/Й = 0 и РО/Изз = О. Находим д'О/Изз = О. Таким путем мы показали, что 9(з) = (9)а = и/2. Соответствующий результат в ньютоновом случае очевиден, поскольку в предположении центрального силового поля никаких компонентов силы, образующих прямые углы с плоскостью движения, быть не может.
В этом случае, если движение однажды возникло в плоскости 9 = и/2, оно будет продолжать совершаться в той же плоскости. Если мы внесем решение О = и/2 уравнения (105.1) в уравнение (105.3), то получим Фчг 2 иг нг — + — — — =0 <Ь' г и'э из (105.7) а интегрируя уравнения (105.5) и (105.7), найдем г' — = й нэ сЪ сУ а Ж т' (105.8) (105.9) где а и й — произвольные постоянные. Г1роизведя подстановки в уравнение (105.2) из (105.8) и (105.9) и учтя ранее найденное решение 9 = и/2, получим Выражение для (йг/~(з)', проявляющееся в уравнении (105.10), может быть получено из формулы .(104.11) путем использования уравнений (105.8), (105.9), а также равенства О = и/2. Получаем Докажем, что аналитическое решение уравнения (105.1), удовлетворяющее начальному условию ЙО/Йз = О, если 9 = и/2, принимает вид 9(з) = л/2.
Поскольку г/О/г/з = (НО/~Г/) (й/сЬ), а й/На+О, то это равносильно установлению того факта, что траектория частицы лежит в плоскости О = и/2 при условии, если начальный компонент НО/Ж скорости в направлении возрастающих 9 обращается в нуль. На этом основании положим, что решение 9(з) может быть представлено рядом ОРБиты плхнвт э яв! 325 а после введения этого выражения в (105.10) находим (105.1 1) поскольку у=1 — 2гп/г. Но ~~г нг нг пэ дт пэ~ где мы пользуемся уравнением (105.8).
Таким образом, уравнение (!05.11) принимает вид (105.12) Если ввести новую зависимую переменную и=1/г, то Ыг ! ли ~Рг 2 /лиР ! и'и да ц2 л(р ! лч2 пз ! щт / п2 и~р2 ъ и уравнение (105.12) приводится к ле ь Ф Дэ г2 (105.!4) будут достаточными для того, чтобы определить траекторию. Интересно сопоставить здесь полученный результат с соответствующими уравнениями классической теории, приведенными в $97 (105.!5) где мы пользуемся обозначением Ч~ для переменного угла 8, введенного в настоящем параграфе, а также вводим гравитационную константу А = 6,7 Х !О-' и величину т~ = 1,98 Х 10м г, представляющую собой массу Солнца.
В связи с нашим выбором слиииц для скорости света заметим, что в значительном отдалении от тяготеющей массы /з2 (~(1)2 Дф ~(ф так что д, +и= — „, +Згпи'. (105.13) Уравнение (105.13) вместе с уравнением (105.8), которое мы представим здесь как иелятивистскля мехл!П$кл !Гл, у Для планет величина скорости о весьма мала в сравнении со скоростью света, для которой мы приняли значение 1, так что с высокой степенью приближения дз = Л.
Таким образом, как в классической, так и в релятивистской системах уравнений й может быть интерпретирована как секториальная скорость. По. стоянная интегрирования т соответствует Ать так что релятивистское уравнение (105.13) отличается от соответствующего классического уравнения только появлением члена Зти'. Отнщпенне величины Зти' к т/йе равно 3/ееи' нлн, если использовать уравнение (!05.14), 3(гдго/е(з)э. Для обычных скоростей планет это отношение мало.
Например, средний радиус земной орбиты г равен 1,5 Х 10'э ем, угловая скорость д~р/д! = = 2 1О ' рад/сек, и если принять в качестве первого приближения Ж/дз = 1/с, то найдем, что значение выражения Зге(емр/е(э)е должно быть порядка величины 10-'. Отсюда следует, что в обычном движении планет «поправочный член» в релятивистском уравнении (!05.13) пренебрежимо мал, поскольку это относится к форме орбиты, но влияние этого члена на перигелнй, как это будет выяснено в $106, значительно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
